高中排列組合問題淺析

韓高峰

排列組合應(yīng)用題，題目比較靈活，首先要注意會(huì)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后就是要善于總結(jié)常見題型的不同處理方法.

1.特殊元素〝優(yōu)先法〞

例1.從 這5個(gè)元素中取出4個(gè)元素放在4個(gè)不同的格子中，且元素 不能放在第2個(gè)格子里，問共有多少種不同的放法？

分析：這里 是特殊元素，第2個(gè)位置是特殊位置，因此要先〝照顧〞特殊；再考〝一般〞.

解：解法一（元素分析法）：這里 是特殊元素，應(yīng)先排 ，但考慮到取出的4個(gè)元素中可能有 也可能沒有 ，因此對此問題應(yīng)該分為兩類：

第一類：若取出的4個(gè)元素中有 ，則排 有 種排法；再從 中取出3個(gè)，排在另外的三個(gè)格子中，有 種，所以此類的排法總數(shù)為 種；

第二類： 若取出的4個(gè)元素中沒有 ，則有 種排法；所以共有 + （種）不同的排法.

解法二（位置分析法）：由于第二個(gè)格為特殊位置，應(yīng)先排第二個(gè)格，有 種（從 這四個(gè)元素中取1個(gè)），再排另外的3個(gè)位置，有 種不同的排法，所以共有 （種）不同的排法.

【規(guī)律歸納】對于存在特殊元素的排列組合問題，可以從這些特殊元素入手，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再去滿足其他元素或位置的要求，這種解法就是特殊元素優(yōu)先法.

2.相鄰問題〝捆綁法〞與不相鄰問題〝插空法〞

例3.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：

（1） 全體排成一行，其中男生必須排在一起；

（2） 全體排成一行，其中男生不能排在一起；

解：（1）捆綁法.將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，

共有 （種）.

（2）插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有 （種）.

【規(guī)律歸納】〝捆綁法〞即把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；〝插空法〞即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.

3.分排問題“直排法”

例4.有3名男生、4名女生，在下列不同的條件下，求不同的排列方法總數(shù).

（1）選其中5人排成一排；

（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人.

解：（1）從7個(gè)人中選5個(gè)人來排，是選排列.有 種.

（2）分兩步完成，先選3人排在前排，有 種方法，余下4人排在后排，有 種方法，故共有

種.

事實(shí)上，本小題即為7人排成一排的全排列，無任何限制條件.

【規(guī)律歸納】無限制條件的排列問題，直接利用排列數(shù)公式即可.但要看清是全排列還是選排列.

4.定序問題〝倍縮法〞

例5.有3名男生，4名女生，全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變的排列種數(shù)是多少？

解：定序排列，第一步：設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為 ；第二步： 對甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為7個(gè)人的全排列，因此 （種）.

【規(guī)律歸納】定序問題除法處理的方法.即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列.

5. 至少（至多）問題間接法（也可用直接法）

例7.男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？

（1） 至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；

（2） 隊(duì)長中至少有1人參加；

（3） 既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員.

解：（1）方法一（直接法）：名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為

種.

方法二：“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”，可用間接法求解.

從10人中任選5人有 種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有 種.

所以“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為 種.

（2）方法一：可分類求解：

“只有男隊(duì)長”的選法為 ；“只有女隊(duì)長”選法為 ；“男、女隊(duì)長都入選”的選法為 ；所以共有 種選法.

方法二：間接法：

從10人中任選5人有 種選法，其中不選隊(duì)長的方法有 種.所以“至少1名隊(duì)長”的選法為 種.

（3）當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人任意選，共有 種選法.不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有 種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有 種，所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有 種選法.則既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有 種.

【規(guī)律歸納】解組合題時(shí)，常遇到至多、至少問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運(yùn)算量.當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，逐一滿足.

6.排數(shù)問題“重兩端，擇主線”

例8.用數(shù)字 組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù).

（1）能組成多少個(gè)六位數(shù)？

（2）能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？

（3）能組成多少個(gè)能被5整除的六位數(shù)？

（4）能組成多少個(gè)比 大的數(shù)？

解（1）第一位數(shù)字不能為 ，有 種方法，其他各位數(shù)字有 種不同的排法，故共能組成的六位數(shù)有 （個(gè)）.

（2）要使六位數(shù)為奇數(shù)，其個(gè)位數(shù)字必須是1或3或5中的一個(gè)，且第一位數(shù)字不能為0，故所求的六位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 （個(gè)）.

（3） 要使六位數(shù)能被5整除，其個(gè)位數(shù)字必須為5或0.當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，有 個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是5時(shí)，有 個(gè)，因此能被5整除的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為 （個(gè)）.

（4） 要比 大，有以下幾類情況：

首位數(shù)字是 或 或 時(shí)，各有 個(gè)； 首位數(shù)字是 時(shí)，第二位數(shù)字是 或 ，但不包含

在內(nèi)，有 個(gè)；因此共有比 大的數(shù)的個(gè)數(shù)為

【規(guī)律歸納】排數(shù)字問題是排列組合問題中最常見的一類題型，這類問題應(yīng)把握住在排數(shù)字時(shí)，如首位和末位等這些特殊位置，如 ，奇數(shù)，偶數(shù)等這些特殊元素，需認(rèn)真地分析題意，分清主次，選擇其一作為主線.

7.分組與分配問題

例9.按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1） 分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2） 甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3） 平均分成三份，每份2本；

（4） 平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5） 分成三份，一份4本，另外兩份每份1本；

（6） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7） 甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【分析】該題是一個(gè)分配問題，解題的關(guān)鍵是搞清事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.

解：（1）無序不均勻分組問題.先選1本有 種選法；再從余下的5本中選2本有 種選法；最后余下3本全選有 種選法.故共有 種不同的分配方式.

（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮在分配，故共有 種不同的分配方式.

（3）無序均勻分組問題.先分三步，則應(yīng)是 種方法，但這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本

為 ，若第一步取了 ，第二步取了 ，第三步取了 ，記該種分法為

，則 種分法中還有 ，

，共有 種情況，而這 種情況僅是 的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有 種.

（4）有序均勻分組問題.在第（3）題的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，共有分配方式

種.

（5）無序部分均勻分組問題. 共有分配方式 種.

（6）有序部分均勻分組問題.在第（5）題的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，共有分配方式 種.

（7）直接分配問題.甲選1本有 種方法，乙從余下5本中選1本有 種方法，余下4本留給丙有 種方法.共有分配方式 種.

8.多元問題分類法

例10.（2008重慶理16題）某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn) 上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條

線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法

共有 種.（用數(shù)字作答）

解：由題意四色必用完，現(xiàn)以側(cè)面 的四點(diǎn)進(jìn)行討論：

① 側(cè)面 四點(diǎn)用4色，則側(cè)面四點(diǎn)有 種裝法，而 點(diǎn)可從 兩色中選一種，故有 種裝法，同理 點(diǎn)的裝法也有 種，所以此裝法共有 （種）.

② 側(cè)面 四點(diǎn)用兩種顏色，即 ， 相同且 ， 相同，則側(cè)面四點(diǎn)有 種裝法，因四色必用完，那么 兩點(diǎn)的裝法有 種，故此裝法共有 （種）.

③ 側(cè)面 四點(diǎn)用三種顏色，即 ， 相同或 ， 相同，若 ， 相同，則 有兩種情況： 與 相同， 點(diǎn)只有1種裝法； 與 不同， 點(diǎn)也只有一種裝法.所以此類方法有 （種）.

故總的安裝方法共有 .

答案：

例11.有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各5個(gè)，都分別標(biāo)有字母 ，先從中取出5個(gè)，要求字母各不相同且三種顏色齊備的取法種數(shù)共有（ ）

A.60 B. 90 C.150 D.243

解析：由題意知取出的5個(gè)小球字母各不相同且三種顏色齊備，若從顏色角度分析，取出各色小球的個(gè)數(shù)應(yīng)為3，1，1或2，2，1，即三色中有一色為3個(gè)，另外兩色各為1個(gè)，或三色中有兩色各為2個(gè)，另外一色為1個(gè)，然后再排字母.首先排3，1，1，從三色中選一色有 種選法，再從此色5個(gè)字母中選3個(gè)有 種選法，剩余兩色2個(gè)字母的選法為 ，故此種取法的種數(shù)為

；同理可得取出各色小球個(gè)數(shù)為2，2，1時(shí)，取法的種數(shù)為 .

故符合題意的取法共有 選C.

【規(guī)律歸納】當(dāng)一個(gè)較復(fù)雜事件可分解成幾個(gè)簡單事件時(shí)，?？梢钥紤]用分類討論的方法，逐一擊破.但在分類時(shí)要注意不重不漏.

通過以上例題我們可以看出，對排列組合的應(yīng)用題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步.概括起來說，解排列組合可總結(jié)為“24字方針，12個(gè)技巧”.

.“二十四字方針”是：加乘明確，有序排列，無序組合；分類為加，分歩為乘. 此二十四字為解排列組合題的基本規(guī)律.

.“十二個(gè)技巧”是速解排列組合題的捷徑.即：

①相鄰問題捆綁法；②不相鄰問題插空法；③多排問題直排法；④定序問題倍縮法；

⑤定位問題優(yōu)先法；⑥有序分配問題分步法；⑦多元問題分類法；⑧交叉問題集合法；

⑨至少（至多）問題間接法；⑩選排問題先取后排法；⑾局部與整體問題排除法；

⑿復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法.