基于非參數(shù)方法的保險(xiǎn)產(chǎn)品障礙期權(quán)定價(jià)研究

游桂云，馮 晶

(1.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京100029；2.中國(guó)海洋大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 青島 266100）

1 保險(xiǎn)產(chǎn)品障礙期權(quán)定價(jià)原理

傳統(tǒng)財(cái)產(chǎn)-責(zé)任保險(xiǎn)定價(jià)多采用精算方法，需要通過(guò)一定的模型來(lái)預(yù)估損失發(fā)生率和平均損失額。由于環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)事故發(fā)生的概率少，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)少，難以得到大量的索賠數(shù)據(jù)，一定程度影響了環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)定價(jià)。精算得到的只是純費(fèi)率，為了控制風(fēng)險(xiǎn)則需要進(jìn)行較高的風(fēng)險(xiǎn)附加和費(fèi)用附加，這樣種僅考慮供給方利益的費(fèi)率對(duì)投保人是不利的。期望均衡原理，是建立在供求基礎(chǔ)上的現(xiàn)代保險(xiǎn)精算，兼顧供給方和需求方的利益，可以有效解決上述問(wèn)題。由于環(huán)境責(zé)任損失發(fā)生概率小，一旦發(fā)生損失額較大的特點(diǎn)，可以假定被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)最多索賠一次，這樣就可以應(yīng)用期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)率。

投保人和保險(xiǎn)公司簽訂的保險(xiǎn)合同，實(shí)質(zhì)上就是一份期權(quán)合約。為體現(xiàn)保險(xiǎn)的補(bǔ)償性原則、增強(qiáng)投保人的安全防范意識(shí)、控制損失概率增大以及杜絕故意行為，保險(xiǎn)合約中往往設(shè)有免賠額和保險(xiǎn)金額即保險(xiǎn)人承擔(dān)賠償或者給付保險(xiǎn)金責(zé)任的最高限額。對(duì)于這一類(lèi)保險(xiǎn)，保險(xiǎn)的免賠額相當(dāng)于起付線，起付線以上的損失由保險(xiǎn)公司對(duì)保險(xiǎn)人給予賠付，承擔(dān)賠付責(zé)任。同時(shí)規(guī)定有最高給付限額即保險(xiǎn)金額，當(dāng)損失超過(guò)最高限額時(shí)，原期權(quán)失效但給予相應(yīng)補(bǔ)償，這個(gè)補(bǔ)償金額通常設(shè)定為保險(xiǎn)金額。本文引入的障礙期權(quán)是不同于標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的新型期權(quán)，是一種附加條件的期權(quán)，對(duì)其附加條件的目的在于把投資者的收益或損失控制在一定范圍之內(nèi)。具體來(lái)講就是在普通期權(quán)的基礎(chǔ)上嵌入一個(gè)障礙價(jià)格，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙價(jià)格時(shí)，期權(quán)合約失效或生效，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在期滿(mǎn)前一直沒(méi)有觸及障礙價(jià)格，則等價(jià)于普通期權(quán)[7]。其中障礙價(jià)格高于執(zhí)行價(jià)格，即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升達(dá)到障礙價(jià)格后該期權(quán)失效（或生效）的稱(chēng)為向上敲出（或敲入）；反之則為向下敲出（或敲入）。

將保險(xiǎn)合約視為一個(gè)向上敲出的看漲期權(quán)，保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)相當(dāng)于該期權(quán)的價(jià)格，此時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)則轉(zhuǎn)化為被保險(xiǎn)人的損失金額。假定Pt為t時(shí)刻的保費(fèi)，C(St，t)為看該時(shí)刻的看漲期權(quán)價(jià)格，St為損失金額（標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格），X為保險(xiǎn)合約中的免賠額（期權(quán)的執(zhí)行價(jià)價(jià)格），到期日為T(mén)(T＞t)。根據(jù)保險(xiǎn)精算方法確定的該期權(quán)的價(jià)值是未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格產(chǎn)生潛在損失和請(qǐng)求權(quán)的數(shù)學(xué)期望值，故該向上敲定的看漲期權(quán)到期時(shí)期權(quán)價(jià)值為：

令保險(xiǎn)賠付額ST-X=x，則上述看漲期權(quán)可轉(zhuǎn)化為：標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格為x（賠付額），期權(quán)的執(zhí)行價(jià)為0，到期日為T(mén)(T＞t)，障礙價(jià)格為H的看漲期權(quán)。規(guī)定在保險(xiǎn)有效期內(nèi)，當(dāng)保險(xiǎn)人賠付金額x低于執(zhí)行價(jià)格0時(shí)，不執(zhí)行期權(quán)；當(dāng)保險(xiǎn)人賠付金額超過(guò)0時(shí)投保人則執(zhí)行期權(quán)，保險(xiǎn)人對(duì)超過(guò)部分x進(jìn)行賠付，同時(shí)規(guī)定最高賠付限額H，一旦損失額觸及障礙價(jià)格(賠付上限)，但按保險(xiǎn)金額H給予相應(yīng)的現(xiàn)金補(bǔ)償，即當(dāng)ST≥H時(shí)只賠付H-X。

根據(jù)保險(xiǎn)精算方法確定的該期權(quán)的價(jià)值是未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格產(chǎn)生潛在損失和請(qǐng)求權(quán)的數(shù)學(xué)期望值，故該向上敲定的看漲期權(quán)到期時(shí)期權(quán)價(jià)值為:

2 基于非參數(shù)核密度估計(jì)的障礙期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)

2.1 基于非參數(shù)方法的損失分布確定

基于非參數(shù)方法的障礙期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)，應(yīng)用非參數(shù)核密度估計(jì)法對(duì)環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)損失分布進(jìn)行估計(jì)是關(guān)鍵，本文將保險(xiǎn)賠付額x視為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，并選擇非參數(shù)估計(jì)中的Parzen核密度估計(jì)方法進(jìn)行損失分布擬合，具體步驟如下：

（1）選取核函數(shù)：

設(shè)x為給定的隨機(jī)變量，hn(hn→0)是一個(gè)常數(shù)（稱(chēng)為為窗寬），則稱(chēng)：

（2）最優(yōu)窗寬的選?。?/p>

式(6)中hn為信息擴(kuò)散系數(shù)也稱(chēng)窗寬，即組間寬度參數(shù)(Band-width)，決定了密度函數(shù)的平滑程度，寬度參數(shù)的確定是非參數(shù)核密度估計(jì)的重要步驟。

選擇組間寬度參數(shù)的方法有總量確定法、“Silverman經(jīng)驗(yàn)法”和插入法。本文采用Silverman的經(jīng)驗(yàn)法則(SROT)，考慮最小化積分均方誤差(MISE)，寬度參數(shù)一個(gè)較好的選擇為：

2.2 向上敲出障礙期權(quán)的價(jià)格

根據(jù)前文的分析得到財(cái)產(chǎn)-責(zé)任保險(xiǎn)對(duì)應(yīng)的障礙期權(quán)價(jià)格為：

其中φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，Φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布積累函數(shù)。

根據(jù)上式可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)基于非參數(shù)方法的期權(quán)定價(jià)模型對(duì)保險(xiǎn)產(chǎn)品費(fèi)率進(jìn)行厘定時(shí)，其價(jià)格取決于免賠額X,保險(xiǎn)金額H,承保時(shí)間(T-t)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，寬度參數(shù)hn的選擇以及損失的分布情況。其中免賠額的設(shè)定有利于投保人提高風(fēng)險(xiǎn)防范意識(shí)，降低風(fēng)險(xiǎn)事發(fā)生的可能性，因此，設(shè)定免賠額可以降低保險(xiǎn)費(fèi)率。 保險(xiǎn)金額在期權(quán)合約中是固定不變的。保險(xiǎn)金額即最高賠付限額越高，則被保險(xiǎn)人獲利的可能性越高，保險(xiǎn)的價(jià)格越高。承保時(shí)間反映了期權(quán)合約的時(shí)間價(jià)值，一般而言，距到期日的時(shí)間越長(zhǎng)，保險(xiǎn)的時(shí)間價(jià)值越大。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率一般指國(guó)債的發(fā)行利率或銀行1年期定期存款利率，它是購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的機(jī)會(huì)成本。因此無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的高低反應(yīng)了保險(xiǎn)合約機(jī)會(huì)成本的大小，高利率要求期權(quán)的高收益率，相應(yīng)地保險(xiǎn)價(jià)格也越低。

3 實(shí)證測(cè)算

由于企業(yè)導(dǎo)致的環(huán)境污染事故的發(fā)生而導(dǎo)致第三者蒙受損失，企業(yè)需要依法承擔(dān)一定的賠償責(zé)任，以這種責(zé)任為標(biāo)的的責(zé)任保險(xiǎn)即為環(huán)境污染責(zé)任保險(xiǎn)。在環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)制度中，投保企業(yè)向保險(xiǎn)公司提前繳納一定數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)公司則根據(jù)保險(xiǎn)合同的內(nèi)容承擔(dān)賠償責(zé)任，如果被保險(xiǎn)人發(fā)生環(huán)境污染事故，對(duì)第三者的身體健康和財(cái)產(chǎn)造成了損失，則對(duì)于免賠額以上保險(xiǎn)金額以下的損失和治理費(fèi)用保險(xiǎn)公司直接向第三者提供賠償金。

根據(jù)前文的理論分析，環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)這一含有免賠額及最高保險(xiǎn)限額的責(zé)任保險(xiǎn)可視為一個(gè)向上敲出的看漲期權(quán)。環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)的保費(fèi)即為障礙期權(quán)的價(jià)格，其中免賠額相當(dāng)于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格X，規(guī)定在保險(xiǎn)有效期內(nèi)，當(dāng)投保人損失金額ST低于執(zhí)行價(jià)格X時(shí)，投保人不執(zhí)行期權(quán)；當(dāng)投保人損失金額額超過(guò)免賠額時(shí)投保人則執(zhí)行期權(quán)，保險(xiǎn)人對(duì)超過(guò)部分ST-X賠付，同時(shí)規(guī)定保險(xiǎn)金額（障礙價(jià)格）H，一旦損失金額觸及障礙價(jià)格(賠付上限)，但按固定金額H-X給予相應(yīng)的現(xiàn)金補(bǔ)償，即當(dāng)ST≥H時(shí)只賠付H-X。

在我國(guó)的實(shí)踐中，以那些高污染行業(yè)作為環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)試點(diǎn)的重點(diǎn)行業(yè)，對(duì)部分行業(yè)甚至推行法定強(qiáng)制環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)。因此本文選取化學(xué)原料及化學(xué)制品制造業(yè)這一高污染行業(yè)作為環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)的研究對(duì)象，假設(shè)在該行業(yè)推行強(qiáng)制性環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)，即該行業(yè)全部國(guó)有及規(guī)模以上非國(guó)有工業(yè)企業(yè)均作為投保人。對(duì)歷年來(lái)我國(guó)的環(huán)境責(zé)任事故進(jìn)行損失計(jì)算，并加以處理，得到實(shí)證數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定研究。

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源和處理

根據(jù)李生才、王亞軍、黃平等人統(tǒng)計(jì)在2004～2012年《安全與環(huán)境學(xué)報(bào)》上的環(huán)境污染事故，并結(jié)合原始事件相關(guān)報(bào)道，分別對(duì)相關(guān)環(huán)境責(zé)任事故進(jìn)行損失計(jì)算，得到2004-2012年期間相關(guān)事故的損失數(shù)據(jù)。

對(duì)計(jì)算得到的損失數(shù)據(jù)加以整理和篩選，其中損失金額小于5萬(wàn)元的不予列出，損失金額在5萬(wàn)元至200萬(wàn)元之間的，將之減去5萬(wàn)元列出，損失金額大于200萬(wàn)元的按195萬(wàn)元列出，得到2004～2012年化學(xué)原料及化學(xué)制品制造業(yè)的環(huán)境污染事故的賠償金額及次數(shù)（見(jiàn)表1）。

表1 保險(xiǎn)公司對(duì)每次事故的賠付額 （單位：萬(wàn)元）

根據(jù)實(shí)證數(shù)據(jù)的需要對(duì)這些損失數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的處理。對(duì)環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)的保險(xiǎn)標(biāo)的進(jìn)行分析，對(duì)于一份環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)而言，其保險(xiǎn)標(biāo)的是某一投保企業(yè)在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)造成的環(huán)境事故損失賠償金額。所采用的實(shí)證數(shù)據(jù)必須與之相對(duì)應(yīng)，然而目前已有的數(shù)據(jù)是每次事故的損失數(shù)據(jù)，因此，采用如下方法對(duì)實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：首先，確定某一特定時(shí)間區(qū)間為承保期，由于目前已有數(shù)據(jù)是2004～2012年的年度數(shù)據(jù)，以年度數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算則實(shí)證數(shù)據(jù)太少，不利于實(shí)證研究，所以研究采取2個(gè)月作為承保期；其次，對(duì)2004年1月至2012年4月期間內(nèi)每?jī)蓚€(gè)月的賠償數(shù)據(jù)進(jìn)行加總，得到每?jī)蓚€(gè)月一次的全國(guó)范圍內(nèi)環(huán)境責(zé)任事故賠償總額，共50個(gè)數(shù)據(jù)；再次，由于在期權(quán)定價(jià)中確定的是一份期權(quán)的價(jià)格，因此相應(yīng)的實(shí)證數(shù)據(jù)也應(yīng)該是一個(gè)企業(yè)的受償金額，所以將上一步驟得到的數(shù)據(jù)除以該年份化學(xué)原料與化學(xué)制品制造業(yè)企業(yè)的數(shù)量，得到一家企業(yè)在以2個(gè)月為一期間的50個(gè)期間內(nèi)所造成的保險(xiǎn)公司的賠償金額；最后，由于2004～2012《安全與環(huán)境學(xué)報(bào)》中化學(xué)原料與化學(xué)制品制造業(yè)的環(huán)境污染事故的統(tǒng)計(jì)次數(shù)偏少，相當(dāng)于同期《中國(guó)環(huán)境統(tǒng)計(jì)公報(bào)》統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的1/4。因此本文將其調(diào)至《國(guó)內(nèi)環(huán)境事件數(shù)據(jù)》統(tǒng)計(jì)次數(shù)的4倍，即以《中國(guó)環(huán)境統(tǒng)計(jì)公報(bào)》統(tǒng)計(jì)數(shù)量為準(zhǔn)，得出研究所需的實(shí)證數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 以?xún)稍聻橐粋€(gè)統(tǒng)計(jì)區(qū)間的事故賠償金額 單位：元

3.2 相關(guān)數(shù)值設(shè)定

（1）免賠額與保險(xiǎn)金額

在環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)中保險(xiǎn)金額和免賠額的設(shè)定始終是個(gè)難點(diǎn)，筆者(2010)在《環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)模式選擇與定價(jià)研究》一書(shū)中根據(jù)國(guó)外環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)金額確定的經(jīng)驗(yàn)和我國(guó)保險(xiǎn)市場(chǎng)的發(fā)展情況指出：根據(jù)對(duì)化學(xué)原料及化學(xué)制品制造業(yè)環(huán)境污染事故的統(tǒng)計(jì)，約90%事故的損失在5萬(wàn)元以上，對(duì)于生產(chǎn)規(guī)模在500萬(wàn)以上的企業(yè)，在考慮企業(yè)的承保能力和促進(jìn)其投保積極性的前提下，確定其保險(xiǎn)金額為200萬(wàn)元，基本免賠額為5萬(wàn)元。本文仍將免賠額設(shè)定為5萬(wàn)元，承保金額設(shè)定為200萬(wàn)元，采用絕對(duì)免賠額的定義，即如果一次事故損失不足5萬(wàn)元，則保險(xiǎn)公司不進(jìn)行賠付；如果損失為a萬(wàn)元（5＜a＜200），則保險(xiǎn)公司賠付(a-5)萬(wàn)元；如果損失金額大于200萬(wàn)元，則保險(xiǎn)公司賠付195萬(wàn)元

（2）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的確定

選擇以最近的SHIBOR利率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（設(shè)為r0=4.4002%）由于B-S模型中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率必須是連續(xù)復(fù)利（設(shè)為r0=4.4002%）形式，因此需要將一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率轉(zhuǎn)化成連續(xù)復(fù)利的形式，換算關(guān)系如下：

3.3 環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)費(fèi)率厘定及結(jié)果分析

根據(jù)本研究在第3部分中已經(jīng)推導(dǎo)出的費(fèi)率厘定公式，并將上述計(jì)算得到的參數(shù)代入得：

由于經(jīng)過(guò)上式計(jì)算的結(jié)果是兩個(gè)月的保費(fèi)金額，因此要得到一年期環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)的保費(fèi)，應(yīng)當(dāng)將每個(gè)兩月期的保費(fèi)均貼現(xiàn)至當(dāng)年初，計(jì)算如下：

按照1.12‰的保險(xiǎn)費(fèi)率和統(tǒng)計(jì)得到的損失數(shù)據(jù)計(jì)算得到2004-2011年期間，全國(guó)范圍內(nèi)環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)的預(yù)計(jì)保費(fèi)收入和預(yù)計(jì)賠付金額，并據(jù)此計(jì)算得到預(yù)計(jì)承保利潤(rùn)，表3所示。

表3 2004-2011年全國(guó)環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)利潤(rùn)估算表 （單位：萬(wàn)元）

可以發(fā)現(xiàn)，除2004年出現(xiàn)約3500萬(wàn)元的巨額虧損外，其他年份保險(xiǎn)公司，均有一定的利潤(rùn)，總體而言，2004～2011年，全國(guó)的環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)預(yù)計(jì)利潤(rùn)合計(jì)3719.53萬(wàn)元，既保證了保險(xiǎn)公司的承保利潤(rùn)空間，又沒(méi)有對(duì)投保人的利益產(chǎn)生嚴(yán)重?fù)p害，基本保持平衡狀態(tài)。因此，1.12‰的保險(xiǎn)費(fèi)率是較為科學(xué)和合理的。

4 研究結(jié)論

本文通過(guò)分析含免賠額及最高賠付限額的一類(lèi)財(cái)產(chǎn)責(zé)任保險(xiǎn)的期權(quán)特性，將更加契合保險(xiǎn)特性的一種特殊期權(quán)——障礙期權(quán)引入保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)。將保險(xiǎn)合約視為一種向上敲出的看漲期權(quán)，并利用精算與期權(quán)定價(jià)相結(jié)合的方法，通過(guò)非參數(shù)核密度估計(jì)方法估計(jì)損失分布情況，推導(dǎo)出基于非參數(shù)方法的障礙期權(quán)定價(jià)模型，進(jìn)而調(diào)整為保險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)模型。這與基于對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布的Black-Scholes定價(jià)不同。由于資產(chǎn)價(jià)格的分布往往不是嚴(yán)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的，這就使得Black-Scholes定價(jià)在保險(xiǎn)定價(jià)的運(yùn)用中存在一定的局限性。本文采用非參數(shù)方法對(duì)資產(chǎn)價(jià)格分布進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)，其分布函數(shù)是從歷史損失數(shù)據(jù)中得到的，這是比較貼近市場(chǎng)的定價(jià)方法。

此外，以目前國(guó)內(nèi)正在試點(diǎn)的環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)為例，選擇其中的重點(diǎn)行業(yè)——化學(xué)原料及化學(xué)制品制造業(yè)作為實(shí)證對(duì)象。對(duì)2004～2012期間環(huán)境污染事故數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，利用推導(dǎo)得到的基于非參數(shù)方法的障礙期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)定價(jià)實(shí)證研究，得出相應(yīng)的費(fèi)率水平。經(jīng)過(guò)一定的合理性檢驗(yàn)得出：總體而言按照本文測(cè)算出的費(fèi)率水平，既保證了保險(xiǎn)公司的承保利潤(rùn)空間，又沒(méi)有對(duì)投保人的利益產(chǎn)生嚴(yán)重?fù)p害，基本保持平衡狀態(tài)。

[1]Cummins J David.Risk-based Premiums for Insurance Guaranty Funds[J].The Journal of Finance，1988，43(4).

[2]Alexandre Ziegler.A Game Theory Analysis of Options[M].Springer Verlag，1999.

[3]Grosen Anders，Jorgensen P Lochte.Fair Valuation of Life Insurance Liabilities：The Impacts of Interest Rate Guarantees Surrender Options and Bonus Policies[J].Insurance：Mathematics and Economics,2000,(26).

[4]Calum Turvey，Jinhua Zhao.Parametric and Nonparametric Crop Yield Distributions and Their Effects on All-Risk Crop Insurance Premiums[Z].Working paper，Department of Agricultural Economics and Business University of Guelph，1999.

[5]鄭紅.基于期權(quán)定價(jià)視角的醫(yī)療保險(xiǎn)精算原理與方法[J].系統(tǒng)工程，2011,(2).

[6]梁來(lái)存.我國(guó)糧食保險(xiǎn)純費(fèi)率厘定方法的比較與選擇[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2011,(2).

[7]游桂云，趙智慧，戴雷奇.環(huán)境責(zé)任保險(xiǎn)精算定價(jià)實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012,(5).