“簡(jiǎn)單美”的典范

李開國(guó)

在幾何學(xué)和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)方面，歐拉公式的形式為簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)（[V]）與面數(shù)（[F]）之和減去棱數(shù)（[E]）是一個(gè)不變的量2。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

公式：V+F-E=2

我們知道，多邊形中正多邊形有無數(shù)種，但為什么在多面體中只有五種正多面體呢？古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾經(jīng)對(duì)正多面體進(jìn)行過很多研究，因?yàn)樵诎乩瓐D的唯心主義體系中，正多面體被認(rèn)為是可以作為宇宙基石的最簡(jiǎn)單的理想物體。這些結(jié)果都被收入在了《幾何原本》中，它們分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得曾嘗試證明在多面體中只有這五種正多面體，但沒有成功。隨后很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，又有很多數(shù)學(xué)家采用各種方法想要給出證明，但均以失敗告終?？梢妼?duì)于這一問題的證明方法，完全不同于我們平時(shí)所習(xí)慣的幾何證明方法。它不是依靠可以度量的量（長(zhǎng)度、面積、體積、角度等），而是依靠簡(jiǎn)單的算術(shù)量——多面體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之間的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系，即簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式來解決的。

17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、解析幾何之父笛卡爾已經(jīng)注意到，任意的封閉多面體的面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)目之間存在一定的關(guān)系。1639年，笛卡爾通過考察圖中的五種正多面體，采取不完全歸納法猜測(cè)到，頂點(diǎn)數(shù)與面數(shù)之和減去棱數(shù)是一個(gè)不變的量2。也就是說：[V+F-E=2]。后來，笛卡爾對(duì)多個(gè)簡(jiǎn)單的多面體進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)都符合自己的猜想，但是他沒法給出嚴(yán)格的證明，也沒有將此猜想公開發(fā)表。

1751年，數(shù)學(xué)家歐拉在研究如何將多面體進(jìn)行分類時(shí)，獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式，并給出了一個(gè)證明。由于笛卡爾的研究到1860年才被人們發(fā)現(xiàn)，所以這個(gè)公式就被稱為歐拉公式而不是笛卡爾公式。1811年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西利用不變量的理論，重新給出了完整的證明。

歐拉給出的公式：[V+F-E=2]，描述了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的特有規(guī)律，堪稱“簡(jiǎn)單美”的典范。數(shù)學(xué)上的多面體到底有多少種，沒有人能說清楚，但它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須滿足歐拉公式。一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，令人贊嘆不已。

實(shí)際上歐拉公式除了適用于簡(jiǎn)單多面體以外，也適用于非簡(jiǎn)單多面體。[fp=V+F-E]，其中[fp]叫做歐拉示性數(shù)，即簡(jiǎn)單多面體[fp=2]。根據(jù)歐拉示性數(shù)的不同，可以對(duì)多面體進(jìn)行分類。例如，將長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)小的長(zhǎng)方體，形成一個(gè)洞，其歐拉示性數(shù)[fp=16+16-32=0]，即帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。

過去人們研究的幾何問題主要涉及長(zhǎng)度、角度、距離、周長(zhǎng)、面積、體積等度量，而歐拉公式與度量無關(guān)，它的背后是一門新的幾何學(xué)。這就是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲和歐拉共同奠基的“橡皮膜上的幾何學(xué)”（位置幾何學(xué)），只研究圖形各部分位置的相對(duì)次序，而不考慮圖形的尺寸大小。如今這門學(xué)科已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支——拓?fù)鋵W(xué)，即非度量的幾何學(xué)。

歐拉公式作為拓?fù)鋵W(xué)史上的第一定理，其證明方法是新穎而巧妙的，與我們所熟悉的度量的幾何學(xué)證明大不相同。有興趣的同學(xué)可以利用歐拉公式證明一下，為什么多面體中只有五種正多面體。