克里格插值

郭汝夢

引言：克里格方法又稱空間局部插值法，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量進行無偏最優(yōu)估計的一種方法，是地學(xué)統(tǒng)計的主要內(nèi)容之一。

一、克里格插值來源

克里格插值方法是由南非采礦工程師克里格（Krige）于1951年首次提出，故命名為“克里格”法。這個方法被廣泛應(yīng)用于地下水模擬、土壤制圖等領(lǐng)域，成為GIS軟件地理統(tǒng)計插值的重要組成部分。這種方法充分吸收了地理統(tǒng)計的思想，認(rèn)為任何在空間連續(xù)性變化的屬性是非常不規(guī)則的，不能用簡單的平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進行模擬，可以用隨機表面給予較恰當(dāng)?shù)拿枋?。地理統(tǒng)計方法為空間插值提供了一種優(yōu)化策略，即在插值過程中根據(jù)某種優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)動態(tài)的決定變量的數(shù)值。Matheron，Krige等人研究的插值方法著重于權(quán)重系數(shù)的確定，從而使內(nèi)插函數(shù)處于最佳狀態(tài)，即對給定點上的變量值提供最好的線性無偏估計。

二、克里格插值基礎(chǔ)

克里格方法是空間統(tǒng)計方法的一種。所謂空間統(tǒng)計方法，其基本假設(shè)是建立在空間相關(guān)的先驗?zāi)Ｐ蜕系摹＜僭O(shè)空間隨機變量具有二階平穩(wěn)性，或者是服從空間統(tǒng)計的本征假設(shè)，則它具有這樣的性質(zhì)：距離較近的采樣點比距離較遠(yuǎn)的采樣點更相似，相似的程度或空間協(xié)方差的大小，是通過點對的平均方差度量的。點對差異的方差大小只與采樣點間的距離有關(guān)，而與它們的絕對位置無關(guān)?？臻g統(tǒng)計內(nèi)插的最大優(yōu)點是以空間統(tǒng)計學(xué)作為其堅實的理論基礎(chǔ)，物理含義明確可以克服內(nèi)插中誤差難以分析的問題，能夠?qū)φ`差做出逐點的理論估計；它也不會產(chǎn)生回歸的邊界效應(yīng)。不但能估計測定參數(shù)的空間變異分布，而且還可以估算估計參數(shù)的方差分布?？死锔穹椒ǖ娜秉c是計算步驟較繁瑣，計算量大，且變異函數(shù)有時需要根據(jù)經(jīng)驗人為選定。

克里格方法的使用范圍為區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性，即如果變異函數(shù)和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性，則可以利用克里格方法進行內(nèi)插或外推，否則，是不可行的。其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，對未知樣點進行線性無偏、最優(yōu)估計。無偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為0，最優(yōu)是指估計值與實際值之差的平方和最小。也就是說，克里格方法是根據(jù)未知樣點有限鄰域內(nèi)的若干已知樣本點數(shù)據(jù)，在考慮了樣本點的形狀、大小和空間方位，與未知樣點的相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對未知樣點進行的一種線性無偏最優(yōu)估計。

三、克里格插值優(yōu)點

克里格插值與常規(guī)的插值方法相比，具有以下優(yōu)點：

（1）克里格方法建立在空間隨機場結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，因而在計算時可以充分利用空間隨機場中的結(jié)構(gòu)性信息，降低估計的不確定性。

（2）克里格插值方法充分考慮了已知點與待估點之間的空間相關(guān)性。一般情況下，已知點離待估點越近，其權(quán)系數(shù)越大，但如果在某一方向上幾個已知點之間的距離較近，那么這幾個點的權(quán)值將會有較大的差別，其中，靠近未知點的權(quán)值較大，而稍遠(yuǎn)一些的就變得很小。

（3）在進行克里格插值時，可根據(jù)待估點與已知點間的方位關(guān)系選用不同方向的變差函數(shù)，故而其估計結(jié)果也反映了空間隨機場的各向異性。

（4）克里格估值可以給出估計方差的大小，因而可以從一定程度上對估計的精確程度進行評價。

四、克里格插值類型

克里格方法主要有以下幾種類型：普通克里格（Ordinary Kriging）、簡單克里格（Simple Kriging）、泛克里格（Universal Kriging）、協(xié)同克里格（Co-Kriging）、對數(shù)正態(tài)克里格（Logistic Normal Kriging）、指示克里格（Indicator Kriging）、概率克里格（Probability Kriging）、析取克里格（Disjunctive Kriging）等。

不同的方法有其適用的條件，當(dāng)數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時，若服從對數(shù)正態(tài)分布，則選用對數(shù)正態(tài)克里格；若不服從簡單分布時，選用析取克里格；當(dāng)數(shù)據(jù)存在主導(dǎo)趨勢時，選用泛克里格；當(dāng)只需了解屬性值是否超過某一閾值時，選用指示克里格；當(dāng)同一事物的兩種屬性存在相關(guān)關(guān)系，且一種屬性不易獲取時，可選用協(xié)同克里格方法，借助另一屬性實現(xiàn)該屬性的空間內(nèi)插；當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值為某一常數(shù)時，選用簡單克里格；當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值是未知的，選用普通克里格。

五、克里格插值的發(fā)展

對于平穩(wěn)線性估計方法難以滿足的要求，非平穩(wěn)線性克里格的出現(xiàn)則突破了這一限制。在非平穩(wěn)的克里格方法中，具有代表性的是可以解決非平穩(wěn)區(qū)域化變量插值的泛克里格方法。除了非平穩(wěn)之外，有些區(qū)域化變量的空間性質(zhì)特別不穩(wěn)定，用線性估計方法已經(jīng)無法滿足要求，非線性克里格方法由此應(yīng)運而生，如析取克里格等。由平穩(wěn)線性克里格到非平穩(wěn)線性克里格再到非線性克里格，克里格的每一步發(fā)展都是對原有假設(shè)的突破，其應(yīng)用范圍更加廣闊。不過上述方法都只局限于利用單變量的自相關(guān)特征進行插值計算，還未利用除主要變量之外的任何信息。

自20世紀(jì)80年代以來，以馬特隆為首的楓丹白露地統(tǒng)計學(xué)派注意到不同空間隨機變量之間的互相關(guān)關(guān)系，從而提出了協(xié)同區(qū)域化思想，并創(chuàng)建了協(xié)同克里格方法。隨后他們又將不同變量之間的互相關(guān)擴展為同一變量的時序互相關(guān)，又創(chuàng)立了時空克里格方法。在這一時期，克里格插值理論所利用的信息就不僅僅局限于主變量本身，而是擴展到了輔助變量、主變量的時空信息、尺度信息等。

克里格插值理論的另一巨大發(fā)展就是以儒奈爾（Journal）為首的非參數(shù)地統(tǒng)計學(xué)派提出的以條件概率為核心思想的指示克里格方法，從而奠定了非參數(shù)地統(tǒng)計學(xué)理論的基礎(chǔ)。非參數(shù)地統(tǒng)計通過引入高斯變形及指示函數(shù)等概念，可適用于各種類型的概率分布，并能有效克服離群值得影響，由此獲得了廣泛的應(yīng)用。與多元地統(tǒng)計學(xué)理論不同，非參數(shù)地統(tǒng)計學(xué)理論更加注重隨機變量的概率分布信息。

近年來，克里格插值方法的發(fā)展趨勢可用交叉與綜合來概括，產(chǎn)生了諸如指示協(xié)同克里格、多元因子克里格、指示條件模擬、多元動態(tài)條件模擬等方法，這些方法的交叉融合再次從某種程度上反映了克里格估值理論的發(fā)展不斷擴大了使用空間信息的范圍。

縱觀克里格估值理論的發(fā)展歷史，新的估計方法對空間信息的不斷包容性可以說是一個鮮明的特點，而每一次對原有假設(shè)的突破以及對新型信息的利用，都意味著理論方法的一次創(chuàng)新?？梢灶A(yù)見，未來的克里格估值理論也將會遵循這條主線繼續(xù)發(fā)展下去。

參考文獻

[1]周成虎，裴濤等.地理信息系統(tǒng)空間分析原理.科學(xué)出版社.2011.

[2]鄔倫，劉瑜，張晶等.地理信息系統(tǒng)-原理、方法和應(yīng)用.科學(xué)出版社.2001.

[3]池建等.精通ArcGIS地理信息系統(tǒng).清華大學(xué)出版社.2011.