解讀微積分中的極限思想

錢瓏

摘 要 在經濟類院校的微積分教學過程中，極限思想在整個教授過程中有著至關重要的作用，它串起了微積分的核心思想。本文重點介紹了極限思想在教學期間與連續(xù)、導數(shù)以及積分的聯(lián)系，從而讓學生對微積分有了一個系統(tǒng)的認知，能夠幫助學生更好地學習微積分這門課，為其相關的專業(yè)課學習打下一個堅實的基礎。

關鍵詞 極限 連續(xù) 導數(shù) 積分

中圖分類號：O172.4 文獻標識碼：A

Interpretation of the Limit Ideas of Calculus

QIAN Long

（College of Law & Business， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract In the process of economic college calculus class teaching， the ultimate thinking has a crucial role in the whole process， which pierces the core ideas of calculus. This article focuses on the limits of thought during the teaching and continuous， derivative， and integral links， so that students have a calculus cognitive system can help students better learn calculus this course， its related specialized learning to lay a solid foundation.

Key words limit； continue； derivative； integration

1 極限的簡介

隨著我國經濟飛速的發(fā)展，綜合國力的不斷提高，許許多多造型奇特，功能強大，反映時代特色的建筑物如雨后春筍般拔地而起，在我們驚嘆這些建筑的同時，我們不禁想到這些建筑物的體積和表面積應該當如何計算得知呢？我們將用極限的思想為我們揭開問題神秘的面紗。極限包含數(shù)列極限和函數(shù)極限，他們的區(qū)別在于一個是離散變化，而另一個是連續(xù)變化，但不管是離散的，還是連續(xù)的，都是研究自變量在某一變化過程中，因變量隨之變化的最后結果，它是數(shù)學家在研究無窮小的問題時而得出的。在極限產生的過程中，有很多不太好解答的悖論，如：記得以前在上課的時候有位同學就問我為什么0.333€？等于1？再比方說莊子的文章“天下篇”中有這么一句“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中就都包含了極限的思想。再如，三國時期的數(shù)學家劉微在《九章算術》的注文中，創(chuàng)立了一種推導圓周率的方法，即所謂的“割圓術”，他用正多邊形的方法進行割圓，指出當正多邊形的邊越來越多的時候，它的面積與圓的面積無限接近，以至于不能再割，即與圓合體。事實上我們古代的很多詩詞也有極限思想的滲入，像“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”，就體現(xiàn)了一種無限的境界，徐立也先生則引用“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”來讓學生體會變量無限趨近于0的動態(tài)意境。這些正好與我們現(xiàn)代微積分的理論知識相對應，這說明我們國家很早就有了極限思想的存在，只不過缺少發(fā)現(xiàn)極限的眼睛。極限的厲害之處在于把本來不斷變化的東西用確切的常數(shù)去表示，這樣便解決了在各專業(yè)研究過程中很多難以解釋的問題。而且微積分中三個最基本的定義：連續(xù)、導數(shù)、積分都是通過極限的形式去定義的，可見極限在微積分中的作用非同一般。下面我們在微積分中其它部分中去探求極限的作用。

2 極限與連續(xù)的聯(lián)系

現(xiàn)實世界的許多事物和現(xiàn)象都是運動變化的，而且其變化過程是連綿不斷的，如溫度的變化，身高的增長。我們在微積分中主要的研究對象連續(xù)函數(shù)，是刻畫變量連續(xù)變化的最好方式。從直觀上說，當函數(shù)伴隨著自變量的改變而改變時，如果自變量的變化不大，那么函數(shù)值的改變也應當相對甚微，不會出現(xiàn)大幅度的波動。從幾何圖像上看的話，函數(shù)所對應的圖像應該是一條連續(xù)不斷的曲線，沒有間斷。通過極限可以更加精確地描述連續(xù)函數(shù)的定義：（1）當自變量的該變量趨向于0的時候，函數(shù)值的改變量也應該趨向于0 = 0。（2）當自變量趨向于某個固定值的時候，函數(shù)值也應該趨向于相對應的函數(shù)值 （）= （）。（3）-定義： >0， >0，當∣∣<時，有∣ （） （）∣<，則稱函數(shù) （）在點連續(xù)。

函數(shù)在點的連續(xù)性意味著對應法則和極限滿足運算的交換律。極限是從一點出發(fā)去研究在這一點的連續(xù)性，兩點確定一條直線的思想告訴我們，利用極限，也可以研究線的特征，于是，就有了導數(shù)。

3 極限與導數(shù)的聯(lián)系

我們通過變速直線運動的瞬時速度的求解和曲線在某一點切線的斜率的研究引出了導數(shù)的概念，如果告訴 = （），也就是時間與路程之間的關系，那么 = 表示的是某時段的平均速度，（） = 表示的是在時刻的瞬時速度，在函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值上取相應的極限就可以把時段變成時刻，這就是極限的魅力，還有曲線在某一點切線的斜率的舉例道出了導數(shù)的幾何意義。通過上述兩例可以引出導數(shù)的定義式：

（下轉第37頁）（上接第25頁）

（1） （） = ，當 = + 時可以變?yōu)?/p>

（2） （） =

知道了導數(shù)的定義式后可以反過來利用導數(shù)的定義式求解相關的極限式，如：

（）= （≠0）

導數(shù)的定義是從實際問題中得來，最后它也返還到實際問題中去，利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值，最值。如：商品平均成本最小，利潤最大化等等問題。還可以研究函數(shù)的凹凸性，拐點。結合極限求函數(shù)的漸近線，這樣我們就可以利用導數(shù)去描繪更多函數(shù)的圖像（基本初等函數(shù)以外）。這為我們解決實際問題指明了前進的道路。

4 極限與積分的聯(lián)系

我們通過曲邊梯形的面積的計算去引出定積分的定義，主要的思想是“分割取近似，求和取極限”去將曲邊梯形的面積用和的極限式去加以表示 = （） ，然后我們將這個和的極限式定義為函數(shù) （）在[，]上的定積分（ （）），利用和的極限式就等于定積分，我們就可以對有些數(shù)列求和的極限將其轉化為定積分計算如：（ + + … + ） = ，而且我們還知道當 （）≥0時，定積分的值就是 （）與 = ， = 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，一般情況下 （）是連續(xù)函數(shù)，根據連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質，我們知道所圍成的平面圖形是一個封閉的，后來有牛頓-萊布尼茨公式將定積分的計算化歸為積分上下限在原函數(shù)中的代數(shù)差，極大地簡化了定積分的計算，那么這一類積分我們稱它為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分，簡稱：正常積分或常見積分，最后我們把正常積分推廣到反常積分，也就是廣義積分。廣義積分分為兩種，一種是無限區(qū)間上的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分），那么在理解這兩種積分的時候，我們可以從函數(shù)的定義域和值域入手去理解，定義域分為三種[， +）， （，]， （，+），（） = （）（將廣義積分轉化為積分的極限式去求解），通過幾何意義我們還知道廣義積分一般表示非封閉平面圖形的面積。并且這個非封閉的圖形的開口，當自變量趨向于無窮遠處的時候，開口也無限趨向于閉口。

而瑕積分是指在閉區(qū)間的無界函數(shù)的積分，瑕點就是我們通常認為的無窮間斷點，如： （） = （）（為瑕點），我們可以利用極限將無限區(qū)間轉化為有限區(qū)間，將無界函數(shù)轉化為有界函數(shù)，然后依然利用牛頓-萊布尼茨公式去加以計算。

參考文獻

[1] 陶前功，嚴培勝.高等數(shù)學.科學出版社，2012.

[2] 趙樹源.微積分.中國人民大學出版社，1982.

[3] 張偉.經濟數(shù)學.中國人民大學出版社，2000.endprint

摘 要 在經濟類院校的微積分教學過程中，極限思想在整個教授過程中有著至關重要的作用，它串起了微積分的核心思想。本文重點介紹了極限思想在教學期間與連續(xù)、導數(shù)以及積分的聯(lián)系，從而讓學生對微積分有了一個系統(tǒng)的認知，能夠幫助學生更好地學習微積分這門課，為其相關的專業(yè)課學習打下一個堅實的基礎。

關鍵詞 極限 連續(xù) 導數(shù) 積分

中圖分類號：O172.4 文獻標識碼：A

Interpretation of the Limit Ideas of Calculus

QIAN Long

（College of Law & Business， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract In the process of economic college calculus class teaching， the ultimate thinking has a crucial role in the whole process， which pierces the core ideas of calculus. This article focuses on the limits of thought during the teaching and continuous， derivative， and integral links， so that students have a calculus cognitive system can help students better learn calculus this course， its related specialized learning to lay a solid foundation.

Key words limit； continue； derivative； integration

1 極限的簡介

隨著我國經濟飛速的發(fā)展，綜合國力的不斷提高，許許多多造型奇特，功能強大，反映時代特色的建筑物如雨后春筍般拔地而起，在我們驚嘆這些建筑的同時，我們不禁想到這些建筑物的體積和表面積應該當如何計算得知呢？我們將用極限的思想為我們揭開問題神秘的面紗。極限包含數(shù)列極限和函數(shù)極限，他們的區(qū)別在于一個是離散變化，而另一個是連續(xù)變化，但不管是離散的，還是連續(xù)的，都是研究自變量在某一變化過程中，因變量隨之變化的最后結果，它是數(shù)學家在研究無窮小的問題時而得出的。在極限產生的過程中，有很多不太好解答的悖論，如：記得以前在上課的時候有位同學就問我為什么0.333€？等于1？再比方說莊子的文章“天下篇”中有這么一句“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中就都包含了極限的思想。再如，三國時期的數(shù)學家劉微在《九章算術》的注文中，創(chuàng)立了一種推導圓周率的方法，即所謂的“割圓術”，他用正多邊形的方法進行割圓，指出當正多邊形的邊越來越多的時候，它的面積與圓的面積無限接近，以至于不能再割，即與圓合體。事實上我們古代的很多詩詞也有極限思想的滲入，像“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”，就體現(xiàn)了一種無限的境界，徐立也先生則引用“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”來讓學生體會變量無限趨近于0的動態(tài)意境。這些正好與我們現(xiàn)代微積分的理論知識相對應，這說明我們國家很早就有了極限思想的存在，只不過缺少發(fā)現(xiàn)極限的眼睛。極限的厲害之處在于把本來不斷變化的東西用確切的常數(shù)去表示，這樣便解決了在各專業(yè)研究過程中很多難以解釋的問題。而且微積分中三個最基本的定義：連續(xù)、導數(shù)、積分都是通過極限的形式去定義的，可見極限在微積分中的作用非同一般。下面我們在微積分中其它部分中去探求極限的作用。

2 極限與連續(xù)的聯(lián)系

現(xiàn)實世界的許多事物和現(xiàn)象都是運動變化的，而且其變化過程是連綿不斷的，如溫度的變化，身高的增長。我們在微積分中主要的研究對象連續(xù)函數(shù)，是刻畫變量連續(xù)變化的最好方式。從直觀上說，當函數(shù)伴隨著自變量的改變而改變時，如果自變量的變化不大，那么函數(shù)值的改變也應當相對甚微，不會出現(xiàn)大幅度的波動。從幾何圖像上看的話，函數(shù)所對應的圖像應該是一條連續(xù)不斷的曲線，沒有間斷。通過極限可以更加精確地描述連續(xù)函數(shù)的定義：（1）當自變量的該變量趨向于0的時候，函數(shù)值的改變量也應該趨向于0 = 0。（2）當自變量趨向于某個固定值的時候，函數(shù)值也應該趨向于相對應的函數(shù)值 （）= （）。（3）-定義： >0， >0，當∣∣<時，有∣ （） （）∣<，則稱函數(shù) （）在點連續(xù)。

函數(shù)在點的連續(xù)性意味著對應法則和極限滿足運算的交換律。極限是從一點出發(fā)去研究在這一點的連續(xù)性，兩點確定一條直線的思想告訴我們，利用極限，也可以研究線的特征，于是，就有了導數(shù)。

3 極限與導數(shù)的聯(lián)系

我們通過變速直線運動的瞬時速度的求解和曲線在某一點切線的斜率的研究引出了導數(shù)的概念，如果告訴 = （），也就是時間與路程之間的關系，那么 = 表示的是某時段的平均速度，（） = 表示的是在時刻的瞬時速度，在函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值上取相應的極限就可以把時段變成時刻，這就是極限的魅力，還有曲線在某一點切線的斜率的舉例道出了導數(shù)的幾何意義。通過上述兩例可以引出導數(shù)的定義式：

（下轉第37頁）（上接第25頁）

（1） （） = ，當 = + 時可以變?yōu)?/p>

（2） （） =

知道了導數(shù)的定義式后可以反過來利用導數(shù)的定義式求解相關的極限式，如：

（）= （≠0）

導數(shù)的定義是從實際問題中得來，最后它也返還到實際問題中去，利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值，最值。如：商品平均成本最小，利潤最大化等等問題。還可以研究函數(shù)的凹凸性，拐點。結合極限求函數(shù)的漸近線，這樣我們就可以利用導數(shù)去描繪更多函數(shù)的圖像（基本初等函數(shù)以外）。這為我們解決實際問題指明了前進的道路。

4 極限與積分的聯(lián)系

我們通過曲邊梯形的面積的計算去引出定積分的定義，主要的思想是“分割取近似，求和取極限”去將曲邊梯形的面積用和的極限式去加以表示 = （） ，然后我們將這個和的極限式定義為函數(shù) （）在[，]上的定積分（ （）），利用和的極限式就等于定積分，我們就可以對有些數(shù)列求和的極限將其轉化為定積分計算如：（ + + … + ） = ，而且我們還知道當 （）≥0時，定積分的值就是 （）與 = ， = 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，一般情況下 （）是連續(xù)函數(shù)，根據連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質，我們知道所圍成的平面圖形是一個封閉的，后來有牛頓-萊布尼茨公式將定積分的計算化歸為積分上下限在原函數(shù)中的代數(shù)差，極大地簡化了定積分的計算，那么這一類積分我們稱它為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分，簡稱：正常積分或常見積分，最后我們把正常積分推廣到反常積分，也就是廣義積分。廣義積分分為兩種，一種是無限區(qū)間上的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分），那么在理解這兩種積分的時候，我們可以從函數(shù)的定義域和值域入手去理解，定義域分為三種[， +）， （，]， （，+），（） = （）（將廣義積分轉化為積分的極限式去求解），通過幾何意義我們還知道廣義積分一般表示非封閉平面圖形的面積。并且這個非封閉的圖形的開口，當自變量趨向于無窮遠處的時候，開口也無限趨向于閉口。

而瑕積分是指在閉區(qū)間的無界函數(shù)的積分，瑕點就是我們通常認為的無窮間斷點，如： （） = （）（為瑕點），我們可以利用極限將無限區(qū)間轉化為有限區(qū)間，將無界函數(shù)轉化為有界函數(shù)，然后依然利用牛頓-萊布尼茨公式去加以計算。

參考文獻

[1] 陶前功，嚴培勝.高等數(shù)學.科學出版社，2012.

[2] 趙樹源.微積分.中國人民大學出版社，1982.

[3] 張偉.經濟數(shù)學.中國人民大學出版社，2000.endprint

摘 要 在經濟類院校的微積分教學過程中，極限思想在整個教授過程中有著至關重要的作用，它串起了微積分的核心思想。本文重點介紹了極限思想在教學期間與連續(xù)、導數(shù)以及積分的聯(lián)系，從而讓學生對微積分有了一個系統(tǒng)的認知，能夠幫助學生更好地學習微積分這門課，為其相關的專業(yè)課學習打下一個堅實的基礎。

關鍵詞 極限 連續(xù) 導數(shù) 積分

中圖分類號：O172.4 文獻標識碼：A

Interpretation of the Limit Ideas of Calculus

QIAN Long

（College of Law & Business， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract In the process of economic college calculus class teaching， the ultimate thinking has a crucial role in the whole process， which pierces the core ideas of calculus. This article focuses on the limits of thought during the teaching and continuous， derivative， and integral links， so that students have a calculus cognitive system can help students better learn calculus this course， its related specialized learning to lay a solid foundation.

Key words limit； continue； derivative； integration

1 極限的簡介

隨著我國經濟飛速的發(fā)展，綜合國力的不斷提高，許許多多造型奇特，功能強大，反映時代特色的建筑物如雨后春筍般拔地而起，在我們驚嘆這些建筑的同時，我們不禁想到這些建筑物的體積和表面積應該當如何計算得知呢？我們將用極限的思想為我們揭開問題神秘的面紗。極限包含數(shù)列極限和函數(shù)極限，他們的區(qū)別在于一個是離散變化，而另一個是連續(xù)變化，但不管是離散的，還是連續(xù)的，都是研究自變量在某一變化過程中，因變量隨之變化的最后結果，它是數(shù)學家在研究無窮小的問題時而得出的。在極限產生的過程中，有很多不太好解答的悖論，如：記得以前在上課的時候有位同學就問我為什么0.333€？等于1？再比方說莊子的文章“天下篇”中有這么一句“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中就都包含了極限的思想。再如，三國時期的數(shù)學家劉微在《九章算術》的注文中，創(chuàng)立了一種推導圓周率的方法，即所謂的“割圓術”，他用正多邊形的方法進行割圓，指出當正多邊形的邊越來越多的時候，它的面積與圓的面積無限接近，以至于不能再割，即與圓合體。事實上我們古代的很多詩詞也有極限思想的滲入，像“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”，就體現(xiàn)了一種無限的境界，徐立也先生則引用“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”來讓學生體會變量無限趨近于0的動態(tài)意境。這些正好與我們現(xiàn)代微積分的理論知識相對應，這說明我們國家很早就有了極限思想的存在，只不過缺少發(fā)現(xiàn)極限的眼睛。極限的厲害之處在于把本來不斷變化的東西用確切的常數(shù)去表示，這樣便解決了在各專業(yè)研究過程中很多難以解釋的問題。而且微積分中三個最基本的定義：連續(xù)、導數(shù)、積分都是通過極限的形式去定義的，可見極限在微積分中的作用非同一般。下面我們在微積分中其它部分中去探求極限的作用。

2 極限與連續(xù)的聯(lián)系

現(xiàn)實世界的許多事物和現(xiàn)象都是運動變化的，而且其變化過程是連綿不斷的，如溫度的變化，身高的增長。我們在微積分中主要的研究對象連續(xù)函數(shù)，是刻畫變量連續(xù)變化的最好方式。從直觀上說，當函數(shù)伴隨著自變量的改變而改變時，如果自變量的變化不大，那么函數(shù)值的改變也應當相對甚微，不會出現(xiàn)大幅度的波動。從幾何圖像上看的話，函數(shù)所對應的圖像應該是一條連續(xù)不斷的曲線，沒有間斷。通過極限可以更加精確地描述連續(xù)函數(shù)的定義：（1）當自變量的該變量趨向于0的時候，函數(shù)值的改變量也應該趨向于0 = 0。（2）當自變量趨向于某個固定值的時候，函數(shù)值也應該趨向于相對應的函數(shù)值 （）= （）。（3）-定義： >0， >0，當∣∣<時，有∣ （） （）∣<，則稱函數(shù) （）在點連續(xù)。

函數(shù)在點的連續(xù)性意味著對應法則和極限滿足運算的交換律。極限是從一點出發(fā)去研究在這一點的連續(xù)性，兩點確定一條直線的思想告訴我們，利用極限，也可以研究線的特征，于是，就有了導數(shù)。

3 極限與導數(shù)的聯(lián)系

我們通過變速直線運動的瞬時速度的求解和曲線在某一點切線的斜率的研究引出了導數(shù)的概念，如果告訴 = （），也就是時間與路程之間的關系，那么 = 表示的是某時段的平均速度，（） = 表示的是在時刻的瞬時速度，在函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值上取相應的極限就可以把時段變成時刻，這就是極限的魅力，還有曲線在某一點切線的斜率的舉例道出了導數(shù)的幾何意義。通過上述兩例可以引出導數(shù)的定義式：

（下轉第37頁）（上接第25頁）

（1） （） = ，當 = + 時可以變?yōu)?/p>

（2） （） =

知道了導數(shù)的定義式后可以反過來利用導數(shù)的定義式求解相關的極限式，如：

（）= （≠0）

導數(shù)的定義是從實際問題中得來，最后它也返還到實際問題中去，利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的極值，最值。如：商品平均成本最小，利潤最大化等等問題。還可以研究函數(shù)的凹凸性，拐點。結合極限求函數(shù)的漸近線，這樣我們就可以利用導數(shù)去描繪更多函數(shù)的圖像（基本初等函數(shù)以外）。這為我們解決實際問題指明了前進的道路。

4 極限與積分的聯(lián)系

我們通過曲邊梯形的面積的計算去引出定積分的定義，主要的思想是“分割取近似，求和取極限”去將曲邊梯形的面積用和的極限式去加以表示 = （） ，然后我們將這個和的極限式定義為函數(shù) （）在[，]上的定積分（ （）），利用和的極限式就等于定積分，我們就可以對有些數(shù)列求和的極限將其轉化為定積分計算如：（ + + … + ） = ，而且我們還知道當 （）≥0時，定積分的值就是 （）與 = ， = 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，一般情況下 （）是連續(xù)函數(shù)，根據連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質，我們知道所圍成的平面圖形是一個封閉的，后來有牛頓-萊布尼茨公式將定積分的計算化歸為積分上下限在原函數(shù)中的代數(shù)差，極大地簡化了定積分的計算，那么這一類積分我們稱它為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分，簡稱：正常積分或常見積分，最后我們把正常積分推廣到反常積分，也就是廣義積分。廣義積分分為兩種，一種是無限區(qū)間上的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分），那么在理解這兩種積分的時候，我們可以從函數(shù)的定義域和值域入手去理解，定義域分為三種[， +）， （，]， （，+），（） = （）（將廣義積分轉化為積分的極限式去求解），通過幾何意義我們還知道廣義積分一般表示非封閉平面圖形的面積。并且這個非封閉的圖形的開口，當自變量趨向于無窮遠處的時候，開口也無限趨向于閉口。

而瑕積分是指在閉區(qū)間的無界函數(shù)的積分，瑕點就是我們通常認為的無窮間斷點，如： （） = （）（為瑕點），我們可以利用極限將無限區(qū)間轉化為有限區(qū)間，將無界函數(shù)轉化為有界函數(shù)，然后依然利用牛頓-萊布尼茨公式去加以計算。

參考文獻

[1] 陶前功，嚴培勝.高等數(shù)學.科學出版社，2012.

[2] 趙樹源.微積分.中國人民大學出版社，1982.

[3] 張偉.經濟數(shù)學.中國人民大學出版社，2000.endprint