數(shù)學專題復習中高考真題的選用原則

李巧

摘要：數(shù)學專題復習中要用到大量的高考真題，但在運用過程中會存在一定的問題。為了能更好地發(fā)揮高考真題的作用，筆者建議數(shù)學教師在選用時要堅持適中性、主干性、新穎性、生活性、開放性、思想性這六個原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)字專題復習；高考真題；選用原則

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0108

高考專題復習中要用到大量的高考真題，這對考生熟悉高考試題命題特點、掌握有效解題方法、提高專題復習效率起到很大的作用。但凡事都有度，目前專題復習中高考真題的應用也存在一定的問題。

數(shù)量問題：數(shù)量多，甚至編成真題集，狂轟濫炸，學生疲于應付，做題興趣不大。實際還存在著高考知識點連續(xù)重復考查可能性小的問題，學生不愿意做。

質(zhì)量問題：對高考試題拿來就用，認為高考試題質(zhì)量好，用不著選編。實際高考試題也有好有差，難度高低不一。

難度問題：在某些主干知識點上的高考命題其難度普遍比較大，如一味地加以選用，會導致難點過于集中，做起來耗時很多，講解后也是似懂非懂，打消學生做題的積極性。

要提高高考真題的應用效率，必須做到科學選用。在選用時要堅持如下原則：

一、適中性

高考真題的編選要貼合自己的校情、教情、學情。要緊扣《考試大綱》，要盡量選擇對于自己所教學生而言難度適中的真題，盡量少選高難度真題，不要鉆牛角尖，要重在通過真題掌握重點，突破難點，領會解題技巧、方法與思想。

例1. （2013·陜西理）21. （本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R.

（Ⅰ）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切， 求實數(shù)k的值；

（Ⅱ）設x>0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）公共點的個數(shù)。

（Ⅲ）設a

【分析】本題考查函數(shù)、導數(shù)、不等式、參數(shù)等問題，屬于難題。第二問運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，能夠比較清晰的分類，做到不重不漏。最后一問，考查函數(shù)的凹凸性，富有明顯的幾何意義，為考生探索結(jié)論提供了明確的方向，對代數(shù)手段的解決起到導航作用。

對難題的選用，要注意因時因人而異。普通中學盡量少用，分散用，選擇典型的用。一輪盡量不用或少用，二輪復習時可適量用。重點中學也要注意過度集中使用，導致復習耗時過多，學生壓力過大，復習興趣下降問題。

二、主干性

高考卷依據(jù)考試說明，考查的多是主干知識點。主干知識共有七大塊：函數(shù)與導數(shù)（及其應用）、不等式（解法、證明及應用）、數(shù)列（及其應用）、三角函數(shù)（圖像、性質(zhì)及變換）、直線與平面及簡單幾何體（空間三種角）、七種距離（點面、異面直線之間距離為?？迹?、面積與體積的計算、直線與圓錐曲線、概率與統(tǒng)計。浙江2013理科卷考查注重重點和熱點主干問題的考查：復數(shù)的運算、集合與簡易邏輯、線性規(guī)劃、排列組合、算法、二項式定理、三視圖等知識點，解析幾何與立體幾何是兩小題和兩大題，解答題分別考查數(shù)列，概率與統(tǒng)計和離散型隨機變量的分布列及期望和方差的計算，解析幾何和函數(shù)與導數(shù)這些重點知識模塊。專題復習時要注意選擇突出主干知識考查的高考真題。

例2. （2013·天津理）2. 設變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0則目標函數(shù)z=y-2x的最小值為（ ）

A. -7 B. -4 C. 1 D. 2

【分析】本小題考查線性規(guī)劃的基礎知識。線性規(guī)劃知識在高考中一般以小題的形式出現(xiàn)，是高考的重點內(nèi)容之一，幾乎年年必考，為主干知識。抓住主干知識，也就突出了復習的重點。

主干知識解答題中常有一些帶有套路性的解題程序出現(xiàn)，要有意識地提煉出來形成模型加以反復練習。如許多壓軸題的最后一步往往歸結(jié)為“二次函數(shù)最值或單調(diào)性”、“雙鉤函數(shù)與基本不等式”、“恒成立問題與最值”等模型；立體幾何中，線面垂直是聯(lián)系各種平行垂直關(guān)系的樞紐，題目有或者能挖掘出此條件就等于成功了一半，之后用坐標法還是幾何法都很容易。立體幾何中的“向量坐標法”、解析幾何中的“代入消元——韋達定理——判別式——弦長公式”一條龍，導數(shù)大題中“求導——求極值點——解導數(shù)不等式——分類討論研究單調(diào)性”一條龍，幾乎每套卷子里都會用到，往往成為一些大題的解題步驟。

三、新穎性

新形式新情境能更真實地考查出學生的實際能力。為提高試題的效度，高考命題注重材料新、視角新、觀念新、表述新、形式新，避免重復特別是簡單重復，以測評考生的真實水準。專題復習時要選擇讓學生耳目一新的真題，提升學生的興趣，激發(fā)做題的欲望，培養(yǎng)應變的能力。

例3. （2013·安徽理）（17）（本小題滿分12分）

設函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a>0，區(qū)間I={x f（x）>0}

（Ⅰ）求I的長度（注：區(qū)間（α，β）的長度定義為β-a）；

（Ⅱ）給定常數(shù)k∈（0，1），當1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值。

【分析】第（1）題求解一元二次不等式確定區(qū)間的取值范圍，根據(jù)題意能夠求出的長度，簡單題；第（2）題要能理解其實就是求關(guān)于在給定區(qū)間內(nèi)的最小值，通過求導就能確定最小值是當取何值，但此題易錯點在于需要比較a在1-k與1+k處I的大小，利用作差或作商都可以解決，出題思路比較新穎，容易迷惑，但只要能夠理解題意，基本能夠求解出來。

例4. （2013·山東理）16.定義“正對數(shù)”：ln+x=0，0

①若a>0，b>0，則ln+（ab）=bln+a

②若a>0，b>0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b；

③若a>0，b>0，則ln+（■）≥ln+a-ln+b

④若a>0，b>0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2

其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）。

【分析】本題通過新定義考查考生分析問題與解決問題的能力，考查了分類討論思想、推理判斷能力與創(chuàng)新意識以及自主學習能力，富有思考性與挑戰(zhàn)性，是考查考生潛在數(shù)學素養(yǎng)的好素材。

四、生活性

要多選用體現(xiàn)課程時代特征的、體現(xiàn)“生活元素”的高考真題。原則上超過二年，模型化痕跡明顯，背景單一的題要棄用。

例5.（2013·山東文）10. 將某選手的個得分去掉個最高分，去掉個最低分，個剩余分數(shù)的平均分為，現(xiàn)場做的個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：

7 74 0 4 0 x 9 1

則7個剩余分數(shù)的方差為（ ）

A. ■ B. ■ C. 36 D. ■

【分析】2013山東卷中出現(xiàn)了一些“生活元素”，文科第10題、第17題、理科第19題等試題貼近考生生活，背景公平，富有時代氣息，考查了考生的閱讀理解能力，分析問題解決問題的能力以及應用意識，是對中學數(shù)學教學培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識、探究能力和實踐能力的檢閱。

五、開放性

數(shù)學開放題是相對傳統(tǒng)的條件完備、答案確定的封閉題而言的。一個數(shù)學問題，如果它的條件不完備、答案不唯一，或解題思路、方法不唯一，則這個數(shù)學問題稱為開放題。平時提倡的“一題多解”則屬于解題途徑開放。此類開放題目的在于拓寬學生解題思路，培養(yǎng)學生思維的靈活性和創(chuàng)造性。開放性試題倡導學生從不同的層面和角度、多途徑、多方法地創(chuàng)造性解決問題，解答過程能充分顧及到學生知識背景及認知水平，考查每個學生的優(yōu)勢領域、潛能和創(chuàng)新思維，平時練習有利于發(fā)展學生的個性，展示學生獨特的個性品質(zhì)，感受到不同程度的成功喜悅。

例6. （2013·山東理）22.（本小題滿分13分）

橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為■，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2。若k≠0，試證明■+■為定值，并求出這個定值。

【分析】該題將常考的直線與圓錐曲線的相交關(guān)系變?yōu)橄嗲嘘P(guān)系，推理為主，運算為輔，斜率設而不求，設問方式上突破了常規(guī)的“存在”模式，把一題多解置于題目解答中，為不同層次的考生提供了更寬廣的展示舞臺。

數(shù)學開放題的選用，應力求以大綱、教材為依據(jù)，以學生的知識實際為出發(fā)點，以學生可接受性為尺度。應體現(xiàn)實用，重視運用，突出靈活，把握梯度。同時，教師應認真進行設計，教學的手段和方法要開放，才能促使學生學習狀態(tài)的開放。

六、思想性

數(shù)學教學的根本目的，是通過數(shù)學知識和觀念的培養(yǎng)，通過一些數(shù)學思想的傳授，要讓學生形成一種“數(shù)學頭腦”，使他們在觀察問題和提出問題、解決問題的每一個過程中，都帶有鮮明的“數(shù)學色彩”，這樣的數(shù)學一定會有真正的實效和長效，真正提高人的素質(zhì)。專題復習高考真題的使用尤其要堅持這一原則。

例7.（2013·新課標I）（21）（本小題滿分共12分）

已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值。

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍。

【分析】本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的最值、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的分類討論能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想。

2013年高考數(shù)學試題注重能力立意，以考查基礎知識為重點，注重對通性通法的考查，淡化特殊技巧， 突出數(shù)學思想與方法的考查。山東數(shù)學卷非常重視數(shù)學思想與方法的考查，2003年卷中數(shù)形結(jié)合的思想滲透在線性規(guī)劃（第6題）、函數(shù)圖像（第8題等）的題目中；函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)在第21題、第22題等題目中；轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整份試卷；試卷對分類討論的思想（第16題、第21題等）進行了深入考查。浙江卷許多試題背景熟悉，但將數(shù)學思想方法作為考查的重點，提高了試題的層次和品質(zhì)。所有試題都可以用通性通法，回避了特殊技巧，即便壓軸題也不例外。

（作者單位：浙江省臺州市黃巖第二高級中學 318020）