瞬變電磁測井原理研究Ⅰ：Doll幾何因子

朱留方，臧德福，沈永進，沈建國

（1.中石化勝利石油工程有限公司測井公司，山東 東營 257096；2.天津大學電子信息工程學院功率超聲實驗室，天津 300072）

0 引 言

電阻率測井從電極、側向到感應測井，分別采用直流電、交流電激發(fā)方法。電極和側向測井依據直流電的基本原理；感應測井依據交流電的基本原理。其激發(fā)電信號的頻率分別為0和單個頻率［1］。陣列感應測井采用方波激發(fā)［2］，增加了幾個倍頻信號。直流電測井所采集到的原始信號是電壓和電流，感應測井所采集到的原始信號是正弦波。直流的電壓和電流直接反映地層的電阻率［1］，感應測井則通過正弦波的幅度和相位攜帶地層電導率信息。信息測量方面，現(xiàn)有的直流電測井方法原始測量信號少，交流電測井方法攜帶地層信息不豐富。陣列聲波測井波形［3］和核磁共振測井［4］的原始信號是由各種頻率的正弦波或指數衰減波組成的時域波形，對其分別進行頻譜分析和解譜計算能夠獲得相應的頻譜，這些頻譜信號能夠提供更加豐富的地層信息。

為了增加電阻率測井原始信號所攜帶的地層信息，需要發(fā)射多種頻率的信號［5］，不同頻率的電磁信號在地層中會產生不同的響應，這些響應疊加在一起構成了瞬變電磁測井原始測量波形。對于這些原始測量波形，可以在電磁感應理論［5－6］的指導下設計處理方法，從中提取地層電參數的有效信息。瞬變電磁測井發(fā)射瞬變電磁信號，其頻譜是以低頻為主的連續(xù)譜，在井內激發(fā)的感應電動勢滿足電磁感應原理。本文借助于Doll幾何因子對其響應進行初步分析。

1 瞬變電磁測井激發(fā)的頻譜

電法測井儀器中，頻率為0的直流電測井工作波形是方波（電極測井最早曾經用機械換向器），以便消除自然電位對直流電響應測量的影響。因為方波的頻率低，理論研究仍然采用直流電理論研究其響應。普通感應、雙感應、陣列感應和高頻感應［5］測井則采用正弦波或方波激發(fā)。普通感應或雙感應測井時，其激發(fā)的正弦波只有1個頻率，用模擬電路測量其虛部幅度，在一階近似的情況下，虛部的幅度與地層的電導率成正比，按照幾何因子加權疊加。陣列感應測井則采用方波激發(fā)，激發(fā)的頻率除了基頻以外，還有其倍頻成分。圖1為方波和三角波激發(fā)時出現(xiàn)的多個離散頻率，圖1中繪制了前3個頻率對應的幅度。其中3倍頻的幅度中方波的幅度比較大，三角波的幅度比較小。這樣，陣列感應測井除了測量基頻的幅度外，還測量倍頻的虛部幅度，相當于1次激發(fā)獲得了3種頻率的響應信號。

圖1 正弦（長虛線）、方波（虛線）和三角波（實線）的頻譜

如果用階躍激勵則可以得到連續(xù)的多種頻率的激發(fā)。圖2是階躍函數的頻譜1／（iω）。從圖2上可以看出，頻率越低，其幅度越大。這種激發(fā)方式以低頻為主，頻率越高，激發(fā)的幅度越小，所有頻率的響應按照頻譜加權后相加則構成其階躍激發(fā)的響應，該響應隨時間衰減。這種激發(fā)方式的頻譜是連續(xù)的，與現(xiàn)有的感應測井有很大的區(qū)別，其攜帶的地層參數信息貫穿于所測量到的全部響應波形中。

圖2 階躍函數激發(fā)的頻譜

從普通感應、雙感應、陣列感應測井到俄羅斯高頻感應測井，其激發(fā)的頻率從20 k Hz增加到14 MHz。俄羅斯高頻感應采用多個不同源距和間距的發(fā)射、接收線圈組合［5］，用多種頻率的正弦波激發(fā)，直接測量2個接收線圈接收到的正弦波的相位差。由于其頻率變化范圍是875 k Hz～14 MHz，所滿足的微分方程為

式中，A為描述瞬變電磁場的勢函數；ω是角頻率；μ、ε分別是地層的磁導率和介電常數；σ是地層的電導率。從式（1）可以看到，括號內有2項，第2項描述電磁波的傳播特征，與頻率成正比，隨著頻率的增加，與括號中第1項的電導率（描述電磁感應特征）在數值上逐步接近。這樣，在所測量的信號中，傳播效應（括號中的第2項，主要導致正弦波的相位移動）和電磁感應（括號中的第1項，主要導致正弦波幅度衰減）效應對響應的影響都存在，都對測量結果有比較大的影響，或者說俄羅斯的高頻感應測井儀器可以同時測量到地層的電阻率和介電常數。

當頻率再增加時，括號中的第2項大于第1項，測井響應主要由電磁波的傳播效應決定，所測量的值主要是相位移動（類似于聲波波形），即電磁波的傳播速度，通過速度獲得地層的介電常數，這時，對應的測井方法是電磁波傳播測井。

從以上直流電到感應測井、陣列感應到高頻感應以及最后到電磁波測井的發(fā)展軌跡可以看出，在過去幾十年里，電阻率測井以頻率增加為發(fā)展方向。激發(fā)功率通常比較小，只適合裸眼井測井。

瞬變電磁測井則向頻率減小的方向發(fā)展，采用階躍激發(fā)或者低頻方波激發(fā)，發(fā)射的功率比較大，激發(fā)的頻譜是連續(xù)的，式（1）中括號內的第1項遠遠大于第2項，主要利用電磁感應原理，通過測量地層產生的二次電磁場獲得地層的電阻率。

2 電磁感應的二次場

從Fourier級數展開或Fourier變換知道，階躍激發(fā)或者低頻方波激發(fā)函數可以分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，用感應測井提供的方法可以研究單個頻率的響應，然后按照激發(fā)的頻譜（為權重）相加即可得到總的響應。因此，瞬變電磁測井也可以看成交流電測井，滿足電磁感應原理，主要測量二次場，用Doll幾何因子可以對其二次場進行近似描述。

通過分析Doll幾何因子推導過程中所涉及到的幾個關鍵問題，進一步理解二次場的概念以及測井響應與地層電導率之間的關系。給出瞬變電磁測井響應中二次場即有用信號的計算方法。

在無限大均勻介質中僅研究單頻激發(fā)（正弦波Ieiωt）的響應。位于井中心的線圈激發(fā)的磁場相當于磁偶極子M＝nTS0Ieiωt（M的方向是z）激發(fā)的磁場強度H，其中，S0是激發(fā)線圈的面積，I是其中流過的電流幅度，ω是角頻率，磁場強度H的矢徑方向ρ的分量Hρ為

式中，ρT為測點距發(fā)射線圈中心的距離；θ為矢徑方向與M方向的夾角；nT是激發(fā)線圈的圈數（見圖3）。

圖3 感應測井幾何因子推導所用變量示意圖

設地層中單元環(huán)的半徑為r，以發(fā)射線圈T的中心為球心，通過單元環(huán)作一個球面。在這個球面的法線方向，磁場強度分量由式（2）給出。因為球面上的面積元是dS＝2πρ2Tsinθdθ，所以通過單元環(huán)的磁通量Φ是單元環(huán)上的球面的電磁感應強度在其法線方向的投影與面積元乘積后的積分，磁感應強度Bρ與磁場強度Hρ之間的關系Bρ＝μsHρ，其中μs是地層的磁導率。則通過單元環(huán)上球面的磁通量Φ為

由電磁感應原理知，磁通量對時間的導數等于電動勢。單元環(huán)上的電動勢V為

這是一次感應電動勢或直接耦合感應電動勢，與頻率成正比，因為對時間的求導使表達式中出現(xiàn)了頻率因子ω。

沿單元環(huán)積分得到整個單元環(huán)在接收點處激發(fā)的磁場強度dH z：沿單元環(huán)積分時，磁場dH′的方向不斷改變，但是，沿z方向的投影不變，這樣，dl的積分結果是總的磁場

接收線圈內部通過的磁通量dΦ′為

式中，Sr是接收線圈的面積；nR是接收線圈的圈數。這樣電流環(huán)與接收線圈之間的互感

對磁通量dΦ′求導得到接收線圈中的二次感應電動勢的微分

式中，h是與線圈有關的常數，描述2個互感響應；g是Doll幾何因子。

對式（11）在全空間中積分得到單個頻率的二次場響應。

計算二次感應電動勢時又對時間因子求了一次導數，表達式中又出現(xiàn)了一次頻率ω，最終所得到的二次感應電動勢與頻率的平方成正比。

上述推導過程中，兩次求導引出了兩次頻率因子，致使二次場的響應與頻率的平方成正比。這一結論對瞬變電磁測井非常重要。另外，發(fā)射線圈產生的直接耦合一次場給出了所有位置的磁場強度，在單元環(huán)中該磁場強度產生磁感應強度，由此引出地層的磁導率；因為磁感應強度隨時間變化，則在單元環(huán)中產生一次感應電動勢，該感應電動勢沿圓周方向構成回路，在單元環(huán)中產生感應電流，感應電流沿圓周方向流動，在空間產生二次磁場強度，該二次磁場強度在接收線圈內部產生磁感應強度，這時引出接收線圈內部的磁導率，該二次磁感應強度在接收線圈中產生二次感應電動勢。接收線圈內部的磁導率對二次場響應影響比較大。二次場響應的頻譜幅度與頻率的平方成正比。

這是瞬變電磁測井對單個頻率的二次場響應。瞬態(tài)激發(fā)的響應等于其頻譜乘以對應頻率的響應后疊加。方波或者階躍的響應可以用這種方法得到：首先計算激發(fā)波形的頻譜，然后計算每個對應頻率的響應，將這些響應按照頻譜疊加即得到其瞬態(tài)響應。

3 套管的影響

套管內部通常含鐵，其磁導率大約是普通地層介質的1 000倍。相同的磁場，在套管中會激發(fā)出很強的電磁感應強度。套管的電導率大約是地層107倍，其感應電流是地層的1010倍，感應電動勢也是地層的1010倍。所以，普通感應測井不能夠在套管井中進行測量。

在套管井內，發(fā)射線圈產生的磁場強度H不因套管的存在而改變，套管內壁（井內）的液體中的電磁感應強度也不變；而在套管所占的空間中，因鐵的存在，套管的電磁感應強度會發(fā)生劇烈變化，其強度是普通地層的1 000倍，這是因為套管的磁導率大。當電流環(huán)取到套管介質后，即電流環(huán)半徑大于套管內半徑、小于套管外半徑時，在套管所占據的空間內，計算電磁感應強度時選取的磁導率應該是套管的磁導率；同樣，計算感應電流時，也應該用套管的電導率，這時，其感應電動勢是地層的1010倍。

Doll假設的電流環(huán)是獨立的，電流環(huán)之間的相互作用沒有考慮。在最終所得到的用幾何因子計算響應的公式中，套管所占據的空間應該用套管的磁導率和電導率參數。套管是圓柱形狀介質，可以用徑向積分幾何因子計算圓柱形狀套管的響應。由于電導率和磁導率相乘以后是地層的1010倍，所以，在套管井的響應中，套管所產生的二次電磁場幾乎占據或構成了其全部響應。

4 均勻無限大介質的響應

為了理解瞬變電磁測井原理，暫且不考慮套管的影響。選擇2個激發(fā)電流時間不同的波形對無限均勻介質進行激發(fā)。圖4所示是其激發(fā)波形。激發(fā)電流的持續(xù)時間為150 ms（紅線）和300 ms（藍線）。為了區(qū)分，繪圖時將藍線上移了0.05 V。將這2個波形作FFT得到圖5所示的頻譜，藍線激發(fā)的頻率低頻成分幅度大，紅線部分激發(fā)的頻率成分低頻幅度比較小，相應地高頻成分比較多。

在反映地層的二次場的感應信號表達式式（8）中，線圈參數和線圈內部介質以及地層的磁導率參數固定以后，2個獨立的等效互感是常數。對于均勻無限大地層，其幾何因子積分以后為1，二次感應電動勢的頻譜與頻率的平方成正比，與地層的電導率成正比。對于瞬變電磁測井，無限大均勻地層的二次感應測井響應V2的頻譜為

圖4 激發(fā)電流波形

圖5 激發(fā)電流所對應的頻譜

式中，K是常數。為研究無限大均勻介質中二次場的特征，取K為1。

從式（13）可以看出，瞬變電磁測井響應的一階近似表達式中，其頻譜與頻率的平方成正比，比例系數包含地層的電導率參數。瞬變電磁響應的特征完全由式（13）確定。

通過改變激發(fā)波形延長時間研究其響應。將二次場的頻率響應函數（13）與激發(fā)函數的頻譜相乘以后得到圖6所示的頻譜。從圖6中可以看到，隨著頻率的增加，高頻成分的幅度值增加很多，總的趨勢類似于直線上升。這是由于方波頻譜總的變化趨勢按照電流突變的頻譜1／ω變化，與V2（ω）相乘以后，其頻譜總的變化趨勢與頻率成正比。

圖6 激發(fā)頻譜與二次場頻譜相乘以后的頻譜

這樣的頻譜將突出界面的影響。將上述頻譜作FFT以后得到圖7所示的響應。與圖5所示的激發(fā)波形相比可以發(fā)現(xiàn)，在激發(fā)波形的突變處，地層的一次場響應有一個極大值；二次場響應有正、負2個脈沖，其脈沖的幅度與電導率成正比，電導率越大，其幅度越大。

在激發(fā)波形突變位置，di／dt極大，線圈中電磁感應強度最大，這個時刻地層的一次感應電動勢也最大，其他時刻，由于沒有激發(fā)波形突變，不會出現(xiàn)大的電磁感應現(xiàn)象，相應地也沒有大的感應電動勢。但是，由于地層的二次感應電磁場是對時間2次求導以后得到的，因此其響應曲線有正、負2個極值。從發(fā)射線圈到無限遠，區(qū)域很大，不同區(qū)域的感應電動勢對接收線圈響應的貢獻幅度不一樣，響應的時間有差別，因此，在最終的感應電動勢響應中會出現(xiàn)一個過渡過程。

在所計算的響應中，開始位置有一個響應過程（見圖8）。該過程刻畫了二次場對瞬變激發(fā)波形的響應過程。從圖8（a）上可以看出，2種不同激發(fā)波形的響應是完全重合的。為了區(qū)分這2個響應，將紅線的響應加0.000 001進行繪圖并得到圖8（b）。該圖刻畫了二次場響應曲線的形狀，描述了瞬變電磁測井響應的主要特征，它是階躍激發(fā)波形的響應曲線，該形狀不隨激發(fā)波形中突變時間改變。

圖7 2種激發(fā)波形的一次場（a）和二次場（b）響應曲線

圖8 起始時刻的二次場響應

從上述結果可以看出，用瞬變電磁場激發(fā)的二次場可以測量地層的電阻率，所測量的電阻率響應二次場只在激發(fā)波形突變的位置明顯，其幅度與地層的電阻率成正比?？梢杂酶袘腄oll幾何因子對其進行描述，建立不同深度的電阻率探測系統(tǒng)。

5 激發(fā)波形衰減形狀的影響

瞬變電磁測井的二次場響應幅度與地層的電導率成正比，在用響應的幅度計算地層的電導率時，還必須研究其他因素對響應幅度的影響。因為實際的激發(fā)波形不可能像理論假設那樣突變，總有一定的延遲。用一階網絡的指數響應對激發(fā)波形形狀進行模擬，用指數函數e－pt代替突變。圖9是指數函數過渡的波形形狀及其對應的頻譜（與階躍函數的頻譜繪制在一起進行對比），從圖9（b）可以看到，由于激發(fā)波形的突變界面變化趨緩，低頻成分增加［圖9（b）的黑線和橙線分別是指數函數代替階躍突變以后的頻譜］。圖10是電導率恒定，指數衰減系數p不同時所得到的二次場響應波形。從圖10可以看到，激發(fā)波形的突變形狀對二次場響應的影響比較大，p越小，其響應幅度越小。因為，此時突變不突出，電磁感應現(xiàn)象減弱，二次感應電動勢減小。

圖9 改變電流突變的形狀，用指數函數模擬突變時的波形及其對應的頻譜（p＝0.2）

圖10 激發(fā)電流變化形狀對二次場感應電動勢的影響

6 分析與討論

為了更好地理解瞬變電磁測井測量二次感應電磁場的基本原理，按照Doll幾何因子的推導過程，重點對所測量的二次電磁場的物理過程進行了推導。并用所得到的結果進一步計算了瞬變電磁測井對階躍激勵的二次場（一階近似理論）響應。從響應中可以看出，在階躍波形突變的位置，電磁感應最強烈，激發(fā)的一次場的感應電動勢最大，二次感應電動勢幅度在其兩側最大，瞬變電磁測井響應在階躍位置出現(xiàn)近似正、負脈沖形狀的響應，該響應曲線中包含了地層的電導率信息：電導率越大，整個響應曲線中二次場的幅度越大。或者說瞬變電磁測井攜帶地層電導率信息的方式是其曲線的幅度，在任意一個響應時間位置，其二次場響應的幅度都與地層的電導率成正比，只是時間不同，其幅度的大小有差別。

對于瞬變電磁激發(fā)源，階躍激發(fā)源只是其中的一種理想源，還有一種理想激發(fā)源是脈沖，其頻譜是所有頻率的幅度都等于1。激發(fā)源的激發(fā)波形可以設計成各種形狀，相應地，其瞬變電磁測井的響應也會出現(xiàn)各種豐富多彩的曲線形狀。從這些所測量的曲線形狀中對所測量地層的電導率進行反演，可以得到地層電導率隨半徑的分布。這是瞬變電磁測井的優(yōu)勢之一：通過改變激發(fā)源激發(fā)的波形形狀設計出所需要的電磁測井儀器，完成需要的測量功能。

本文計算的響應是瞬變電磁測井中與地層電導率直接相關的部分，即二次場的響應。真正瞬變電磁測井所測量到的信號還包含一次場——直接耦合場。兩者的疊加才是最終所記錄到的測井響應。從Doll幾何因子知道，直接耦合場與地層的電導率無關，與頻率成正比，幅度比二次場大很多，刻畫了系統(tǒng)的部分響應。與地層電導率有關的二次場由Doll幾何因子給出（其一階近似解），沒有考慮單元環(huán)之間的相互作用，高頻時受集膚效應影響比較大，低頻時其幅度比較小。

7 結 論

（1）瞬變電磁測井是一種全新的電阻率測井方法，與現(xiàn)有的電阻率測井方法思維方式相反，從低頻和大功率2個方面入手，完成對地層電阻率的測量。

（2）激發(fā)頻率低導致電磁感應強度小，二次感應的信號幅度必然減小。為了彌補低頻導致的信號幅度減小，實施技術上采用大功率激發(fā)方式。瞬變電磁測井用連續(xù)的頻譜進行激發(fā)和測量，將電阻率測井從單一頻率拓展到連續(xù)頻率，測量連續(xù)的感應電動勢波形，其中的每個頻率均攜帶地層電阻率信息，能夠測量到地層電阻率的頻散曲線。

（3）與現(xiàn)有的感應測井相比，其地層電阻率信息的攜帶方式發(fā)生了根本性的變化。由于激發(fā)頻率比較低，電磁感應在地層中波及的深度比較深，因此，探測深度比現(xiàn)有的電阻率測井方法深，受套管的影響小，有可能發(fā)展成為過套管電阻率測井方法。

（4）激發(fā)波形形狀對響應曲線影響比較大，因此，可以設計各種激發(fā)波形實現(xiàn)有針對性的測量，該方法靈活多變，適應范圍廣。

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