不等式教學(xué)中學(xué)生解題能力培養(yǎng)方法的初探

陸新國

摘 要：解題能力是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智力水平的重要組成部分。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練，積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法，逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高。教師要結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐，對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法進行解題活動進行研究。

關(guān)鍵詞：不等式；解題能力；學(xué)習(xí)技能

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題。”問題案例作為數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)知識結(jié)構(gòu)體系以及知識點內(nèi)涵要義的高度概括和生動展現(xiàn)，已成為培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力的重要抓手。長期以來，解題能力都是教學(xué)活動的重要內(nèi)容和目標要求。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練，積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法，逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高?！陡咧袛?shù)學(xué)新課程標準》指出：“要注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想?！爆F(xiàn)結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐，對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等進一步提高學(xué)生解題能力的舉措進行研究。

一、抓住不等式數(shù)與形的特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題能力

眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)科知識就是數(shù)學(xué)語言與圖形符號的有機結(jié)合體。問題案例的呈現(xiàn)，需要利用數(shù)學(xué)語言的精準性和圖形符號的直觀性進行生動形象的展示。有效、靈活運用數(shù)學(xué)問題的“數(shù)”與“形”，成為解題能力的一個重要因素。下面以線性規(guī)劃問題為例，談?wù)勅绾巫プ?shù)與形的特征進行數(shù)形結(jié)合教學(xué)的。

問題：要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格，每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的根數(shù)如下表所示：

若分別需A、B、C三種規(guī)格的鋼管數(shù)為13、16、18根，則各截這兩種鋼管多少根可得所需的鋼管，且使用鋼管總根數(shù)最少？

分析：本題是屬于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用中求整數(shù)解的問題，解答該問題案例時，首先要抽象出線性目標函數(shù)以及線性的約束條件，將該數(shù)學(xué)語言變?yōu)閳D形符號，采用數(shù)形結(jié)合的方法進行問題研析，然后在圖形的可行域內(nèi)求出整數(shù)解。

解題過程略。

點評：線性規(guī)劃問題中，若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，對畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域圖像有較高的精度要求。通過對圖形符號的分析，得到的解可能為非整數(shù)解。這時應(yīng)結(jié)合圖形和實際目標作出分析和調(diào)整。其方法是利用數(shù)形結(jié)合的方法，以原點到線性目標函數(shù)所表示的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與其最為接近的整點。

二、抓住不等式內(nèi)涵的外延豐富特性，培養(yǎng)學(xué)生化歸方法

解決問題能力

不等式的知識與集合、簡易邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容關(guān)系密切，在解答不等式問題時，就可以“由此及彼”，聯(lián)想相關(guān)知識方法，相互轉(zhuǎn)化以達到解決問題的目的。

問題：若方程中至少有一個方程有實數(shù)根，求a的取值范圍。

分析：上述問題是求解參數(shù)的取值范圍，若直接解答，滿足至少有一個方程有實根的情況主要有三種：一是只有一個方程有實根，二是有兩個方程有實根，三是三個方程有實根。如果通過分類討論的方法，則顯得比較繁冗，此時，可以將這三種情況合稱為至少一個方程有實數(shù)根，“正難則反”，想到問題的反面只有一種情形：三個方程均無實根，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“反面求解”。

解：假設(shè)三個方程都沒有實根，則

△■=（4a■）-4（-4a+3）<0△■=（a-1）■-4a■<0△■=（2a）■-4（-a）<0

解得-■

從上述解題過程可見，本題是關(guān)于方程根的問題案例，根據(jù)問題解答要求，需要高中生在解析過程中，認清問題條件中存在的內(nèi)在聯(lián)系，通過化歸轉(zhuǎn)化的方法，將其問題變?yōu)椴坏仁絹磉M行理解探析。

三、抓住不等式條件內(nèi)涵多樣特性，培養(yǎng)學(xué)生分類討論方法解決問題能力

分類討論是數(shù)學(xué)問題解答中經(jīng)常性運用的一種策略，通過訓(xùn)練能夠使學(xué)生的思維能力更加嚴密，思考更為周全，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

問題：設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

思路解析：不等式的二次項系數(shù)中含有參數(shù)，在求解過程中要注意針對m2是否為0分兩種情況進行討論；同時，當(dāng)m2不為0時，對應(yīng)的二次方程如果有實根，還要注意判斷其根的大小關(guān)系，如果不確定，還要進行下一個層次分類討論。

解：（1）當(dāng)m=0時，不等式m2x2+2mx-3<0化為0·x2+0·x-3<0，此時不等式恒成立，其解集是R。

（2）當(dāng)m≠0時，不等式m2x2+2mx-3<0即為（mx+3）（mx-1）<0。

方程（mx+3）（mx-1）=0的根是-■，■。

①當(dāng)m>0時，■>-■，原不等式的解集是（-■，■）；②當(dāng)m<0時，■<-■，原不等式的解集是（■，-■）。

綜上所述，當(dāng)m=0時，原不等式的解集是R；當(dāng)m>0時，原不等式的解集是（-■，■）；當(dāng)m<0時，原不等式的解集是（■，-■）。

總之，高中生解題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要教師的有效教學(xué)以及學(xué)生的長期的刻苦努力。以上的做法是筆者教學(xué)實踐中的一些粗淺體會，在此拋磚引玉，希望能夠有更多的教育工作者積極參與到解題能力的培養(yǎng)和實踐中來，為培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力獻計出力。

（江蘇省如皋中學(xué)）

摘 要：解題能力是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智力水平的重要組成部分。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練，積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法，逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高。教師要結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐，對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法進行解題活動進行研究。

關(guān)鍵詞：不等式；解題能力；學(xué)習(xí)技能

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題?！眴栴}案例作為數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)知識結(jié)構(gòu)體系以及知識點內(nèi)涵要義的高度概括和生動展現(xiàn)，已成為培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力的重要抓手。長期以來，解題能力都是教學(xué)活動的重要內(nèi)容和目標要求。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練，積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法，逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高?！陡咧袛?shù)學(xué)新課程標準》指出：“要注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想?！爆F(xiàn)結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐，對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等進一步提高學(xué)生解題能力的舉措進行研究。

一、抓住不等式數(shù)與形的特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題能力

眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)科知識就是數(shù)學(xué)語言與圖形符號的有機結(jié)合體。問題案例的呈現(xiàn)，需要利用數(shù)學(xué)語言的精準性和圖形符號的直觀性進行生動形象的展示。有效、靈活運用數(shù)學(xué)問題的“數(shù)”與“形”，成為解題能力的一個重要因素。下面以線性規(guī)劃問題為例，談?wù)勅绾巫プ?shù)與形的特征進行數(shù)形結(jié)合教學(xué)的。

問題：要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格，每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的根數(shù)如下表所示：

若分別需A、B、C三種規(guī)格的鋼管數(shù)為13、16、18根，則各截這兩種鋼管多少根可得所需的鋼管，且使用鋼管總根數(shù)最少？

分析：本題是屬于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用中求整數(shù)解的問題，解答該問題案例時，首先要抽象出線性目標函數(shù)以及線性的約束條件，將該數(shù)學(xué)語言變?yōu)閳D形符號，采用數(shù)形結(jié)合的方法進行問題研析，然后在圖形的可行域內(nèi)求出整數(shù)解。

解題過程略。

點評：線性規(guī)劃問題中，若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，對畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域圖像有較高的精度要求。通過對圖形符號的分析，得到的解可能為非整數(shù)解。這時應(yīng)結(jié)合圖形和實際目標作出分析和調(diào)整。其方法是利用數(shù)形結(jié)合的方法，以原點到線性目標函數(shù)所表示的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與其最為接近的整點。

二、抓住不等式內(nèi)涵的外延豐富特性，培養(yǎng)學(xué)生化歸方法

解決問題能力

不等式的知識與集合、簡易邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容關(guān)系密切，在解答不等式問題時，就可以“由此及彼”，聯(lián)想相關(guān)知識方法，相互轉(zhuǎn)化以達到解決問題的目的。

問題：若方程中至少有一個方程有實數(shù)根，求a的取值范圍。

分析：上述問題是求解參數(shù)的取值范圍，若直接解答，滿足至少有一個方程有實根的情況主要有三種：一是只有一個方程有實根，二是有兩個方程有實根，三是三個方程有實根。如果通過分類討論的方法，則顯得比較繁冗，此時，可以將這三種情況合稱為至少一個方程有實數(shù)根，“正難則反”，想到問題的反面只有一種情形：三個方程均無實根，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“反面求解”。

解：假設(shè)三個方程都沒有實根，則

△■=（4a■）-4（-4a+3）<0△■=（a-1）■-4a■<0△■=（2a）■-4（-a）<0

解得-■

從上述解題過程可見，本題是關(guān)于方程根的問題案例，根據(jù)問題解答要求，需要高中生在解析過程中，認清問題條件中存在的內(nèi)在聯(lián)系，通過化歸轉(zhuǎn)化的方法，將其問題變?yōu)椴坏仁絹磉M行理解探析。

三、抓住不等式條件內(nèi)涵多樣特性，培養(yǎng)學(xué)生分類討論方法解決問題能力

分類討論是數(shù)學(xué)問題解答中經(jīng)常性運用的一種策略，通過訓(xùn)練能夠使學(xué)生的思維能力更加嚴密，思考更為周全，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

問題：設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

思路解析：不等式的二次項系數(shù)中含有參數(shù)，在求解過程中要注意針對m2是否為0分兩種情況進行討論；同時，當(dāng)m2不為0時，對應(yīng)的二次方程如果有實根，還要注意判斷其根的大小關(guān)系，如果不確定，還要進行下一個層次分類討論。

解：（1）當(dāng)m=0時，不等式m2x2+2mx-3<0化為0·x2+0·x-3<0，此時不等式恒成立，其解集是R。

（2）當(dāng)m≠0時，不等式m2x2+2mx-3<0即為（mx+3）（mx-1）<0。

方程（mx+3）（mx-1）=0的根是-■，■。

①當(dāng)m>0時，■>-■，原不等式的解集是（-■，■）；②當(dāng)m<0時，■<-■，原不等式的解集是（■，-■）。

綜上所述，當(dāng)m=0時，原不等式的解集是R；當(dāng)m>0時，原不等式的解集是（-■，■）；當(dāng)m<0時，原不等式的解集是（■，-■）。

總之，高中生解題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要教師的有效教學(xué)以及學(xué)生的長期的刻苦努力。以上的做法是筆者教學(xué)實踐中的一些粗淺體會，在此拋磚引玉，希望能夠有更多的教育工作者積極參與到解題能力的培養(yǎng)和實踐中來，為培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力獻計出力。

（江蘇省如皋中學(xué)）

摘 要：解題能力是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智力水平的重要組成部分。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練，積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法，逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高。教師要結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐，對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法進行解題活動進行研究。

關(guān)鍵詞：不等式；解題能力；學(xué)習(xí)技能

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題?！眴栴}案例作為數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)知識結(jié)構(gòu)體系以及知識點內(nèi)涵要義的高度概括和生動展現(xiàn)，已成為培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力的重要抓手。長期以來，解題能力都是教學(xué)活動的重要內(nèi)容和目標要求。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練，積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法，逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高?！陡咧袛?shù)學(xué)新課程標準》指出：“要注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想?！爆F(xiàn)結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐，對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等進一步提高學(xué)生解題能力的舉措進行研究。

一、抓住不等式數(shù)與形的特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題能力

眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)科知識就是數(shù)學(xué)語言與圖形符號的有機結(jié)合體。問題案例的呈現(xiàn)，需要利用數(shù)學(xué)語言的精準性和圖形符號的直觀性進行生動形象的展示。有效、靈活運用數(shù)學(xué)問題的“數(shù)”與“形”，成為解題能力的一個重要因素。下面以線性規(guī)劃問題為例，談?wù)勅绾巫プ?shù)與形的特征進行數(shù)形結(jié)合教學(xué)的。

問題：要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格，每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的根數(shù)如下表所示：

若分別需A、B、C三種規(guī)格的鋼管數(shù)為13、16、18根，則各截這兩種鋼管多少根可得所需的鋼管，且使用鋼管總根數(shù)最少？

分析：本題是屬于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用中求整數(shù)解的問題，解答該問題案例時，首先要抽象出線性目標函數(shù)以及線性的約束條件，將該數(shù)學(xué)語言變?yōu)閳D形符號，采用數(shù)形結(jié)合的方法進行問題研析，然后在圖形的可行域內(nèi)求出整數(shù)解。

解題過程略。

點評：線性規(guī)劃問題中，若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，對畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域圖像有較高的精度要求。通過對圖形符號的分析，得到的解可能為非整數(shù)解。這時應(yīng)結(jié)合圖形和實際目標作出分析和調(diào)整。其方法是利用數(shù)形結(jié)合的方法，以原點到線性目標函數(shù)所表示的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與其最為接近的整點。

二、抓住不等式內(nèi)涵的外延豐富特性，培養(yǎng)學(xué)生化歸方法

解決問題能力

不等式的知識與集合、簡易邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容關(guān)系密切，在解答不等式問題時，就可以“由此及彼”，聯(lián)想相關(guān)知識方法，相互轉(zhuǎn)化以達到解決問題的目的。

問題：若方程中至少有一個方程有實數(shù)根，求a的取值范圍。

分析：上述問題是求解參數(shù)的取值范圍，若直接解答，滿足至少有一個方程有實根的情況主要有三種：一是只有一個方程有實根，二是有兩個方程有實根，三是三個方程有實根。如果通過分類討論的方法，則顯得比較繁冗，此時，可以將這三種情況合稱為至少一個方程有實數(shù)根，“正難則反”，想到問題的反面只有一種情形：三個方程均無實根，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“反面求解”。

解：假設(shè)三個方程都沒有實根，則

△■=（4a■）-4（-4a+3）<0△■=（a-1）■-4a■<0△■=（2a）■-4（-a）<0

解得-■

從上述解題過程可見，本題是關(guān)于方程根的問題案例，根據(jù)問題解答要求，需要高中生在解析過程中，認清問題條件中存在的內(nèi)在聯(lián)系，通過化歸轉(zhuǎn)化的方法，將其問題變?yōu)椴坏仁絹磉M行理解探析。

三、抓住不等式條件內(nèi)涵多樣特性，培養(yǎng)學(xué)生分類討論方法解決問題能力

分類討論是數(shù)學(xué)問題解答中經(jīng)常性運用的一種策略，通過訓(xùn)練能夠使學(xué)生的思維能力更加嚴密，思考更為周全，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

問題：設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

思路解析：不等式的二次項系數(shù)中含有參數(shù)，在求解過程中要注意針對m2是否為0分兩種情況進行討論；同時，當(dāng)m2不為0時，對應(yīng)的二次方程如果有實根，還要注意判斷其根的大小關(guān)系，如果不確定，還要進行下一個層次分類討論。

解：（1）當(dāng)m=0時，不等式m2x2+2mx-3<0化為0·x2+0·x-3<0，此時不等式恒成立，其解集是R。

（2）當(dāng)m≠0時，不等式m2x2+2mx-3<0即為（mx+3）（mx-1）<0。

方程（mx+3）（mx-1）=0的根是-■，■。

①當(dāng)m>0時，■>-■，原不等式的解集是（-■，■）；②當(dāng)m<0時，■<-■，原不等式的解集是（■，-■）。

綜上所述，當(dāng)m=0時，原不等式的解集是R；當(dāng)m>0時，原不等式的解集是（-■，■）；當(dāng)m<0時，原不等式的解集是（■，-■）。

總之，高中生解題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕、一蹴而就的事情，需要教師的有效教學(xué)以及學(xué)生的長期的刻苦努力。以上的做法是筆者教學(xué)實踐中的一些粗淺體會，在此拋磚引玉，希望能夠有更多的教育工作者積極參與到解題能力的培養(yǎng)和實踐中來，為培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力獻計出力。

（江蘇省如皋中學(xué)）