利用長(zhǎng)方體直觀理解平面及其投影特性

◆李立新 劉加孝

作者：李立新，湖南瀟湘技師學(xué)院及湖南九嶷職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)制造；劉加孝，湖南瀟湘技師學(xué)院及湖南九嶷職業(yè)技術(shù)學(xué)院（425000）。

1 問題提出

在機(jī)械制圖教學(xué)中，由于對(duì)理論不熟悉，如果沒有直觀的實(shí)物或圖像，中職、高職學(xué)生很難理解投影面平行面、投影面垂直面及一般位置平面的概念，不能判斷平面的類型，從而混淆它們的投影性質(zhì)。如何才能使學(xué)生深入理解機(jī)械制圖各種平面投影特性？能否通過熟悉的實(shí)物或圖像來(lái)聯(lián)系平面的投影，達(dá)到直觀理解平面及其投影特性的目的？這些問題成了教師幫助學(xué)生解決平面投影難題的關(guān)鍵。

雖然平面是構(gòu)成物體比較基本的元素，但它與實(shí)物形象相差很遠(yuǎn)。對(duì)于職校學(xué)生，特別是沒學(xué)過立體幾何的中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校學(xué)生，難以將平面與物體的形象直接建立聯(lián)系。如果將平面放在基本幾何體上，由點(diǎn)和直線構(gòu)成的平面就顯得很直觀，再分析平面的投影特性，學(xué)生就比較易于理解和接受。長(zhǎng)方體是學(xué)生熟悉的形體，許多教材在點(diǎn)的三視圖中使用它來(lái)幫助形成點(diǎn)的空間概念，效果很好。在長(zhǎng)方體及其切割體上分析平面及其投影特性，顯得直觀而淺顯易懂。

2 在長(zhǎng)方體上建立坐標(biāo)系

為了更好地說明，首先在長(zhǎng)方體上建立如圖1所示三投影面體系。即以長(zhǎng)方體ABCDEFGH的右下后角點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，它的后面為V面（正平面），右面為W面（側(cè)平面），下面為H面（水平面）。這樣可以充分利用長(zhǎng)方體垂直于坐標(biāo)平面的棱線，簡(jiǎn)單地形成平面的投影。如平面1234，點(diǎn)3、4在垂直于正投影面的長(zhǎng)方體棱線GH、BC上，它們的正面投影正好在棱線GH、BC與正投影面的交點(diǎn)H、C上；點(diǎn)1、2在正投影面上，它們的正面投影就與本身重合。所以平面1234的正面投影為12HC，這從圖1中可以明顯看出。

3 直觀理解平面及其投影特性

投影面平行面 平行于某一投影面的平面稱為投影面平行面，它分為正平面、水平面和側(cè)平面。平行于V面的平面稱為正平面，圖1中長(zhǎng)方體的前面ABGF和后面DCEH為正平面；平行于H面的平面稱為水平面，圖1中長(zhǎng)方體的上面ABCD和下面EFGH為水平面；平行于W面的平面稱為側(cè)平面，圖1中長(zhǎng)方體的左面AFED和右面BGHC為側(cè)平面。如果建立以前墻、右墻和地面為坐標(biāo)面的直角坐標(biāo)系，正平面像教室里前面垂直下落的投影幕布，側(cè)平面像教室里左右側(cè)垂直下落的窗簾，水平面像教室里的桌面。

顯而易見，ABGF面的V面投影為DCEH，反映實(shí)形；W面投影為直線BG，H面投影為FG，它們積聚成一條直線段（簡(jiǎn)稱直線，以下同）。同理，正平面DCEH，水平面ABCD、EFGH，側(cè)平面AFED、BGHC都具有同正平面ABGF類似的投影性質(zhì)。即投影面平行面在所平行的投影面上反映實(shí)形，在其他兩個(gè)投影面上積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。

投影面平行面的判斷，可以聯(lián)系圖1所示帶坐標(biāo)系的長(zhǎng)方體進(jìn)行。判斷一個(gè)平面是否為正平面，可以將一個(gè)類似圖1坐標(biāo)系中長(zhǎng)方體的ABGF面向前拉伸到該平面，它們重合，則該平面是正平面，否則不是。用類似的辦法判斷一個(gè)平面是否水平面或側(cè)平面。

投影面垂直面 垂直于一個(gè)投影面，與另兩個(gè)投影面傾斜的平面稱為投影面垂直面，它分為正垂面、鉛垂面和側(cè)垂面。投影面平行面可以看成是投影面垂直面的特殊形式。垂直于H面的平面稱為鉛垂面，垂直于V面的平面稱為正垂面，垂直于W面的平面稱為側(cè)垂面。如果建立以前墻、右墻和地面為坐標(biāo)面的直角坐標(biāo)系，教室前墻上窗戶翻轉(zhuǎn)所構(gòu)成的面是側(cè)垂面；教室右側(cè)墻上窗戶翻轉(zhuǎn)所構(gòu)成的面是正垂面；教室門轉(zhuǎn)動(dòng)所構(gòu)成的面是鉛垂面。

圖1中長(zhǎng)方體中的面1234為鉛垂面，它的水平投影積聚為直線23，正面投影為類似形12HC，側(cè)面投影為類似形43HC。類似的，圖2中長(zhǎng)方體中的面5678為正垂面，它的正面投影積聚為直線78，側(cè)面投影為類似形76GH，水平投影為類似形85GH；圖3中長(zhǎng)方體中的面9-10-11-12為側(cè)垂面，它的側(cè)面投影積聚為直線11-12，正面投影為類似形10-11-H-E，水平投影為類似形9-12-H-E。

顯而易見，投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影積聚為斜直線；在其他兩個(gè)投影面上的投影為類似形。

可以用書等硬板利用桌子建立三維直角坐標(biāo)系，兩塊硬板下部分分別緊貼在桌子前面、右面，使硬板上部分伸出桌面，它們和桌面構(gòu)成三維直角坐標(biāo)系。用長(zhǎng)方體（如文具盒等）緊貼在桌面上，移動(dòng)并轉(zhuǎn)動(dòng)長(zhǎng)方體，則能與長(zhǎng)方體的側(cè)面重合的平面為鉛垂面。用類似的辦法判斷一個(gè)平面是否正垂面或側(cè)垂面。

一般位置平面 對(duì)每一個(gè)投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面，圖4中長(zhǎng)方體的13-14-15平面為一般位置平面，它的正面投影為類似形13-H-14，水平投影為類似形13-15-H，側(cè)面投影為類似形15-14-H。顯然，一般位置平面在每個(gè)相應(yīng)投影面上的投影都是縮小了的類似形。

判斷一個(gè)平面是否為一般位置平面，首先看它是否投影面平行面或投影面垂直面，如果都不是，則它是一般位置平面。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用平面與長(zhǎng)方體的聯(lián)系，使投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面等的概念和性質(zhì)一目了然，從而可以直觀理解平面及其投影特性。■

[1]楊老記,馬英.機(jī)械制圖[M].2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[2]李景龍.新編機(jī)械制圖[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2010.

[3]嚴(yán)勝利,劉勝杰,喬治安.機(jī)械制圖[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2010.