地球自轉(zhuǎn)及天體作用力對(duì)精密離心機(jī)的影響

凌明祥，王玨，寧菲，盧永剛，李明海，黎啟勝

（中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621900）

精密離心機(jī)是標(biāo)定、校準(zhǔn)加速度計(jì)等慣性?xún)x表在高過(guò)載條件下輸出性能及參數(shù)的測(cè)試設(shè)備，其產(chǎn)生的加速度準(zhǔn)確度直接影響被測(cè)慣性?xún)x表的檢定精度［1］。因此，提高精密離心機(jī)輸出加速度的準(zhǔn)確度對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)具有重要的理論意義及實(shí)用價(jià)值。

對(duì)于加速度相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為10-6量級(jí)的高精度精密離心機(jī)，在建立加速度載荷模型時(shí)除了考慮離心力、重力外，還需要分析由地球自轉(zhuǎn)而作用在加速度計(jì)上的科里奧利力以及月球和太陽(yáng)的作用力。此外，精密離心機(jī)中存在的各種失準(zhǔn)角使得上述各力產(chǎn)生的加速度在加速度計(jì)輸入軸上進(jìn)行再分配，故輸入到加速度計(jì)上的加速度是上述各種力與各種失準(zhǔn)角綜合作用的結(jié)果。文獻(xiàn)［2－4］建立的精密離心機(jī)輸出加速度載荷模型中含有科氏加速度，但沒(méi)有分析失準(zhǔn)角的影響。以往研制精密離心機(jī)的精度指標(biāo)相對(duì)較低，大多數(shù)學(xué)者未考慮月球和太陽(yáng)對(duì)精密離心機(jī)的影響。但對(duì)于精度為10-6量級(jí)的高精度精密離心機(jī)，月球和太陽(yáng)作用力的影響是否能忽略需要仔細(xì)研究。文獻(xiàn)［5］建立的精密離心機(jī)加速度載荷模型只考慮了地球和月球之間的萬(wàn)有引力。實(shí)際上，月球?qū)茈x心機(jī)的作用力是地球的萬(wàn)有引力與地月之間的“慣性離心力”的合力［6］。筆者計(jì)算、分析了科里奧利力以及月球和太陽(yáng)作用力對(duì)10-6量級(jí)精密離心機(jī)的影響，為相關(guān)精度的精密離心機(jī)研制提供參考。

1 地球自轉(zhuǎn)對(duì)精密離心機(jī)的影響

1.1 失準(zhǔn)角齊次變換矩陣建立

加速度相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)機(jī)械系統(tǒng)主要由基座、空氣軸承、轉(zhuǎn)盤(pán)、定位平臺(tái)以及加速度計(jì)夾具等組成。雖然是高精密加工與裝配，實(shí)際上轉(zhuǎn)盤(pán)徑向與本地水平面之間存在一定夾角，稱(chēng)為轉(zhuǎn)盤(pán)徑向相對(duì)地面的俯仰失準(zhǔn)角（圖1中的λ1）。加速度計(jì)輸入軸與轉(zhuǎn)盤(pán)徑向不平行，即出現(xiàn)加速度計(jì)的安裝失準(zhǔn)角，用加速度計(jì)輸入軸相對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)的俯仰失準(zhǔn)角λ2及加速度計(jì)輸入軸與轉(zhuǎn)盤(pán)徑向之間的方位失準(zhǔn)角β來(lái)表示，如圖1所示。

以轉(zhuǎn)盤(pán)徑向與加速度計(jì)質(zhì)量中心線(xiàn)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)盤(pán)徑向?yàn)閤軸（向外為正）建立轉(zhuǎn)盤(pán)的空間坐標(biāo)系o0-x0y0z0，其中z軸垂直于轉(zhuǎn)盤(pán)表面指向天空為正。理想情況下，待標(biāo)定加速度計(jì)的輸入軸、擺軸和輸出軸分別沿轉(zhuǎn)盤(pán)徑向x0軸、y0軸和z0軸。當(dāng)存在安裝失準(zhǔn)角時(shí)，加速度計(jì)坐標(biāo)系o1-x1y1z1可看作是在轉(zhuǎn)盤(pán)坐標(biāo)系o0-x0y0z0基礎(chǔ)上，先繞y0軸旋轉(zhuǎn)λ2角度，再繞z0軸旋轉(zhuǎn)β角度后形成。采用齊次變換方法，加速度計(jì)坐標(biāo)系相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為：

圖1 俯仰失準(zhǔn)角與方位失準(zhǔn)角示意Fig.1 Misalignment angles

1.2 加速度計(jì)輸入軸上科氏加速度計(jì)算

由于地球自轉(zhuǎn)，處于地球表面隨精密離心機(jī)一起旋轉(zhuǎn)的加速度計(jì)要受到科里奧利力的影響，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，該力對(duì)加速度計(jì)產(chǎn)生的加速度（在此簡(jiǎn)稱(chēng)科氏加速度）為［7］：

式中：Fc為科里奧利力；m為加速度計(jì)質(zhì)量；v為加速度計(jì)的線(xiàn)速度；ωε為地球自轉(zhuǎn)角速度。

如圖2所示，設(shè)以角速度ω按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的精密離心機(jī)位于北半球，其所在地的緯度為θ，轉(zhuǎn)盤(pán)徑向相對(duì)于地表的俯仰失準(zhǔn)角為λ1。地球自轉(zhuǎn)角速度ωε可分解為與轉(zhuǎn)盤(pán)表面平行的分量ω1以及與轉(zhuǎn)盤(pán)表面垂直的分量ω2。根據(jù)矢量叉乘定義，的方向垂直于轉(zhuǎn)盤(pán)表面，的方向沿轉(zhuǎn)盤(pán)為徑向且指向外為正，大小為：

圖2 精密離心機(jī)上地球角速度分解Fig.2 Rotational angular velocity of the earth decomposing on precise centrifuge

式中：α為加速度計(jì)線(xiàn)速度與地球自轉(zhuǎn)角速度水平分量之間的夾角，α=ωt；R為精密離心機(jī)工作半徑。

由于俯仰失準(zhǔn)角λ2和方位失準(zhǔn)角β的影響，科氏加速度將在加速度計(jì)輸入軸上進(jìn)行分配。由前文所建立的失準(zhǔn)角齊次變換矩陣，加速度計(jì)三個(gè)軸上感知到的科氏加速度為：

忽略計(jì)算過(guò)程，當(dāng)精密離心機(jī)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，輸入到加速度計(jì)輸入軸上的科氏加速度為：

當(dāng)精密離心機(jī)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，式（6）中aI取負(fù)。該式適用于各種加速度不確定度指標(biāo)的精密離心機(jī)，但式中待測(cè)分量有3個(gè)，不僅會(huì)增加測(cè)量系統(tǒng)的復(fù)雜程度，同時(shí)還會(huì)增大加速度不確定度評(píng)定值，需要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。

1.3 科氏加速度量級(jí)分析及簡(jiǎn)化

四川地區(qū)緯度θ取30.7°，地球自轉(zhuǎn)角速度取ωε=7.29×10-5r/s，sinα取最大為1。對(duì)加速度范圍為（1～100）g的精密離心機(jī)，其角速度ω按a=R·ω2近似計(jì)算，得到ω的范圍為：3.13～31.3 r/s，取ω=3.13 r/s進(jìn)行計(jì)算。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，λ1，λ2和β按相同的量值變化，記為λ，即：λ=λ1=λ2=β。

精密離心機(jī)的失準(zhǔn)角一般不會(huì)超過(guò)100"。在該范圍內(nèi)，相對(duì)科氏加速度a′1（科氏加速度除以精密離心機(jī)輸出加速度值）隨失準(zhǔn)角λ變化的曲線(xiàn)關(guān)系如圖3所示，其量值在10-5數(shù)量級(jí)變化。因此，對(duì)于加速度相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)，必須考慮科氏加速度的影響。

圖3 相對(duì)科氏加速度隨失準(zhǔn)角的變化關(guān)系Fig.3 Coriolis acceleration curve with misalignment angle

若將式（6）的科氏加速度數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化為aI=2ωωεRsinθ，經(jīng)計(jì)算失準(zhǔn)角λ1，λ2和β小于100"時(shí)，該簡(jiǎn)化運(yùn)算產(chǎn)生的最大相對(duì)誤差不超過(guò)2×10-8，該相對(duì)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于10-6。因此，按照失準(zhǔn)角不會(huì)超過(guò)100"的假設(shè)，對(duì)于精度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)，加速度計(jì)輸入軸上感知到的科氏加速度可簡(jiǎn)化為：

當(dāng)精密離心機(jī)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，式（7）取負(fù)。實(shí)際上，以上分析過(guò)程留有一定余量，即式（7）在一定程度上也適用于更大失準(zhǔn)角以及更高加速度不確定度指標(biāo)要求的精密離心機(jī)。

2 月球和太陽(yáng)作用力的影響

繞轉(zhuǎn)著的天體要受到相互之間的萬(wàn)有引力和由于繞轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的慣性離心力的作用［8］。就整個(gè)天體而言，萬(wàn)有引力與慣性離心力平衡，但對(duì)于地球表面的質(zhì)點(diǎn)此二力并不平衡。相對(duì)地月系統(tǒng)，精密離心機(jī)可近似為質(zhì)點(diǎn)，如圖4所示。精密離心機(jī)受到月球的作用力為月球與精密離心機(jī)之間的萬(wàn)有引力與地月之間的慣性離心力的合力。

圖4 月球?qū)茈x心機(jī)的作用力Fig.4 Moon force on precision centrifuge

由月球?qū)茈x心機(jī)的作用力產(chǎn)生的加速度為：

式中：G為萬(wàn)有引力常數(shù)；M為月球質(zhì)量；H為地月中心的平均距離；x為月球中心至精密離心機(jī)的平均距離。

由于地月之間的距離遠(yuǎn)大于地球半徑，因此月球?qū)茈x心機(jī)的作用力產(chǎn)生的加速度可簡(jiǎn)化為：

式中：h為地球半徑；“±”號(hào)表示精密離心機(jī)和月球在地球同側(cè)或異側(cè)；加速度am的方向隨著月球繞地球的旋轉(zhuǎn)而變化，當(dāng)am的方向與待標(biāo)定加速度計(jì)的輸入軸相同時(shí)，加速度計(jì)輸入軸上感知到的am最大，代入相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算可得此時(shí)am的最大值約為1.11×10-6m/s2。一般精密離心機(jī)用于加速度計(jì)1g以上范圍的標(biāo)校，因此對(duì)精度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)，可以忽略月球作用力對(duì)精密離心機(jī)的影響。

按照上述原理，同樣可計(jì)算出太陽(yáng)對(duì)精密離心機(jī)的作用力大約是月球?qū)茈x心機(jī)作用力的0.45倍。當(dāng)月球、太陽(yáng)以及精密離心機(jī)處于同一直線(xiàn)上時(shí)，月球和太陽(yáng)對(duì)精密離心機(jī)的作用力最大，最大作用力產(chǎn)生的加速度不超過(guò)1.6×10-6m/s2。因此對(duì)精度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)，可以忽略月球和太陽(yáng)作用力的影響。但對(duì)于更高精度的精密離心機(jī)則需要進(jìn)一步分析月球和太陽(yáng)作用力的影響。

3 結(jié)論

考慮精密離心機(jī)中失準(zhǔn)角的影響，采用齊次變換建立了加速度計(jì)輸入軸上感知的科氏加速度數(shù)學(xué)模型，并對(duì)科氏加速度進(jìn)行了量級(jí)分析和簡(jiǎn)化。計(jì)算結(jié)果表明必須考慮科里奧利力對(duì)加速度相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)的影響。此外，計(jì)算出月球和太陽(yáng)對(duì)精密離心機(jī)的作用合力產(chǎn)生的加速度最大不超過(guò)1.6×10-6m/s2。對(duì)于精度為10-6量級(jí)的精密離心機(jī)，可以忽略月球和太陽(yáng)作用力的影響。

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