凸輪軸疲勞及瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性研究

劉功文 郝志勇 張慶輝 鄭 康 王連生

（浙江大學(xué)）

1 前言

在配氣機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中凸輪軸主要承受氣門彈簧反作用力、氣門動(dòng)態(tài)沖擊力及從動(dòng)件等部件的摩擦及阻力矩等。這些激勵(lì)源會(huì)使配氣機(jī)構(gòu)產(chǎn)生不規(guī)則的振動(dòng)與沖擊，增加機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)件與固定件之間的撞擊次數(shù)和強(qiáng)度。隨著發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的提高，在這些周期性變化的載荷作用下，凸輪軸易發(fā)生疲勞斷裂的現(xiàn)象。因此，對(duì)凸輪軸開展相關(guān)強(qiáng)度與疲勞的研究工作具有一定的意義。

文獻(xiàn)[1]采用裂解建模方法對(duì)凸輪軸進(jìn)行了疲勞斷裂的理論預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[2～4]對(duì)某斷裂的凸輪軸通過有限元模型或顯微觀察分析了其強(qiáng)度特性；文獻(xiàn)[5～6]對(duì)凸輪軸進(jìn)行有限元疲勞計(jì)算。目前的工作都存在有限元模型缺少驗(yàn)證、導(dǎo)入軸段各方向力和力矩載荷不全及研究?jī)?nèi)容多集中在材料選取或金相顯微分析等方面。

本文基于動(dòng)力學(xué)理論對(duì)某凸輪軸建立一維仿真模型，得到凸輪軸各段質(zhì)量點(diǎn)的力和力矩等數(shù)據(jù)，對(duì)凸輪軸進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)且與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)實(shí)際情況在凸輪軸有限元模型中依次加入載荷及位移約束，以進(jìn)行三維瞬態(tài)有限元強(qiáng)度分析，獲得凸輪軸的應(yīng)力分布情況，并以有限元仿真結(jié)果作為輸入對(duì)凸輪軸進(jìn)行疲勞仿真分析。

2 模型動(dòng)力學(xué)及疲勞理論

2.1 動(dòng)力學(xué)理論

以多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論中的拉格朗日方程法為理論基礎(chǔ)，建立多體動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型方程[7]。對(duì)于機(jī)構(gòu)中的剛體i采用質(zhì)心在慣性參考系中的笛卡爾坐標(biāo)（3個(gè)移動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向變量）和反映剛體方位的歐拉角或廣義歐拉角作為廣義坐標(biāo)，即：

接著建立系統(tǒng)的約束方程和作用力方程，并將其寫成廣義坐標(biāo)的表達(dá)式，最后應(yīng)用拉格朗日乘子法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中，T為系統(tǒng)動(dòng)能；q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)陣列；Q為廣義力列陣；ρ為對(duì)應(yīng)于完整約束的拉氏乘子列陣；u為對(duì)應(yīng)于非完整約束的拉氏乘子列陣；φ（q，t）=0為完整約束方程；θ（q，q˙，t）=0 為非完整約束方程。

將完整約束方程和非完整約束方程寫成更一般的形式：

式中，u˙為廣義速度陣列；λ為約束反力及作用力矩陣；F為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程；G為用戶定義的微分方程；φ為描述約束的代數(shù)方程陣列。

對(duì)于一維動(dòng)力學(xué)計(jì)算，其基本思路是將各零部件等效成集中質(zhì)量M、彈簧K和阻尼C系統(tǒng)組成動(dòng)力學(xué)方程并求解，則可得到系統(tǒng)中物體上任意點(diǎn)在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中的受力、運(yùn)動(dòng)位移及速度等數(shù)據(jù)。

2.2 疲勞分析理論

疲勞分析通過雨流計(jì)數(shù)法得到應(yīng)力歷程的雨流矩陣，再根據(jù)Miner線性累積損傷理論對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度計(jì)算。

Miner作出如下假設(shè)[8]：試樣所吸收的能量達(dá)到極限值時(shí)產(chǎn)生疲勞破壞?；谶@一假設(shè)，若破壞前可吸收的能量極限值為W，破壞前的總循環(huán)數(shù)為N，在某一循環(huán)數(shù)n1時(shí)試樣吸收的能量為W1，由于試樣吸收的能量與其循環(huán)數(shù)間存在正比關(guān)系，則有：

若試樣的加載歷史由 σ1、σ2、…、σl的 l個(gè)不同應(yīng)力水平構(gòu)成，各應(yīng)力水平下的疲勞壽命依次為N1、N2、…、Nl，各應(yīng)力水平下的循環(huán)數(shù)依次為 n1、n2、…、nl，則損傷為：

當(dāng)損傷為1時(shí)試樣吸收的能量達(dá)到極限值W，試樣發(fā)生疲勞破壞。當(dāng)臨界損傷和為不等于1的其它常數(shù)時(shí)，稱為修正Miner法則，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

3 凸輪軸多體動(dòng)力學(xué)模型

3.1 配氣機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)

該柴油機(jī)的配氣機(jī)構(gòu)由凸輪、平面挺柱、挺桿、搖臂、氣門彈簧、上下氣門彈簧座、氣門及氣門鎖夾等零部件構(gòu)成，其采用側(cè)置式凸輪軸結(jié)構(gòu)。

3.實(shí)事求是的求真價(jià)值。解放思想、實(shí)事求是，是我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的源動(dòng)力。小崗人當(dāng)年發(fā)起的大包干就是為了改變當(dāng)時(shí)生產(chǎn)力落后、生產(chǎn)關(guān)系僵化的現(xiàn)實(shí)，改變當(dāng)時(shí)不切實(shí)際、浮夸成風(fēng)、農(nóng)民生活困頓的現(xiàn)實(shí)。新時(shí)代，實(shí)事求是的求真價(jià)值仍是我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)改革的壓艙石，一定要徹底脫離教條主義、經(jīng)驗(yàn)主義和主觀主義的桎梏，要立足實(shí)際，因地制宜，合理定位，擯棄“一刀切”“形而上”簡(jiǎn)單粗暴的工作作風(fēng)，踏準(zhǔn)節(jié)奏，腳踏實(shí)地地將改革進(jìn)行到底。

3.2 模型參數(shù)的確定

模型的基本技術(shù)參數(shù)如表1所列。模型中需要設(shè)置的質(zhì)量參數(shù)有挺柱單元質(zhì)量、氣門單元質(zhì)量、彈簧單元質(zhì)量等，其均可利用軟件計(jì)算獲得；凸輪型線數(shù)據(jù)由給定的凸輪軸圖紙得到；缸內(nèi)壓力曲線由試驗(yàn)測(cè)得；各零部件剛度由有限元軟件計(jì)算得到；零部件之間的相對(duì)阻尼等采用經(jīng)驗(yàn)值[9]；除了施加穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速激勵(lì)外，還考慮曲軸前端的轉(zhuǎn)速波動(dòng)載荷，該機(jī)曲軸已經(jīng)過優(yōu)化，添加橡膠扭振減振器后衰減了波動(dòng)幅值。圖1所示為優(yōu)化后的曲軸前端在額定工況3 400 r/min時(shí)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)曲線。

表1 模型基本參數(shù)

3.3 動(dòng)力學(xué)仿真建模

建立凸輪軸動(dòng)力學(xué)模型，其中X向?yàn)橥馆嗇S的旋轉(zhuǎn)方向，Y向?yàn)樗椒较颍琙向?yàn)榇瓜蚍较?。模型分?部分，一部分是凸輪軸軸段部分，該部分主要模擬配氣機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，提供氣門正時(shí)開閉的驅(qū)動(dòng)力；另一部分是氣門結(jié)構(gòu)，包括凸輪、挺桿、氣門彈簧、上下氣門彈簧座及搖臂等零部件。

力學(xué)計(jì)算時(shí)將各部分視為彈性體，根據(jù)作用在系統(tǒng)中各構(gòu)件的彈性關(guān)系，考慮運(yùn)動(dòng)特性中的阻尼、氣門間隙、變形等各種因素，同時(shí)模型考慮凸輪軸沿軸線旋轉(zhuǎn)和軸向平動(dòng)，計(jì)入軸段徑向軸承及止推軸承的彈性支承剛度，用非線性的彈簧阻尼來模擬。計(jì)算工況采用該柴油機(jī)的額定工況轉(zhuǎn)速3400r/min，建立氣門運(yùn)動(dòng)方程[10]，求解凸輪軸各軸段的受力和扭矩。

3.4 凸輪軸激勵(lì)

通過該動(dòng)力學(xué)計(jì)算可以獲得凸輪軸在額定轉(zhuǎn)速下承受的動(dòng)態(tài)載荷，其主要為動(dòng)態(tài)受力、動(dòng)態(tài)彎矩和扭矩。

在瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析中，外加載荷將集中作用于凸輪軸軸段作為輸入激勵(lì)。取額定轉(zhuǎn)速一個(gè)周期時(shí)間為例，某凸輪軸軸段的受力及彎/扭矩曲線如圖2所示。

4 凸輪軸有限元計(jì)算

4.1 有限元建模

進(jìn)行凸輪軸動(dòng)態(tài)應(yīng)力計(jì)算時(shí)，應(yīng)建立較為精細(xì)的凸輪軸結(jié)構(gòu)有限元模型，保證凸輪軸結(jié)構(gòu)各局部應(yīng)力梯度分布，避免有限元離散過程造成局部結(jié)構(gòu)的應(yīng)力失真，對(duì)于凸輪軸應(yīng)力集中部位如凸輪圓角等處的網(wǎng)格應(yīng)足夠細(xì)密，以保證能反映出局部細(xì)節(jié)的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)。

為保證模型和計(jì)算結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性，對(duì)凸輪軸前處理采用8節(jié)點(diǎn)六面體單元進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。劃分好的模型如圖3所示。網(wǎng)格單元說明如表2所列。凸輪軸的材料參數(shù)如表3所列，其中軸段材料為45號(hào)鋼，皮帶輪為粉末冶金。

表2 凸輪軸單元類型說明

表3 凸輪軸材料參數(shù)

4.2 模態(tài)分析

有限元求解凸輪軸自由模態(tài)時(shí)無需對(duì)其進(jìn)行自由度約束，設(shè)置好材料參數(shù)和計(jì)算分析步驟即可得出分析結(jié)果。同時(shí),為了使有限元模型貼近真實(shí)情況，對(duì)凸輪軸進(jìn)行自由狀態(tài)下的模態(tài)試驗(yàn)。為保證試驗(yàn)的準(zhǔn)確性，在凸輪軸表面均勻的布置31個(gè)測(cè)點(diǎn)，如圖4所示。

使用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)的方法，對(duì)采集到的加速度傳感器信號(hào)處理后獲得振動(dòng)信息，分析出其模態(tài)頻率。表4為前9階模態(tài)頻率有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值的對(duì)比。從表4可知，有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值之間最大誤差僅為-3.97%，滿足工程要求，說明該有限元模型可用于仿真分析。

表4 凸輪軸模態(tài)試驗(yàn)與仿真分析結(jié)果對(duì)比

4.3 瞬態(tài)應(yīng)力分析

瞬態(tài)應(yīng)力分析采用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算。分析所需的位移邊界條件和動(dòng)力學(xué)模型設(shè)置一致，如圖5所示。

對(duì)軸承段和凸輪軸段中心點(diǎn)通過多點(diǎn)約束（coupkin）單元與各段外表面單元節(jié)點(diǎn)連接。為模擬實(shí)際軸承，對(duì)其中3個(gè)滑動(dòng)軸承段中心點(diǎn)處施加Y、Z向的接地彈簧和阻尼結(jié)構(gòu)單元，彈簧剛度為1.0 255×108N/m，阻尼系數(shù)為 8 220 N·s/m；皮帶輪附近的止推軸承段中心點(diǎn)處用X向的接地彈簧和阻尼結(jié)構(gòu)替代，彈簧剛度為 5×105N/m，阻尼系數(shù)為6 329 N·s/m，數(shù)值常量與實(shí)際滑動(dòng)及止推軸承一致，則在X、Y、Z 3個(gè)方向的位移約束均定義完成，從而保證瞬態(tài)應(yīng)力計(jì)算時(shí)模型不產(chǎn)生剛體位移。

由一維動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算分析即可獲得各凸輪軸段處的動(dòng)態(tài)力、彎矩及扭矩等載荷，將其作為激勵(lì)源分別施加在對(duì)應(yīng)凸輪軸段的中心點(diǎn)處，構(gòu)建起載荷的邊界條件約束，經(jīng)計(jì)算獲得瞬態(tài)應(yīng)力響應(yīng)。

通過瞬時(shí)模態(tài)求解序列完成模型求解，獲得結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)應(yīng)力響應(yīng)。圖6為凸輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)行一個(gè)周期各節(jié)點(diǎn)的最大等效應(yīng)力分布情況，可見高應(yīng)力區(qū)域出現(xiàn)在第1缸凸輪與軸段的過渡圓角處，應(yīng)力值為60．876 MPa，而45號(hào)鋼的許用應(yīng)力為210 MPa，即凸輪軸應(yīng)力滿足材料的強(qiáng)度要求。

4.4 疲勞安全系數(shù)分析

在獲得結(jié)構(gòu)瞬態(tài)應(yīng)力數(shù)據(jù)后，便可采用基于有限元方法的疲勞分析軟件對(duì)結(jié)果進(jìn)行疲勞預(yù)測(cè)，分析模塊允許計(jì)算彈性或彈塑性載荷歷程，綜合多種因素（平均應(yīng)力、應(yīng)力集中等），按照累積損傷理論和雨流計(jì)數(shù)法，根據(jù)各種應(yīng)力或應(yīng)變進(jìn)行疲勞壽命和耐久性分析設(shè)計(jì)。圖7為凸輪軸的疲勞安全因子分布。

當(dāng)使用壽命為107次時(shí)，計(jì)算結(jié)果表明，凸輪軸的疲勞安全因子最小值為3.094，出現(xiàn)在最大應(yīng)力所在的前端圓角處，滿足設(shè)計(jì)要求。

4.5 不考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)時(shí)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)對(duì)比分析

采用同樣的計(jì)算方法，對(duì)凸輪軸進(jìn)行不考慮曲軸轉(zhuǎn)速波動(dòng)時(shí)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算，并將結(jié)果與前述計(jì)算結(jié)果在3 400 r/min工況下相比較。圖8～圖10為考慮和不考慮曲軸轉(zhuǎn)速波動(dòng)時(shí)，最大應(yīng)力點(diǎn)在時(shí)域與頻域及該點(diǎn)外圍圓角處節(jié)點(diǎn)路徑應(yīng)力的比較。

由圖8可知，不考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)的最大應(yīng)力值為59.657 MPa，略低于考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)時(shí)的結(jié)果；在0.005～0.01 s與0.026～0.032 s兩個(gè)時(shí)間段，考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)時(shí)峰值明顯增大，這兩個(gè)時(shí)間過程也恰好是第1缸氣門彈出與收回的階段；而在氣門處于最大升程時(shí)間段0.013～0.018 s時(shí)，考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)效應(yīng)的影響，其計(jì)算結(jié)果卻普遍小于不考慮時(shí)的幅值，初步估計(jì)是從凸輪桃尖與從動(dòng)件傳至軸段圓角處的振動(dòng)與此刻轉(zhuǎn)速波動(dòng)在相位上是疊加相消的影響，從而削弱了該點(diǎn)的集中應(yīng)力。

圖9為對(duì)最大應(yīng)力點(diǎn)時(shí)間歷程進(jìn)行傅里葉變換得到的頻域結(jié)果。從圖9可知，考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)的峰值在第2階次（113.33 Hz）較不考慮時(shí)幅值高33%，而在第 1 階次（56.67 Hz）和第 4 階次（226.67 Hz）時(shí)峰值均要小，同時(shí)也說明發(fā)動(dòng)機(jī)基頻的第2階次對(duì)凸輪軸該處的應(yīng)力影響較大。

圖10是考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)時(shí)凸輪軸上最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)所在圓角處的該圈網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的路徑應(yīng)力，可知外圍節(jié)點(diǎn)應(yīng)力波動(dòng)呈鋸齒狀，且考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)的曲線具有一定的周期性起伏波動(dòng)趨勢(shì)，而不考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)的曲線則相對(duì)平緩，整體波動(dòng)小。

5 結(jié)束語

a. 基于凸輪軸模態(tài)試驗(yàn)并與仿真進(jìn)行校對(duì)，提高了有限元模型的準(zhǔn)確性，同時(shí)綜合考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)、彎矩及扭矩等因素增強(qiáng)了后續(xù)瞬態(tài)應(yīng)力及疲勞仿真的可信度。

b. 凸輪軸在各過渡圓角處應(yīng)力都較為集中，根據(jù)應(yīng)力分析最易發(fā)生強(qiáng)度和疲勞破壞的位置出現(xiàn)在第1缸凸輪與軸段的過渡圓角處，應(yīng)力值為60.876 MPa，在45號(hào)鋼許用應(yīng)力范圍內(nèi)，而后續(xù)疲勞安全系數(shù)的計(jì)算也驗(yàn)證了該危險(xiǎn)位置區(qū)域。

c. 與不考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)相比，最大應(yīng)力點(diǎn)時(shí)間歷程上受發(fā)動(dòng)機(jī)基頻第2階次影響較大，考慮轉(zhuǎn)速波動(dòng)的峰值在第2階次較不考慮時(shí)幅值高33%，而在氣門升程最大位置時(shí)應(yīng)力峰值反而偏小。同時(shí)對(duì)最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)外圍圓角處節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的應(yīng)力路徑考察發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力間隔波動(dòng)呈鋸齒狀，整體波動(dòng)具有周期性特征。

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