定積分教學(xué)的一種新方法

田祥　李全忠

【摘要】定積分是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，本文以史為鑒，對定積分概念和N-L公式的教學(xué)進行了一種新的嘗試，引導(dǎo)學(xué)生逐步認識到定積分發(fā)展的軌跡，體會到數(shù)學(xué)的魅力.

【關(guān)鍵詞】無窮逼近；窮竭法；定積分

一、定積分教學(xué)中存在的問題

定積分的概念和N-L公式是定積分教學(xué)中的重點和難點，但傳統(tǒng)的教學(xué)方式存在一定的不足.

首先，關(guān)于定積分概念的教學(xué)，大部分教材是通過“分割，近似替代，求和，取極限”的方法求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程來導(dǎo)出定積分概念.這個過程對近似替代和取極限兩個關(guān)鍵步驟中的處理過于簡單，導(dǎo)致學(xué)生對定積分概念中兩個“任意”和極限的唯一性等提法的合理性缺乏感性認識，還有該過程對定積分中蘊含的“無窮逼近”數(shù)學(xué)思想展現(xiàn)得不夠.

其次，關(guān)于N-L公式的推導(dǎo)，大部分教材利用原函數(shù)存在定理推導(dǎo)出N-L公式，該過程將主要精力放在了證明原函數(shù)存在定理上.對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，這樣處理增加了學(xué)生的負擔.

二、定積分教學(xué)的新方法

定積分起源于求平面圖形的面積和其他一些類似的實際問題.例如，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用窮竭法求出了圓的面積，我國劉徽提出的割圓術(shù)，也是同一思想.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨用dy表示曲線上相鄰點的縱坐標之差，用∫dy表示所有這些差的和，明確指出：∫意味著和，d意味著差，從和差的互逆關(guān)系可知∫和d的互逆關(guān)系，揭示了積分和不定積分深刻的內(nèi)在聯(lián)系.歷史上數(shù)學(xué)家們的這些樸素的想法，更貼近學(xué)生的認知規(guī)律，極具教育上的價值.

筆者通過長期的教學(xué)實踐與摸索，結(jié)合這些想法，打破常規(guī)思路，超越現(xiàn)行教材中的講解順序，對定積分教學(xué)進行新嘗試.

（一）利用窮竭法，展示定積分中“無窮逼近”的思想

1.教學(xué)過程

2.教學(xué)意圖

（1）通過特例，讓學(xué)生認識到不規(guī)則圖形的面積可以通過規(guī)則圖形的面積來逼近，深刻體會“無窮逼近”思想的魅力和威力.

（2）讓學(xué)生認識到，特例中逼近方法依賴于圓的特殊結(jié)構(gòu)，由特殊到一般的過程，使學(xué)生看到方法的演變與發(fā)展的軌跡.

（二）歸納總結(jié)，導(dǎo)出定積分的概念

1.教學(xué)過程

（1）提出用任意分割底邊和用小區(qū)間上任意點的函數(shù)值作高的小矩形面積和的極限limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi都可以表示由連續(xù)曲線y=f（x）（f（x）≥0）和x軸以及x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積.

（3）將曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程兩個問題歸結(jié)為求“非均勻分布總量的問題”，且類似的問題都可以這樣處理.

（4）給出定積分的概念.

2.教學(xué)意圖

（1）由于特例的演示，學(xué)生對定積分概念中兩個“任意”和極限的唯一性等提法的合理性便有了充分的感性認識，容易接受得多了.

（2）讓學(xué)生既認識到定積分所能解決問題的特點及解決該類問題的思路，又認識到提煉出定積分概念的必要性，為定積分的概念的引出做了充分的鋪墊.

（三）啟發(fā)探究，發(fā)現(xiàn)和證明N-L公式

1.教學(xué)過程

2.教學(xué)意圖

這個證明吸收了萊布尼茨用dy表示曲線上相鄰點的縱坐標之差，∫dy表示為所有這些差的和的這個想法，證明過程中只用了定積分的概念和拉格朗日中值定理，過程簡單明了，易于接受.

三、結(jié)束語

該教學(xué)采用探究性的教學(xué)方法，以定積分的歷史發(fā)展脈絡(luò)為主線，從學(xué)生熟悉的問題入手，從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性，逐步揭示了定積分概念和N-L公式的內(nèi)涵和外延.該教學(xué)方法容易讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生親近感，使學(xué)生從以前的被動學(xué)習(xí)演變?yōu)楝F(xiàn)在的主動思考.注意這個教學(xué)方法并不一定適用于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，但可以讓非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生充分理解定積分的思想，達到數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的目的.