“數(shù)字信號(hào)處理”課程中雙線性變換法的探討

童曉兵，張玉明，徐以濤

(解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇南京 210007)

脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法是“數(shù)字信號(hào)處理”課程中設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)IIR(Infimite Impalse Response)數(shù)字濾波器的兩種常用方法。脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)在于變換前后頻率不會(huì)發(fā)生畸變，缺點(diǎn)是幅度會(huì)發(fā)生混疊，不適合高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。而雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)在于不會(huì)發(fā)生混疊，原因是頻率變換關(guān)系把模擬頻率的正負(fù)無窮大點(diǎn)變換到數(shù)字域的正負(fù)π。其缺點(diǎn)是變換前后頻率會(huì)發(fā)生畸變［1，2］。學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往對(duì)第一種方法比較清楚，對(duì)第二種方法不易理解，特別是對(duì)頻率發(fā)生畸變這一點(diǎn)往往感覺比較抽象。本文將重點(diǎn)針對(duì)這個(gè)問題展開研究和討論，讓學(xué)生對(duì)雙線性變換法中的頻率畸變有一個(gè)直觀認(rèn)識(shí)［3，4］。

1 頻率畸變的原因

雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器會(huì)產(chǎn)生頻率畸變的原因主要是因?yàn)槟M域轉(zhuǎn)換為數(shù)字域的時(shí)候所采用的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

在這個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系中，模擬頻率和數(shù)字頻率成非線性的正切關(guān)系。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象，但導(dǎo)致了頻率軸的失真，稱為頻率畸變［2］。這種頻率畸變使得我們?cè)谠O(shè)計(jì)模擬濾波器的時(shí)候，不能直接利用數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，而是要利用公式:

我們首先將各頻帶的邊緣頻率預(yù)先加以畸變，再利用預(yù)畸后的頻率設(shè)計(jì)模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)，我們?nèi)缓髮?duì)Ha(s)進(jìn)行雙線性變換，從而得到所需要的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)。

2 頻率畸變的深入討論

在數(shù)字濾波器的教學(xué)過程中，學(xué)生往往對(duì)以下兩個(gè)問題理解不夠深刻:①如果不進(jìn)行頻率預(yù)畸，最后設(shè)計(jì)出來的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)是多少?②如果進(jìn)行了預(yù)畸，那么畸變后的模擬濾波器的技術(shù)頻率是多少，最后設(shè)計(jì)出來的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)是多少?

本文將通過實(shí)例來對(duì)比解決這兩個(gè)問題。

［實(shí)例］:要求設(shè)計(jì)一個(gè)IIR數(shù)字低通濾波器，其通帶截止頻率為300Hz，阻帶起始頻率為400Hz，采樣頻率為1000Hz，通帶的最大衰減為1dB，阻帶的最小衰減為15dB。試用雙線性變換法設(shè)計(jì)該數(shù)字濾波器。

1)不對(duì)技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)畸設(shè)計(jì)

直接用300Hz和400Hz這兩個(gè)參數(shù)設(shè)計(jì)模擬濾波器，然后用雙線性法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，求解模擬濾波器和數(shù)字濾波器的通帶和阻帶截止頻率分別是多少?

直接采用300Hz和400Hz不經(jīng)過頻率預(yù)畸而設(shè)計(jì)模擬濾波器得到的幅頻響應(yīng)如圖1所示。圖1(b)為圖1(a)中橢圓圈內(nèi)局部放大后的情況。我們通過放大的圖形可見，-1dB和-15dB處對(duì)應(yīng)的模擬頻率為300Hz和400Hz?？梢园l(fā)現(xiàn)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)符合我們的要求。

圖1 不經(jīng)過頻率預(yù)畸的模擬濾波器特性

圖2是在上面的基礎(chǔ)上，通過雙線性變換法得到的IIR數(shù)字濾波器的幅度特性。圖2(b)為圖2(a)中橢圓圈內(nèi)局部放大后的圖形。我們通過放大后的圖形可以發(fā)現(xiàn)，-1dB和-15dB處所對(duì)應(yīng)的歸一化數(shù)字頻率大約為0.49和0.57，在采樣頻率為1000Hz的情況下，大約為245Hz和285Hz，這個(gè)結(jié)果顯然不符合設(shè)計(jì)要求。這主要是由于雙線性變換法使頻率產(chǎn)生了畸變，根據(jù)公式 ω=(2/π)arctan(ΩTs/2)，于是可將模擬濾波器的300Hz和400Hz分別畸變?yōu)闅w一化的數(shù)字頻率為0.481和0.572。在采樣頻率定為1000Hz的情況下，對(duì)應(yīng)的模擬頻率分別為240Hz和286Hz。由此可見，理論分析和仿真的結(jié)果基本一致。

圖2 雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的特性

2)模擬濾波器預(yù)畸變?cè)O(shè)計(jì)

我們先對(duì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)畸處理設(shè)計(jì)模擬濾波器，再用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，求解這種方法下模擬濾波器和數(shù)字濾波器的通帶和阻帶截止頻率分別是多少?

圖3是將300Hz和400Hz的頻率經(jīng)過預(yù)畸之后設(shè)計(jì)的模擬濾波器的幅頻響應(yīng)。圖3(b)為圖3(a)橢圓圈內(nèi)局部放大后的情況。我們通過放大的圖形可以看到，-1dB和-15dB處對(duì)應(yīng)的模擬頻率大約為430Hz和 980Hz，并不是我們要求的 300Hz和400Hz。這是由于300Hz和400Hz經(jīng)過Ω=(2/Ts)tan(ω/2)的公式預(yù)畸之后分別為438Hz和979Hz?？梢娎碚摲治龊头抡娴慕Y(jié)果基本一致。

圖3 經(jīng)過頻率預(yù)畸的模擬濾波器特性

圖4是通過雙線性法轉(zhuǎn)變得到的數(shù)字濾波器的幅度特性，其中圖4(b)為圖4(a)橢圓圈內(nèi)局部放大后的圖形。由圖可知-1dB和-15dB處所對(duì)應(yīng)的歸一化數(shù)字頻率分別為0.6和0.8。在采樣頻率為1000Hz的情況下，所對(duì)應(yīng)的模擬頻率分別為300Hz和400Hz?？梢姺衔覀冾A(yù)期的設(shè)計(jì)要求。

圖4 雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的特性

3 兩種變換方法的不同之處

在學(xué)習(xí)脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程中，學(xué)生往往會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)不同:使用雙線性變換法時(shí)，可以直接令z=eST。但是，在使用脈沖響應(yīng)不變法的時(shí)候卻不能直接令z=eST，這是什么原因?

實(shí)際上，z=eST反映的是采樣信號(hào)的拉氏變換Ha(s)和序列的z變換之間的關(guān)系，即:

而模擬信號(hào)本身的拉氏變換Ha(s)和序列的z變換之間并沒有這種關(guān)系。因此，在脈沖響應(yīng)不變法中，從Ha(s)到H(z)并沒有一個(gè)由s平面到z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個(gè)s=f(z)的代數(shù)關(guān)系式?？梢娒}沖響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器頻響也不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器頻響。而是模擬濾波器頻響的周期延拓，周期為Ωs=2π/Ts=2πfs。

4 結(jié)語

本文首先解釋了“數(shù)字信號(hào)處理”課程中雙線性變換法中頻率畸變的原理和處理的辦法，然后借助Matlab軟件比較了不進(jìn)行頻率預(yù)畸和進(jìn)行頻率預(yù)畸兩種情況下所設(shè)計(jì)出來的IIR數(shù)字濾波器的特性差別。我們通過這種定量的比較，可以使學(xué)生更加直觀地掌握雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器中的頻率畸變和頻率預(yù)畸的概念，學(xué)會(huì)用IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，為實(shí)際工作打下良好的基礎(chǔ)。

［1］徐以濤等.數(shù)字信號(hào)處理［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2009

［2］胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理--理論、算法與實(shí)現(xiàn)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003

［3］王玉德.“數(shù)字信號(hào)處理”課程的教與學(xué)的探討［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(6):97-98

［4］栗學(xué)麗、劉琚.“數(shù)字信號(hào)處理”中分段卷積的教學(xué)探討［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2011，33(2):102-104