多元表征與整合教學(xué)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生
——以“乘法分配律”為例談運(yùn)算律教學(xué)策略

王翠麗 趙 一 （遼寧省葫蘆島市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

乘法分配律是小學(xué)階段學(xué)生需要掌握的五個(gè)運(yùn)算定律之一，具有重要的地位和作用。它溝通了乘除法與加減法之間的聯(lián)系，是小學(xué)數(shù)學(xué)中唯一溝通兩級(jí)運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律；它不僅適用于整數(shù)的加法和乘法運(yùn)算，還適用于有理數(shù)的加法和乘法運(yùn)算，在實(shí)數(shù)甚至復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算中仍然成立。運(yùn)用乘法分配律可以解決較為復(fù)雜的簡(jiǎn)便運(yùn)算，解釋和推導(dǎo)其他的運(yùn)算法則和數(shù)學(xué)公式。乘法分配律與加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律被譽(yù)為“數(shù)學(xué)大廈的基石”。但筆者通過(guò)對(duì)本校學(xué)生調(diào)研發(fā)現(xiàn)，4 ～6 年級(jí)學(xué)生對(duì)乘法分配律的掌握情況并不理想?；趯W(xué)生對(duì)乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型理解不透徹而導(dǎo)致錯(cuò)誤頻發(fā)的現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為要解決這一問(wèn)題，不能要求學(xué)生僅憑一節(jié)數(shù)學(xué)課就能完成對(duì)乘法分配律的學(xué)習(xí)，而是需要從多維度、多層次持續(xù)發(fā)力，助力學(xué)生真正理解乘法分配律的本質(zhì)和內(nèi)涵，建立數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題。

一、深耕“種子課”，通過(guò)多元表征，夯實(shí)運(yùn)算律教學(xué)

“種子課”是承載數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵課。乘法分配律作為五大運(yùn)算定律之一，它的新授課即為這部分內(nèi)容的“種子課”。因此，深耕“種子課”，對(duì)助力學(xué)生理解算理尤為重要。

關(guān)于乘法分配律的常規(guī)教學(xué)，教師通常會(huì)通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法解決問(wèn)題，借助情境理解算法表示的意義，再通過(guò)不完全歸納法引導(dǎo)學(xué)生找出不同算式的共同本質(zhì)特征，從而歸納概括乘法分配律，建立數(shù)學(xué)模型。筆者認(rèn)為，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)只關(guān)注結(jié)構(gòu)特征，是模仿性學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)乘法分配律的本質(zhì)只是淺層理解，后續(xù)會(huì)在解決問(wèn)題的過(guò)程中暴露很多問(wèn)題。

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納曾提出學(xué)習(xí)有三種表征方式：動(dòng)作的、形象的和符號(hào)的?；诓剪敿{的觀點(diǎn)，為了夯實(shí)乘法分配律教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生真正理解算理，筆者認(rèn)為通過(guò)多元表征，充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)形式歸納與意義理解相結(jié)合來(lái)完成乘法分配律的教學(xué)，才能促使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生?；诖耍P者在乘法分配律的“種子課”教學(xué)中設(shè)計(jì)了數(shù)方格、拼方格、畫(huà)方格、連方格和拆方格的系列活動(dòng)，以多元表征的學(xué)習(xí)方式促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律運(yùn)算關(guān)系的理解，使學(xué)生從淺層理解走向深度建構(gòu)。

活動(dòng)1：數(shù)方格。

筆者出示如圖1 所示的方格（4 行6 列），讓學(xué)生數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)小方格?；谥皩W(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容，學(xué)生會(huì)順利得出4×6=24，即共有24 個(gè)小方格。這樣設(shè)計(jì)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)乘法的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊。

圖1

活動(dòng)2：拼方格。

筆者出示如圖2 所示的兩個(gè)方格，引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)方格的特點(diǎn)并提出要求：把兩個(gè)方格組合成一個(gè)大方格，并計(jì)算大方格一共有多少個(gè)小方格。學(xué)生動(dòng)手操作，將兩個(gè)方格組合成如圖3 所示的大方格后列式計(jì)算，求出小方格的數(shù)量。有的學(xué)生列出算式5×3+5×4；有的學(xué)生列出算式5×7；還有的學(xué)生列出算式5×(3+4)。學(xué)生思維活躍，想出了不同的計(jì)算方法，筆者予以肯定并讓他們說(shuō)明理由。

圖2

圖3

這樣的設(shè)計(jì)通過(guò)“數(shù)”與“形”相結(jié)合的方式借助動(dòng)作表征、形象表征和語(yǔ)義表征，為學(xué)生搭建了理解的橋梁，使他們知道乘法分配律的本質(zhì)就是a個(gè)c加b個(gè)c，合起來(lái)就是( )a+b個(gè)c，為初步理解乘法分配律作鋪墊。

活動(dòng)3：畫(huà)方格，連方格。

經(jīng)歷前兩項(xiàng)活動(dòng)后，學(xué)生探究熱情高漲。筆者將活動(dòng)難度升級(jí)，帶領(lǐng)學(xué)生玩起了連連看的游戲。先讓學(xué)生在方格紙上用小方格任意畫(huà)出一個(gè)大方格（每邊最多不超過(guò)9），然后引導(dǎo)學(xué)生用幾乘幾的算式表示出大方格的面積，寫(xiě)在記錄單上。在學(xué)生完成任務(wù)后，筆者將各式各樣、有代表性的作品張貼到黑板上，帶領(lǐng)大家玩連連看的游戲。如圖4，筆者先挑選一個(gè)4×3的方格，取名為“四三方格”，引導(dǎo)學(xué)生觀察剛剛大家畫(huà)出的哪些作品可以與這個(gè)“四三方格”連接成更大的方格。

圖4

如圖5，學(xué)生找出了可以連接的方格有“四六方格”（4×6）、“三五方格”（3×5）、“七三方格”（7×3）等。筆者追問(wèn)：為什么這些方格可以連在一起？這其中有什么規(guī)律呢？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)這些方格的一邊是3或者4，可以與“四三方格”連接。接下來(lái)，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察那些不能連接起來(lái)的方格，思考它們?yōu)槭裁床荒芘c“四三方格”連接在一起。學(xué)生用畫(huà)出的方格演示，發(fā)現(xiàn)這些方格的一邊既沒(méi)有3，也沒(méi)有4，便不能連接。

圖5

接著，筆者繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考，引發(fā)學(xué)生的高階思維：按照連接方式的不同，你能把連在一起的方格分類(lèi)嗎？學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后得出可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是與一邊是3連接的，一類(lèi)是與一邊是4連接的。筆者補(bǔ)充：其實(shí)還可以分為一類(lèi)，就是既能與一邊是3連接，又能與一邊是4連接的，也就是3×4和3×4連接，這是一種特殊情況。以上活動(dòng)通過(guò)讓學(xué)生連接和分類(lèi)方格，強(qiáng)調(diào)形式歸納與意義理解相結(jié)合，加深對(duì)乘法分配律算理的理解，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。

活動(dòng)4：拆方格。

筆者出示一個(gè)大方格，啟發(fā)學(xué)生：如果把“七六方格”（7×6）拆分成兩個(gè)小方格，你想怎么分？學(xué)生在小組內(nèi)交流自己的拆分方法，得出以下幾種分法：7×2和7×4；3×6和4×6；7×3和7×3。接下來(lái)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上拆分方法進(jìn)行分類(lèi)。學(xué)生歸納出兩種方法：一種是拆分“7”；另一種是拆分“6”。針對(duì)乘法分配律除了由分到合，還需要逆向思考由合到分的情況，筆者設(shè)計(jì)了拆分方格的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在每一次操作之后對(duì)方法進(jìn)行分類(lèi)，培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力，發(fā)展了學(xué)生的推理意識(shí)。

接下來(lái)的歸納過(guò)程水到渠成。通過(guò)經(jīng)歷上面的活動(dòng)，學(xué)生充分感知、深入理解，緊緊抓住乘法分配律內(nèi)在不變的“理”，理解外在變化的“形”。根據(jù)活動(dòng)總結(jié)出一系列算式，通過(guò)不完全歸納法抽象概括出乘法分配律：(a±b)·c=a·c±b·c。

布魯納提倡在教學(xué)中使用直覺(jué)思維和發(fā)現(xiàn)法引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。教師要要求學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣思考數(shù)學(xué)，像歷史學(xué)家那樣思考?xì)v史，親自去發(fā)現(xiàn)結(jié)論和規(guī)律，使自己成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)者。本節(jié)課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法理解抽象的算理，通過(guò)動(dòng)作表征、形象表征、語(yǔ)義表征等方式，使方格連接中蘊(yùn)含的知識(shí)結(jié)構(gòu)與運(yùn)算關(guān)系越來(lái)越清晰而具體，易于學(xué)生理解和建構(gòu)，突破了運(yùn)算律教學(xué)的難點(diǎn)。

二、設(shè)計(jì)“整合課”，構(gòu)建知識(shí)體系，促使深度學(xué)習(xí)發(fā)生

根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)乘法分配律的教學(xué)內(nèi)容不能單憑幾節(jié)課的教學(xué)就可以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷領(lǐng)悟和內(nèi)化的過(guò)程。關(guān)于乘法分配律的學(xué)習(xí)，可以從二、三年級(jí)開(kāi)始適當(dāng)體現(xiàn)，到了四年級(jí)再進(jìn)行系統(tǒng)歸納，以運(yùn)算律為主線貫穿各種運(yùn)算規(guī)則，從而構(gòu)建運(yùn)算律知識(shí)體系。這就是布魯納說(shuō)的“結(jié)構(gòu)思想”。深度學(xué)習(xí)也主張從知識(shí)點(diǎn)教學(xué)走向知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)。為此，在后續(xù)的教學(xué)中，筆者繼續(xù)挖掘教學(xué)資源，引領(lǐng)學(xué)生深入探索，直至學(xué)生能靈活運(yùn)用乘法分配律解決問(wèn)題。

基于乘法分配律的廣泛應(yīng)用，在六年級(jí)的復(fù)習(xí)課中筆者設(shè)計(jì)了運(yùn)算律教學(xué)“整合課”，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的教學(xué)思想夯實(shí)算理教學(xué)，取得了較好的教學(xué)效果。在這節(jié)課中，筆者先創(chuàng)設(shè)了如下具體生活情境：媽媽每天要買(mǎi)一盒牛奶和一個(gè)面包，每盒牛奶3.5元，每個(gè)面包6.5元。媽媽每周買(mǎi)這些食品一共要花多少錢(qián)？有的學(xué)生列出算式3.5×7+6.5×7=70，有的學(xué)生列出算式( 3.5+6.5) ×7=70，得出一共需要花70 元。學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)使用第二種方法計(jì)算更簡(jiǎn)便。這個(gè)情境的創(chuàng)設(shè)旨在讓學(xué)生復(fù)習(xí)乘法分配律的相關(guān)知識(shí)。接下來(lái)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考在解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)用到了乘法分配律。學(xué)生比較容易想到的是做簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)用到乘法分配律，學(xué)生列舉出99×35=(1 00-1) ×35=100×35-1×35=3 465，45×19.8+55×19.8=( 45+55) ×19.8=1 980。這只是淺層次的應(yīng)用。隨后，筆者結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考還有哪些知識(shí)運(yùn)用到了乘法分配律。筆者出示一個(gè)長(zhǎng)方形，帶領(lǐng)學(xué)生回顧其周長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，即長(zhǎng)方形周長(zhǎng)= 長(zhǎng)× 2+ 寬×2=（長(zhǎng)+寬）×2，這是典型的運(yùn)用乘法分配律知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程。這樣的實(shí)例打開(kāi)了學(xué)生的思維，教師再結(jié)合剛才的范例提出自學(xué)要求，讓學(xué)生以小組為單位開(kāi)展合作學(xué)習(xí)，對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，找到應(yīng)用乘法分配律知識(shí)解決的問(wèn)題的路徑，并用實(shí)例加以說(shuō)明。

學(xué)生經(jīng)過(guò)充分討論、探究，得出以下知識(shí)運(yùn)用了乘法分配律。例如，口算乘法：28×6=( 20+8) ×6=20×6+8×6=120+48=168，這個(gè)計(jì)算過(guò)程運(yùn)用了乘法分配律。筆算乘法：計(jì)算43×26，第一次乘得的積43×6=258，第二次乘得的積43×20=860，把兩次結(jié)果相加，即258 + 860 = 1 118，運(yùn)用了乘法分配律。小數(shù)乘法：列豎式計(jì)算4.8×1.2 時(shí)，先計(jì)算4.8×0.2，再計(jì)算4.8 × 1.0，最后把兩次乘得的積加起來(lái)，這個(gè)過(guò)程也運(yùn)用了乘法分配律。梯形面積的推導(dǎo)過(guò)程：a×h÷2+b×h÷2=(a+b) ×h÷2 運(yùn)用了乘法分配律。圓環(huán)面積：在利用公式πR2-πr2=π(R2-r2)計(jì)算圓環(huán)面積時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算更簡(jiǎn)便。解方程：求5x-2x=30方程的解時(shí)，由( 5 -2)x=30，3x=30，得x=10，運(yùn)用的還是乘法分配律。除了以上內(nèi)容，解決扇環(huán)面積、圓柱形鋼管的體積等問(wèn)題時(shí)都需要運(yùn)用乘法分配律。

接下來(lái)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探究?jī)?nèi)容進(jìn)行分類(lèi)：求梯形面積、圓環(huán)面積、扇環(huán)面積、圓柱形鋼管體積屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容；口算乘法、筆算乘法、小數(shù)乘法、解方程屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容。通過(guò)條分縷析地歸類(lèi)，使學(xué)生從一節(jié)一節(jié)的課時(shí)教學(xué)中跳出來(lái)，掌握核心知識(shí)，讓學(xué)生透過(guò)知識(shí)的“不同”看到知識(shí)之間的“相同”，進(jìn)而把邏輯聯(lián)系緊密、零散的知識(shí)恰當(dāng)?shù)卣?，突出知識(shí)的本質(zhì)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)也彰顯了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》所倡導(dǎo)的“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”理念。在解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，再次抽象出乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，完成知識(shí)體系的構(gòu)建。運(yùn)用乘法分配律可以突破單元界限、模塊界限和領(lǐng)域界限，將表面看起來(lái)不相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行巧妙關(guān)聯(lián)，搭建起完整的、縱橫交錯(cuò)的知識(shí)網(wǎng)。

關(guān)于深度學(xué)習(xí)之深度，相關(guān)研究指出，“深”在學(xué)生參與，倡導(dǎo)主動(dòng)、積極；“深”在課程內(nèi)容，倡導(dǎo)“知其所以然”；“深”在學(xué)習(xí)任務(wù)，倡導(dǎo)挑戰(zhàn)性、高投入；“深”在學(xué)習(xí)過(guò)程，倡導(dǎo)問(wèn)題解決、知識(shí)運(yùn)用于創(chuàng)新；“深”在學(xué)習(xí)結(jié)果走向批判、創(chuàng)造等高階思維，或整合認(rèn)知與非認(rèn)知的割裂，發(fā)展情感態(tài)度與價(jià)值觀。以上筆者嘗試的教學(xué)設(shè)計(jì)，從學(xué)習(xí)內(nèi)容、參與方式和學(xué)習(xí)過(guò)程方面都達(dá)成了深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)對(duì)乘法分配律的進(jìn)一步理解。

任何外在的教學(xué)形式都應(yīng)該為理解數(shù)學(xué)本質(zhì)服務(wù)。運(yùn)用多元表征深刻理解和掌握乘法分配律，巧妙設(shè)計(jì)“整合課”構(gòu)建知識(shí)體系，引領(lǐng)學(xué)生真正理解算理，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。