談?wù)勅绾芜x擇幾何解題的思維著手點(diǎn)

藍(lán)裕鵬

【摘要】 如何快速解證幾何題，是眾多中學(xué)生心中的一道結(jié)，如何解開(kāi)這道結(jié)，關(guān)鍵是在平時(shí)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生尋找?guī)缀谓忸}的思維著手點(diǎn)，本文結(jié)合實(shí)際例子，從題目條件結(jié)論、幾何知識(shí)方法、圖形處理等三大方面闡述了找?guī)缀谓忸}的思維著手點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】 幾何 思維 著手點(diǎn) 選擇 培養(yǎng) 方法、圖形

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2014）02-086-02

“幾何題難解”，這是眾多初中學(xué)生的共同心聲，從而對(duì)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)產(chǎn)生畏懼情緒，甚至采取放棄的態(tài)度。為什么幾何題難解，關(guān)鍵是學(xué)生在解題時(shí)找不到或者找錯(cuò)了思維著手點(diǎn)，邏輯推理就難以展開(kāi)，似盲人騎瞎馬，亂碰亂闖，解題就會(huì)受阻，感覺(jué)無(wú)從下手。因此，解題時(shí)，首要的是選擇合理的思維著手點(diǎn)，才能有效地組織好邏輯推理活動(dòng)，順利完成由條件到目標(biāo)的解證、計(jì)算過(guò)程。本文結(jié)合具體實(shí)例，從幾何知識(shí)方法、題目條件結(jié)論、圖形等方面談?wù)剮缀谓忸}中思維著手點(diǎn)選擇的常用方法，僅供參考。

一、注重從幾何知識(shí)及方法方面培養(yǎng)學(xué)生尋找?guī)缀谓忸}的思維著手點(diǎn)

1.從已知命題的結(jié)論和解法選擇思維著手點(diǎn)

許多幾何問(wèn)題是從已知命題拓展出來(lái)的，如果把千變?nèi)f化的題目歸結(jié)到已知命題的結(jié)論和解法，思維就會(huì)像打開(kāi)閘門(mén)的水流一樣流暢。

例1如圖1，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的點(diǎn)，且FD=5AF，連接BF并延長(zhǎng)交AC于E，求證：EC=10AE。

分析題目AD中是中線，而B(niǎo)E是把AD分成1：5的一條直線，若囿于此比值，便給思維帶來(lái)很大束縛。如果索性把BE當(dāng)作一條動(dòng)線，它可以在形內(nèi)，也可以在形外，當(dāng)然也包括是AC邊上的中線，就不難想到三角形的重心把中線分成1：2的兩條線段的結(jié)論和證法，必定想到作CF′∥BF交FD的延長(zhǎng)線于F′，利用相似三角形性質(zhì)不難證得結(jié)果，可見(jiàn)已知命題的的結(jié)論和證法對(duì)思維著手點(diǎn)的選擇是何等的重要。

圖1 圖2

2.抓等量關(guān)系選擇思維著手點(diǎn)

幾何習(xí)題中相當(dāng)一部分可以轉(zhuǎn)化為幾何方程問(wèn)題。列方程求值的思路就是從尋找等量或不變量開(kāi)始的，如三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等；平行線所截線段成比例；圓的切割線定理，等等。列方程解題時(shí)，教師要善于根據(jù)這些基本關(guān)系及這些關(guān)系的變形，挖掘出撲朔迷離的題設(shè)條件和所求各數(shù)量之間的等量關(guān)系，由此找到思維起點(diǎn)。

例2如圖2，延長(zhǎng)圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊，它們分別相交于M、N，求證：所成的∠AMD和∠ANB的平分線互相垂直。

分析觀察圖形，HM是∠AMD的角平分線，如果能證∠MGE=∠MEG，則就證得MH⊥EN，考慮到∠MGE是△GNC的外角，∠MEG是△EAN的外角，∠ANE=∠GNC，這樣就可利用①三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，②圓的內(nèi)接四邊形任一外角等于它相鄰的對(duì)角，由這兩項(xiàng)等量關(guān)系，列出三個(gè)方程，而順利找到MH⊥EN的充分條件。

3.從觀察和實(shí)驗(yàn)中尋找思維著手點(diǎn)

觀察和實(shí)驗(yàn)是研究數(shù)學(xué)的最基本也是十分重要的方法，數(shù)學(xué)家歐拉曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！碑?dāng)我們遇到難以下手的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不妨冷靜地用觀察和實(shí)驗(yàn)作為思維起點(diǎn)，或許在山窮水盡之際能迅速達(dá)到柳暗花明之境界。

例3如圖3，已知D是△ABC中AC邊的中點(diǎn)，E、F是BC邊的三等分點(diǎn)，BD分別與AE、AF交于M、N，求BM：MN：ND之值。

分析：解這道題，即使先作出了DF輔助線，也容易被重疊的中位線和眾多的相似三角形干擾，不容易簡(jiǎn)捷的得出待求值，但如果利用三角板的刻度仔細(xì)地測(cè)量，會(huì)發(fā)現(xiàn)BM：MN：ND=5：3：2，再作幾個(gè)較大的準(zhǔn)確圖形，也會(huì)得到同樣的結(jié)果，即使需要證明，也因?yàn)檎业搅舜鸢福瑔?wèn)題求解會(huì)容易得多。

二、從題目條件、結(jié)論等方面培養(yǎng)學(xué)生尋找?guī)缀谓忸}的思維著手點(diǎn)

4.從題目的條件中尋找思維著手點(diǎn)

幾何證明題都由條件和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)條件決定了結(jié)論的存在，完成了幾何證明好比在題設(shè)條件和結(jié)論之間搭起了一座橋梁，使思維從橋的這端順利通往另一端，思維著手點(diǎn)又好比是勘探由水文、地質(zhì)、氣象等條件決定的橋址，所以幾何解題的條件中一般都蘊(yùn)伏著思維的著手點(diǎn)。例如，凡是兩圓相切的，蘊(yùn)伏著要補(bǔ)作公切線，相交兩圓要補(bǔ)作公共弦，相似三角形要找等比線段和相等對(duì)應(yīng)角等，不勝枚舉。

例4如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，又已知AD=2，AE=1，求CD的長(zhǎng)

分析由題設(shè)條件，∠B=90°，AC與圓相切于D點(diǎn)，已知長(zhǎng)度的線段AD和AE既是Rt△ABC中斜邊和一條直角邊的一部分，也是圓O的切割線的一部分，所以條件中就蘊(yùn)含了連接OD構(gòu)造兩個(gè)相似直角三角形的思維著手點(diǎn)，一旦連接OD，解題的思路便會(huì)順利展開(kāi)。

5.分析問(wèn)題目標(biāo)的特征，選擇思維著手點(diǎn)

目標(biāo)是問(wèn)題要求的結(jié)果，特別是幾何證明題，定向證明的結(jié)果是邏輯推理的終點(diǎn)，也是思維的著手點(diǎn)，它控制著我們解題的整個(gè)過(guò)程。我們?cè)诮庾C邏輯推理活動(dòng)中所做的每一步的價(jià)值，都是以能否達(dá)到目標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)去評(píng)價(jià)的，解題時(shí)要善于抓住目標(biāo)特征，并以此為突破口建立思維著手點(diǎn)，如目標(biāo)是線段相等的，可構(gòu)造全等三角形、等腰三角形、同圓（等圓）中等弧、等弦心距、等圓周角等；目標(biāo)是線段的積相等的可變形成等比線段，再找相似三角形、角平分線，等等。

例5如圖5，△ABC中有正方形DEFG，點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在斜邊BC上，求證：EF2=BE·FC

分析題目本身已經(jīng)給出了證明的目標(biāo)，考察這一目標(biāo)的特征不難發(fā)現(xiàn)：若結(jié)論成立，那么BE/EF=EF/EC，DE=EF=FG，于是就不難想到Rt△BED∽R(shí)t△GFC，所以，只要以本題目標(biāo)特征為思維著手點(diǎn)，問(wèn)題便很快得到證明。

三、從圖形方面培養(yǎng)學(xué)生尋找?guī)缀谓忸}的思維著手點(diǎn)

6、構(gòu)建幾何模型尋找思維著手點(diǎn)。構(gòu)建幾何模型，就是在題設(shè)條件下，突出決定研究對(duì)象的本質(zhì)因素，忽略非本質(zhì)因素，對(duì)一個(gè)文字幾何題建立一個(gè)理想化的圖形，并以此來(lái)分析問(wèn)題解決問(wèn)題。模型的建立，能使問(wèn)題從復(fù)雜變得簡(jiǎn)單，使抽象變得具體，模型的建立過(guò)程離不開(kāi)思維，沒(méi)有圖示的幾何題的解證思維著手點(diǎn)就應(yīng)該建立在構(gòu)建模型上。

例6已知梯形中位線長(zhǎng)16cm，梯形的一條對(duì)角線把中位線分成線段的差是4cm，求這個(gè)梯形的上、下底的長(zhǎng)。

分析因?yàn)閱?wèn)題沒(méi)有圖示，給思維帶來(lái)一定的困難。構(gòu)建一個(gè)合理的模型，就會(huì)給思維以正確導(dǎo)向。

1.作中位線EF，將它分成4等份，每等份代表4cm.

2.作過(guò)第二等份中點(diǎn)G的線段BD，使BG=GD。

3.分別過(guò)B、D作直線BA和DC，使它們都平行于EF，連接DF和BE并延長(zhǎng)交兩平行線于A、C，得到梯形ABCD（圖6）。

因?yàn)闃?gòu)建圖形的過(guò)程是一個(gè)邏輯推理過(guò)程，所以作出了圖形，也就找到了解題的思維著手點(diǎn)。

7.從圖形的特殊位置選擇思維著手點(diǎn)

幾何題中求定值的問(wèn)題，總有一個(gè)點(diǎn)（或線、形）運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，在其運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中總有一些特殊的位置，由于它的特殊性，但又帶有普遍性，所以可以給我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題提供了一種思維的途徑。

例7如圖7，已知為△ABC等邊三角形，P為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作BC的垂線，交另兩邊（或延長(zhǎng)線）于E、F，求證：PE+PF為定值。

分析由于題目中待求的定值是與邊長(zhǎng)有關(guān)，擬還與它的高有關(guān)沒(méi)有直接給出，所以本題具有一定難度。但由于P是BC邊上的任一點(diǎn)，那么我們可以考察P為端點(diǎn)B及P為BC中點(diǎn)的兩種特殊情況，如果過(guò)B點(diǎn)作BC的垂線，只與一邊的延長(zhǎng)線相交，則垂線的長(zhǎng)顯然是BC邊上高的二倍；如從BC中點(diǎn)做垂線，結(jié)果依然，定值已定，解證的思路便暢通。

8.還原問(wèn)題的圖形，選擇思維著手點(diǎn)

思維著手點(diǎn)的選擇是建立在分析的基礎(chǔ)上的，當(dāng)分析幾何問(wèn)題的終態(tài)圖形發(fā)生障礙時(shí)，不妨利用恰當(dāng)?shù)姆绞竭€原問(wèn)題的初態(tài)情景——圖形，這一分析過(guò)程能使我們茅塞頓開(kāi)，從中找到思維著手點(diǎn)，我們?cè)谟?jì)算圓錐體的側(cè)面積時(shí)，就是利用這種方法把終態(tài)立體圖形還原成初態(tài)的平面扇形，使問(wèn)題從復(fù)雜變得簡(jiǎn)單的。

選擇思維著手點(diǎn)的方法除上面談到的八種外，還有通過(guò)合理的假設(shè)、圖形等效轉(zhuǎn)化等方法，由于各種問(wèn)題的千差萬(wàn)別，因此，解題思維著手點(diǎn)的選擇就沒(méi)有一個(gè)固定的模式，即使同一問(wèn)題，也存在幾種思維方法，學(xué)生必須結(jié)合題目、自身掌握的幾何知識(shí)作出靈活選擇，但無(wú)論通過(guò)哪種思維方法獲得解題途徑，思維著手點(diǎn)的選擇都很重要，選擇不同的思維著手點(diǎn)，解題過(guò)程的復(fù)雜程度和解題速度不一樣，俗話說(shuō)：“良好的開(kāi)端是成功的一半”，只有選擇好的思維著手點(diǎn)，解題才有可能獲得快速成功。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 課本、參考資料的題目.