圓錐曲線的復(fù)習(xí)教學(xué)案例

羅時(shí)紅

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（選修1-1）數(shù)學(xué)》（人教版）高二下，第二章圓錐曲線與方程的復(fù)習(xí)課。圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，也是有關(guān)圓錐曲線問題的精髓。如果能很好地利用定義解題，那么很多時(shí)候能以簡馭繁。因此，我們在把新課學(xué)完后有必要再回到定義上，熟練掌握“利用圓錐曲線定義解題”這一重要的解題方法。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

這屆高二學(xué)生在高一時(shí)就是學(xué)習(xí)的新課程，因此他們對新課程并不陌生。與以往的學(xué)生相比，這屆學(xué)生的特點(diǎn)是：參與課堂教學(xué)活動(dòng)的積極性更高，思維敏捷，敢于在課堂上發(fā)表與眾不同的見解，計(jì)算能力比以前有所減弱，字母推理能力更強(qiáng)些，使用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力也略比以前強(qiáng)。

三、設(shè)計(jì)思想

圓錐曲線這章的知識較為抽象，比較難理解。如果離開感性認(rèn)識，則容易使學(xué)生陷入困境，降低學(xué)習(xí)熱情。在教學(xué)時(shí)，我積極引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解題，增強(qiáng)解題的直觀性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生“探究”的發(fā)揮。借助多媒體，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，主動(dòng)參與教學(xué)，在輕松愉快的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、獲取、探究新知，提高教學(xué)效率。

四、教學(xué)目標(biāo)

（一）深刻理解并熟練掌握圓錐曲線的定義，能靈活應(yīng)用定義解決問題；熟練掌握焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距、離心率、準(zhǔn)線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法；能結(jié)合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。

（二）通過練習(xí)題，加深對圓錐曲線定義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、解決問題能力；通過對問題的不斷引申，精心設(shè)問，讓學(xué)生掌握解題的一般思路和方法。

（三）借助多媒體輔助教學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在民主、開放的課堂氛圍中，培養(yǎng)學(xué)生敢想、敢說、勇于探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的精神。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

（一）教學(xué)重點(diǎn)：

1.加深對圓錐曲線定義的理解；2.運(yùn)用圓錐曲線的定義求“最值”問題；3.運(yùn)用“定義法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。

（二）教學(xué)難點(diǎn)：巧用圓錐曲線定義解題。

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）設(shè)計(jì)思路：由于這是一堂復(fù)習(xí)課，加上我所任教的班級是文科班里的本科班（學(xué)校稱之為尖子班），學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)積極性較高，領(lǐng)悟能力較好，因此在教學(xué)中，我擬采用師生共同參與的教學(xué)方法：由教師提出問題，激發(fā)學(xué)生積極思考，引導(dǎo)他們運(yùn)用已有知識經(jīng)驗(yàn)，以小組合作形式通過探究獲取新知識。通過個(gè)別回答、集體修正的方法讓我及時(shí)得到反饋信息。最后，我根據(jù)學(xué)生回答問題的情況進(jìn)行小結(jié)，概括出問題的解決方法，給出正確答案，并指出學(xué)生解題方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1.先提出問題

先給出以下幾個(gè)問題：

例1：（1）已知A（-4，0）、B（4，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=6，則點(diǎn)M的軌跡是（ ）。A.線段 B.橢圓 C.雙曲線 D.不存在

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）滿足=|6x+8y|，則點(diǎn)M的軌跡是（ ）。

A.兩條相交直線 B.雙曲線 C.拋物線 D.橢圓

設(shè)計(jì)意圖：定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，熟悉不同概念的不同定義方式，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一個(gè)必備條件，通過一個(gè)階段的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生對圓錐曲線的定義已有了一定的認(rèn)識，他們能否真正掌握它們的本質(zhì)，是本節(jié)課首先要解決的問題。為了加深學(xué)生對圓錐曲線定義的理解，我以圓錐曲線的定義的運(yùn)用為主線，精心準(zhǔn)備了兩道練習(xí)題。

學(xué)情預(yù)設(shè)：估計(jì)學(xué)生能很快回答出題（1），但是學(xué)生對圓錐曲線的定義可能并未真正理解，因此我再補(bǔ)充：若想答案是其他選項(xiàng)的話，條件要怎么改？學(xué)生差不多都能解決。問題（2）就可能讓學(xué)生費(fèi)一番周折了。此外我還對問題進(jìn)行引申，以此深化對概念的理解。

2.理解定義、解決問題

例2：（1）已知?jiǎng)訄AA過定圓B：x+y+6x-7=0的圓心，且與定圓C：x+y-6x-91=0相內(nèi)切，求△ABC面積的最大值。

（2）在（1）的條件下，給定點(diǎn)P（-2，2），求|PA|+|AB|的最小值。

（3）在（2）的條件下求|PA|+|AB|的最小值。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用圓錐曲線定義中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題化歸為幾何中求最大（小）值的模式，這是解析幾何問題中的一種常見題型，也是學(xué)生比較容易混淆的一類問題。例2的設(shè)置就是為了方便學(xué)生辨析。

學(xué)情預(yù)設(shè)：本題的關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確寫出點(diǎn)A的軌跡，有了例1的鋪墊，對例2（1）、（2），多數(shù)學(xué)生應(yīng)該能準(zhǔn)確給出解答，但例2（3）是少見的問題，學(xué)生估計(jì)解不出來。這時(shí)借助于實(shí)物投影儀，會有學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。那么，我再鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，讓學(xué)生尋找到點(diǎn)B所在的正確位置后，叫學(xué)生演練出正確的解題過程，并借助實(shí)物投影加以演示。最后由學(xué)生進(jìn)行歸納小結(jié)：在橢圓中，當(dāng)定點(diǎn)A不在橢圓內(nèi)部時(shí)，則A，F(xiàn)的連線與橢圓的交點(diǎn)M就是使|BA|+|BF|最小的點(diǎn)；當(dāng)定點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部時(shí)，則A與另一焦點(diǎn)F的連線的延長線與橢圓的交點(diǎn)B即為所求。

3.再進(jìn)行自主探究、深化認(rèn)識

練習(xí)：設(shè)點(diǎn)Q是圓C：（x+3）+y=36上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0）是圓內(nèi)一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與CQ交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程。（若將點(diǎn)A移到圓外，點(diǎn)M的軌跡會是什么？）

（二）知識鏈接：圓錐曲線定義的應(yīng)用舉例練習(xí)（第一定義和統(tǒng)一定義）。

1.雙曲線-=1的兩焦點(diǎn)為F、F，P為曲線上一點(diǎn)，若P到左焦點(diǎn)F的距離為12，求P到右準(zhǔn)線的距離。

2.在拋物線y=2px上有一點(diǎn)A（4，m），A點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為5，求拋物線的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)。

3.已知A（4，0），B（2，2）是橢圓-=1內(nèi)的點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+|MB|的最小值與最大值。

七、教學(xué)反思

本課將借助于PowerPoint課件，利用兩個(gè)例題及其引申，通過一題多變、層層深入的探索，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性、科學(xué)性和批判性，使學(xué)生從學(xué)會一個(gè)問題的求解到掌握一類問題的解決方法，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。另外，多媒體的使用讓抽象的數(shù)學(xué)問題變得形象、生動(dòng)且通俗易懂，同時(shí)節(jié)省了時(shí)間給學(xué)生思考問題和發(fā)現(xiàn)問題。這正吻合了以學(xué)生為主體的探究—合作式教學(xué)新理念。

（一）“滿堂灌”、“滿堂問”的教學(xué)方式已為越來越多的教師所摒棄，我期望在教學(xué)中能多嘗試使用“探究—合作”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生的“知識的獲得過程”不再是簡單的“師傳生受”，而是讓學(xué)生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)加以建構(gòu)。并在這個(gè)建構(gòu)過程中，教師是引導(dǎo)者，學(xué)生才是主體、是知識的主動(dòng)建構(gòu)者。因此所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)該定位在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)。

（二）在有限的時(shí)間內(nèi)突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，給學(xué)生留有自主學(xué)習(xí)的空間和時(shí)間。我把“定義法求軌跡問題”分置于例2（1）與練習(xí)中，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生把握這類問題的解法；將學(xué)生容易混淆的兩類求“最值問題”并為一道題，方便學(xué)生進(jìn)行比較、分析。

（三）現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展為我們提供了良好的教學(xué)條件，然而，教師所編導(dǎo)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該隨著整體環(huán)境的變化、學(xué)生群體的變化而變化。

參考文獻(xiàn)：

[1]選修1-1.數(shù)學(xué)人教版A版.