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    數(shù)學專題復習中高考真題的選用原則

    2014-04-18 23:56:48李巧
    中學課程輔導·教學研究 2014年8期

    李巧

    摘要:數(shù)學專題復習中要用到大量的高考真題,但在運用過程中會存在一定的問題。為了能更好地發(fā)揮高考真題的作用,筆者建議數(shù)學教師在選用時要堅持適中性、主干性、新穎性、生活性、開放性、思想性這六個原則。

    關(guān)鍵詞:數(shù)字專題復習;高考真題;選用原則

    中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1992-7711(2014)03-0108

    高考專題復習中要用到大量的高考真題,這對考生熟悉高考試題命題特點、掌握有效解題方法、提高專題復習效率起到很大的作用。但凡事都有度,目前專題復習中高考真題的應用也存在一定的問題。

    數(shù)量問題:數(shù)量多,甚至編成真題集,狂轟濫炸,學生疲于應付,做題興趣不大。實際還存在著高考知識點連續(xù)重復考查可能性小的問題,學生不愿意做。

    質(zhì)量問題:對高考試題拿來就用,認為高考試題質(zhì)量好,用不著選編。實際高考試題也有好有差,難度高低不一。

    難度問題:在某些主干知識點上的高考命題其難度普遍比較大,如一味地加以選用,會導致難點過于集中,做起來耗時很多,講解后也是似懂非懂,打消學生做題的積極性。

    要提高高考真題的應用效率,必須做到科學選用。在選用時要堅持如下原則:

    一、適中性

    高考真題的編選要貼合自己的校情、教情、學情。要緊扣《考試大綱》,要盡量選擇對于自己所教學生而言難度適中的真題,盡量少選高難度真題,不要鉆牛角尖,要重在通過真題掌握重點,突破難點,領會解題技巧、方法與思想。

    例1. (2013·陜西理)21. (本小題滿分14分)

    已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.

    (Ⅰ)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實數(shù)k的值;

    (Ⅱ)設x>0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m>0)公共點的個數(shù)。

    (Ⅲ)設a

    【分析】本題考查函數(shù)、導數(shù)、不等式、參數(shù)等問題,屬于難題。第二問運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題,能夠比較清晰的分類,做到不重不漏。最后一問,考查函數(shù)的凹凸性,富有明顯的幾何意義,為考生探索結(jié)論提供了明確的方向,對代數(shù)手段的解決起到導航作用。

    對難題的選用,要注意因時因人而異。普通中學盡量少用,分散用,選擇典型的用。一輪盡量不用或少用,二輪復習時可適量用。重點中學也要注意過度集中使用,導致復習耗時過多,學生壓力過大,復習興趣下降問題。

    二、主干性

    高考卷依據(jù)考試說明,考查的多是主干知識點。主干知識共有七大塊:函數(shù)與導數(shù)(及其應用)、不等式(解法、證明及應用)、數(shù)列(及其應用)、三角函數(shù)(圖像、性質(zhì)及變換)、直線與平面及簡單幾何體(空間三種角)、七種距離(點面、異面直線之間距離為??迹?、面積與體積的計算、直線與圓錐曲線、概率與統(tǒng)計。浙江2013理科卷考查注重重點和熱點主干問題的考查:復數(shù)的運算、集合與簡易邏輯、線性規(guī)劃、排列組合、算法、二項式定理、三視圖等知識點,解析幾何與立體幾何是兩小題和兩大題,解答題分別考查數(shù)列,概率與統(tǒng)計和離散型隨機變量的分布列及期望和方差的計算,解析幾何和函數(shù)與導數(shù)這些重點知識模塊。專題復習時要注意選擇突出主干知識考查的高考真題。

    例2. (2013·天津理)2. 設變量x,y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0則目標函數(shù)z=y-2x的最小值為( )

    A. -7 B. -4 C. 1 D. 2

    【分析】本小題考查線性規(guī)劃的基礎知識。線性規(guī)劃知識在高考中一般以小題的形式出現(xiàn),是高考的重點內(nèi)容之一,幾乎年年必考,為主干知識。抓住主干知識,也就突出了復習的重點。

    主干知識解答題中常有一些帶有套路性的解題程序出現(xiàn),要有意識地提煉出來形成模型加以反復練習。如許多壓軸題的最后一步往往歸結(jié)為“二次函數(shù)最值或單調(diào)性”、“雙鉤函數(shù)與基本不等式”、“恒成立問題與最值”等模型;立體幾何中,線面垂直是聯(lián)系各種平行垂直關(guān)系的樞紐,題目有或者能挖掘出此條件就等于成功了一半,之后用坐標法還是幾何法都很容易。立體幾何中的“向量坐標法”、解析幾何中的“代入消元——韋達定理——判別式——弦長公式”一條龍,導數(shù)大題中“求導——求極值點——解導數(shù)不等式——分類討論研究單調(diào)性”一條龍,幾乎每套卷子里都會用到,往往成為一些大題的解題步驟。

    三、新穎性

    新形式新情境能更真實地考查出學生的實際能力。為提高試題的效度,高考命題注重材料新、視角新、觀念新、表述新、形式新,避免重復特別是簡單重復,以測評考生的真實水準。專題復習時要選擇讓學生耳目一新的真題,提升學生的興趣,激發(fā)做題的欲望,培養(yǎng)應變的能力。

    例3. (2013·安徽理)(17)(本小題滿分12分)

    設函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,區(qū)間I={x f(x)>0}

    (Ⅰ)求I的長度(注:區(qū)間(α,β)的長度定義為β-a);

    (Ⅱ)給定常數(shù)k∈(0,1),當1-k≤a≤1+k時,求I長度的最小值。

    【分析】第(1)題求解一元二次不等式確定區(qū)間的取值范圍,根據(jù)題意能夠求出的長度,簡單題;第(2)題要能理解其實就是求關(guān)于在給定區(qū)間內(nèi)的最小值,通過求導就能確定最小值是當取何值,但此題易錯點在于需要比較a在1-k與1+k處I的大小,利用作差或作商都可以解決,出題思路比較新穎,容易迷惑,但只要能夠理解題意,基本能夠求解出來。

    例4. (2013·山東理)16.定義“正對數(shù)”:ln+x=0,0

    ①若a>0,b>0,則ln+(ab)=bln+a

    ②若a>0,b>0,則ln+(ab)=ln+a+ln+b;

    ③若a>0,b>0,則ln+(■)≥ln+a-ln+b

    ④若a>0,b>0,則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2

    其中的真命題有 (寫出所有真命題的序號)。

    【分析】本題通過新定義考查考生分析問題與解決問題的能力,考查了分類討論思想、推理判斷能力與創(chuàng)新意識以及自主學習能力,富有思考性與挑戰(zhàn)性,是考查考生潛在數(shù)學素養(yǎng)的好素材。

    四、生活性

    要多選用體現(xiàn)課程時代特征的、體現(xiàn)“生活元素”的高考真題。原則上超過二年,模型化痕跡明顯,背景單一的題要棄用。

    例5.(2013·山東文)10. 將某選手的個得分去掉個最高分,去掉個最低分,個剩余分數(shù)的平均分為,現(xiàn)場做的個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊,無法辨認,在圖中以x表示:

    7 74 0 4 0 x 9 1

    則7個剩余分數(shù)的方差為( )

    A. ■ B. ■ C. 36 D. ■

    【分析】2013山東卷中出現(xiàn)了一些“生活元素”,文科第10題、第17題、理科第19題等試題貼近考生生活,背景公平,富有時代氣息,考查了考生的閱讀理解能力,分析問題解決問題的能力以及應用意識,是對中學數(shù)學教學培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識、探究能力和實踐能力的檢閱。

    五、開放性

    數(shù)學開放題是相對傳統(tǒng)的條件完備、答案確定的封閉題而言的。一個數(shù)學問題,如果它的條件不完備、答案不唯一,或解題思路、方法不唯一,則這個數(shù)學問題稱為開放題。平時提倡的“一題多解”則屬于解題途徑開放。此類開放題目的在于拓寬學生解題思路,培養(yǎng)學生思維的靈活性和創(chuàng)造性。開放性試題倡導學生從不同的層面和角度、多途徑、多方法地創(chuàng)造性解決問題,解答過程能充分顧及到學生知識背景及認知水平,考查每個學生的優(yōu)勢領域、潛能和創(chuàng)新思維,平時練習有利于發(fā)展學生的個性,展示學生獨特的個性品質(zhì),感受到不同程度的成功喜悅。

    例6. (2013·山東理)22.(本小題滿分13分)

    橢圓C:■+■=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,離心率為■,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1。

    (Ⅰ)求橢圓C的方程;

    (Ⅱ)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,連接PF1,PF2,設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0),求m的取值范圍;

    (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過點P作斜率為k的直線l,使l與橢圓C有且只有一個公共點,設直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2。若k≠0,試證明■+■為定值,并求出這個定值。

    【分析】該題將常考的直線與圓錐曲線的相交關(guān)系變?yōu)橄嗲嘘P(guān)系,推理為主,運算為輔,斜率設而不求,設問方式上突破了常規(guī)的“存在”模式,把一題多解置于題目解答中,為不同層次的考生提供了更寬廣的展示舞臺。

    數(shù)學開放題的選用,應力求以大綱、教材為依據(jù),以學生的知識實際為出發(fā)點,以學生可接受性為尺度。應體現(xiàn)實用,重視運用,突出靈活,把握梯度。同時,教師應認真進行設計,教學的手段和方法要開放,才能促使學生學習狀態(tài)的開放。

    六、思想性

    數(shù)學教學的根本目的,是通過數(shù)學知識和觀念的培養(yǎng),通過一些數(shù)學思想的傳授,要讓學生形成一種“數(shù)學頭腦”,使他們在觀察問題和提出問題、解決問題的每一個過程中,都帶有鮮明的“數(shù)學色彩”,這樣的數(shù)學一定會有真正的實效和長效,真正提高人的素質(zhì)。專題復習高考真題的使用尤其要堅持這一原則。

    例7.(2013·新課標I)(21)(本小題滿分共12分)

    已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2

    (Ⅰ)求a,b,c,d的值。

    (Ⅱ)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍。

    【分析】本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的最值、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,考查學生的分類討論能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想。

    2013年高考數(shù)學試題注重能力立意,以考查基礎知識為重點,注重對通性通法的考查,淡化特殊技巧, 突出數(shù)學思想與方法的考查。山東數(shù)學卷非常重視數(shù)學思想與方法的考查,2003年卷中數(shù)形結(jié)合的思想滲透在線性規(guī)劃(第6題)、函數(shù)圖像(第8題等)的題目中;函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)在第21題、第22題等題目中;轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整份試卷;試卷對分類討論的思想(第16題、第21題等)進行了深入考查。浙江卷許多試題背景熟悉,但將數(shù)學思想方法作為考查的重點,提高了試題的層次和品質(zhì)。所有試題都可以用通性通法,回避了特殊技巧,即便壓軸題也不例外。

    (作者單位:浙江省臺州市黃巖第二高級中學 318020)

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