基于通脹預(yù)期的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合的研究

陸鳳芝 嚴(yán) 偉 何陽陽

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖241000）

0 引言

最優(yōu)消費(fèi)與投資問題作為微觀金融學(xué)研究的重要方向之一，是研究金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中資本資產(chǎn)定價和風(fēng)險(xiǎn)管理等經(jīng)濟(jì)問題的基礎(chǔ)，對金融經(jīng)濟(jì)理論的發(fā)展起著重要的推動作用。早在1970年代，著名的金融經(jīng)濟(jì)學(xué)家Merton[1]就己經(jīng)開始著手研究連續(xù)時間下的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，并在完備的市場假設(shè)條件下建立了經(jīng)典的消費(fèi)和投資模型。至今該模型已被眾多相關(guān)的學(xué)者[2-4]所研究，但他們中多數(shù)是在原模型的基礎(chǔ)之上，對相關(guān)的假設(shè)、條件加以改進(jìn)而已?；诮鹑谑袌龅牟粩鄤?chuàng)新與完善，我們需要對更加符合實(shí)際的模型加以研究。

基于現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)[5]，我們研究了在消費(fèi)籃子價格完全可觀察的情形下，優(yōu)先考慮隨機(jī)通脹和紅利支付這兩種主要的影響因素，來求解使得投資者來自于消費(fèi)與終端財(cái)富期望效用最大化的最優(yōu)消費(fèi)與投資策略，通過解HJB方程從而得到投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資策略，同時在理論上得出修正后的互助基金定理，并在不變相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)效用這一特殊給定情形之下，得到投資者在通脹條件下最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的顯式解，通過數(shù)值例子說明支付紅利對最優(yōu)消費(fèi)和投資組合的影響。

1 金融市場的理論框架

假設(shè)(Ω，F(xiàn),P)是一個帶有 Wiener過程 wI(t)、wz(t)和 W(t)的概率空間，且wI(t)、wz(t)皆為標(biāo)量，而W(t)是n維的。我們用wI(t)來表示通脹的隨機(jī)狀態(tài)，用W(t)表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的不確定性源。由于在一般情況下市場上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價格與通貨膨脹有緊密的聯(lián)系，故wI(t)和W(t)必定具有一定的相關(guān)性。而 wz(t)獨(dú)立于 wI(t)和 W(t)。F=σ｛wt(s)，wz(s),w(s)；s≤t｝在此表示除了可能的初始條件外所有過程都應(yīng)該適應(yīng)的基本信息流。Y0(t)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價格，Y(t)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價格的n維隨機(jī)過程，X(t)為投資者的財(cái)富，B(t)為消費(fèi)籃子價格過程。L(t)=lnB(t),z(t)表示L(t)不可直接觀察時的信號。

價格與通脹過程：

無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的名義價值滿足如下方程：dY(t)=r(t)Y0(t)dt，Y0(0)=y0。其中y0＞0為給定的常數(shù)，r(t)為確定性的無風(fēng)險(xiǎn)利率。因?yàn)槲覀冊谀Ｐ椭屑僭O(shè)即期預(yù)期通脹是不變的，所以也假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率是不變的。

名義風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價格滿足：

其中yi＞0為給定的常數(shù)，ai(t)和σij(t)分別代表確定性有界的預(yù)期回報(bào)率和波動率函數(shù)。波動矩陣 σ(t)=（σij(t)）1≤i≤n，1≤j≤n對于任一 t都是可逆的。

投資者的消費(fèi)籃子中包括了幾種消費(fèi)品及其權(quán)重比例。為了簡化起見，在此我們忽略多維方面的情況，直接考慮消費(fèi)籃子中貨物價格的加權(quán)和.該和通常被稱作消費(fèi)籃子價格或簡稱籃子價格，為了能夠得到來自于名義消費(fèi)過程與終端財(cái)富的實(shí)際消費(fèi)過程與實(shí)際終端財(cái)富，B(t)在此充當(dāng)一個計(jì)價.消費(fèi)籃子價格的動力學(xué)可表示為：

其中 B0表示初始條件，I與 ζ為常數(shù)， 向量 ρ=（ρ1，..，ρN）T表示 wI(t)和 W(t)的相關(guān)系數(shù)，其中 E[dwi(t)dwI(t)]=ρ=ρidt，i=1,2..，n，且 y 的轉(zhuǎn)置用yT來表示。預(yù)期即期通貨膨脹率在此用實(shí)數(shù)I來表示，通脹波動率在此我們用ζ來表示且其值大于零，由于消費(fèi)價格籃子價格一般情況為正值，故預(yù)期即期通貨膨脹率也應(yīng)該為正的，并且易得在消費(fèi)價格籃子完全可觀察的情形下B0是已知的。為了方便起見，直接用對數(shù)籃子價格L(t)來取代B(t)。由于對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，故籃子價格B(t)越高，L(t)就越高。 故：dL(t)=（I-

2 消費(fèi)籃子價格完全可觀察下的最優(yōu)消費(fèi)和投資模型研究

由于紅利的派發(fā)將直接影響投資者消費(fèi)和投資的決定，故在消費(fèi)籃子價格完全可觀的情形下，考慮通脹和紅利這兩個因素，在上述提供的金融模型框架下，建立消費(fèi)和投資組合的對應(yīng)模型，由對HJB方程的求解可獲得最優(yōu)消費(fèi)與投資決策，進(jìn)而在理論上獲得經(jīng)典互助基金定理的修正形式，同時給出不變相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)效用的顯示解。

我們首先利用動態(tài)規(guī)劃原理得到了最優(yōu)消費(fèi)和投資決策，則最優(yōu)化問題對應(yīng)的HJB方程是

帶有終端條件 V（x，L，T）＝U2（xe－L）其中 a（t）＝σ（t）σ（t）T，求解上述方程中的消費(fèi)策略問題為一個凹優(yōu)化問題，故在此一階條件是充分的，即 e－LU（Ce－L）－Vx（x，L，t）=0，從而得到最優(yōu)反饋消費(fèi)策略為（x，L，t）=（Vx（x，L，t）），其中 l1（·）表示 U'（·）的反函數(shù)。 得到的最優(yōu)投資決策問題是二次最大化的問題?，F(xiàn)假定在完備市場下，a＝σσT是可逆的，可得到最優(yōu)的投資組合決策是

定理：在消費(fèi)籃子價格完全可觀察情況下，考慮通脹和紅利的支付這兩個因素，下面的結(jié)論都是成立的

（i）最優(yōu)投資組合在無風(fēng)險(xiǎn)基金F1與風(fēng)險(xiǎn)基金之間的分配為：F2（t）=（σ（t）T）－1θ（t）和 F3（t）=（σ（t）T）－1ρ，其中 Fk（t）表示 t時刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的第k個投資組合權(quán)重。

（ii）在時間為t時，投資者將財(cái)富投資在基金Fk（t）的最優(yōu)比例分別可表示為

由定理可知，最優(yōu)投資組合是由三個基金組成的，經(jīng)典問題中只要兩個基金，與經(jīng)典問題相同的是，第一基金為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第二基金為成長型的最優(yōu)基金，而第三基金為產(chǎn)生于通脹不確定性和風(fēng)險(xiǎn)市場風(fēng)險(xiǎn)相互關(guān)系的基金。

3 小結(jié)

本文主要研究了投資者在完全可觀察的情形下，基于通脹環(huán)境下建立消費(fèi)和投資的最優(yōu)組合。文章首先給出了由三基金組成的互助基金定理的正確性，然后在消費(fèi)籃子完全可見的情況下，考慮通脹和紅利支付情形下，修正的互助基金定理并明確給出了最優(yōu)投資組合的三基金及財(cái)富在三基金之間的具體分配。

放眼未來隨著世界經(jīng)濟(jì)一體化，金融全球化趨勢的不斷深化，人們對經(jīng)濟(jì)策略也愈發(fā)重視，故本文對投資者在金融市場（尤其在通脹環(huán)境下）選擇最優(yōu)的投資和消費(fèi)策略具有現(xiàn)實(shí)的理論指導(dǎo)作用，這也是本文實(shí)際應(yīng)用價值的具體體現(xiàn)。

［1］Merton，RC.Optimal consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J].Journal of Economic Theory，1971,3：373-413.

［2］費(fèi)為銀.考慮紅利支付的最有消費(fèi)投資模型研究 [J].安徽機(jī)電學(xué)院學(xué)報(bào)，1997,12（24）：62-67.

［3］Wang,N.Optimal consumption and asset allocation with unknown income growth[J].Journal of Monetary Economics,2009,56：524-534.

［4］丁傳明，鄒捷中.考慮通貨膨脹率影響的最優(yōu)消費(fèi)投資模型[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)，2004,35（1）：167-170.

［5］李淑娟，費(fèi)為銀，牛艷，陳超.消費(fèi)籃子價格部分可觀察下帶通脹與紅利支付的最優(yōu)消費(fèi)投資問題研究[J].安徽工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26（2）：74-79.