基于分形的特異媒質(zhì)層設(shè)計(jì)及應(yīng)用于提高天線增益

陳華+陳星

摘 要： 根據(jù)分形原理，設(shè)計(jì)了一種新穎的分形圖案。通過(guò)在印刷板（PCB）上周期性地蝕刻該分形圖案制作了一種微帶結(jié)構(gòu)的特異媒質(zhì)層。仿真計(jì)算表明，隨著一些分形結(jié)構(gòu)參數(shù)變化，該特異媒質(zhì)層對(duì)電磁波具有連續(xù)變化的反射系數(shù)幅度和相位。依據(jù)部分反射層理論，將該特異媒質(zhì)層加載在矩形貼片天線前方，在天線的工作頻點(diǎn)、帶寬和定向輻射特性基本保持不變條件下，矩形貼片增益得到不同程度提高。加工制作了特異媒質(zhì)層和矩形貼片天線，測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)和仿真計(jì)算的正確性。

關(guān)鍵詞： 分形； 特異媒質(zhì)； 部分反射層理論； 矩形貼片天線； 天線增益

中圖分類(lèi)號(hào)： TN82?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）07?0082?04

Design of metamaterial layer based on fractal geometry for increase of antenna gain

CHEN Hua， CHEN Xing

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

Abstract： A new fractal pattern was designed according to the fractal principle. A microstrip metamaterial layer was made by periodically etching this pattern on a PCB （printed circuit board）. The simulation calculation results indicate that metamaterial layer possesses an encouraging feature， i.e. the amplitude and phases of its reflection coefficient can vary continuously with its structural parameters. According to the partial reflecting layer principle， this metamaterial layer is placed in front of a rectangular patch antenna. In this way， various degree of gain improvement can be achieved while the antenna′s working frequency， bandwidth and directional radiation property remain unchanged. The metamaterial layer and the rectangular patch antenna are fabricated and measured. The measured result validated the correctness of the simulation and calculation.

Keywords： fractal； metamaterial； partial reflecting ayer principle； rectangular patch antenna； antenna gain

0 引 言

特異媒質(zhì)（Metamaterial）又稱(chēng)為電磁超材料，是指具有自然介質(zhì)所不具有的物理性質(zhì)的人工復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)材料 [1]。典型的特異媒質(zhì)包括：具有負(fù)介電常數(shù)和負(fù)磁導(dǎo)率的左手材料、頻率選擇表面（Frequency Selective Surface，F(xiàn)SS）、高阻表面（High Impedance Surface）等。特異媒質(zhì)的獨(dú)特電磁特性使其在諸多領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。在天線領(lǐng)域，特異媒質(zhì)的應(yīng)用一直是近年熱點(diǎn)課題，應(yīng)用特異媒質(zhì)能夠?qū)μ炀€提高增益[2?3]、增加帶寬[4?5]、減小尺寸[6]。

分形（Fractal），源于拉丁詞語(yǔ)fractus，原意是不規(guī)則支離破碎形。其概念由法國(guó)數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot于20世紀(jì)70年代中期在法蘭西學(xué)院講學(xué)時(shí)提出，用以描述人們?cè)谘芯孔匀缓涂茖W(xué)實(shí)驗(yàn)中遇到的無(wú)法用傳統(tǒng)歐式幾何描述，卻具有某種自相似特性（局部形態(tài)與整體形態(tài)相似）的不規(guī)則結(jié)構(gòu)和現(xiàn)象[7]。利用分形原理，可以設(shè)計(jì)出大量形狀各異的分形圖案。

目前，大部分特異媒質(zhì)設(shè)計(jì)為由平面單元組成的周期性結(jié)構(gòu)，單元結(jié)構(gòu)對(duì)特異媒質(zhì)的電磁特性有關(guān)鍵性影響。但在工程運(yùn)用中，如何設(shè)計(jì)有適宜電磁性能的特異媒質(zhì)單元一直是一個(gè)難點(diǎn)，本文探索利用分形圖案設(shè)計(jì)特異媒質(zhì)的單元結(jié)構(gòu)，通過(guò)蝕刻在微波印刷板上（Printed Circuit Board，PCB）制作為特異媒質(zhì)層，應(yīng)用于提高天線性能。

1 一種新的分形圖案設(shè)計(jì)

分形理論是當(dāng)今十分風(fēng)靡和活躍的新理論。其最基本的特點(diǎn)是用分形分維的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述研究客觀事物。它跳出了一維線、二維面、三維立體乃至四維時(shí)空的傳統(tǒng)概念，更加趨近復(fù)雜系統(tǒng)的真實(shí)屬性與狀態(tài)的描述，更加符合客觀事物的多樣性與復(fù)雜性。

構(gòu)造分形的方法很多：迭代函數(shù)法、文法構(gòu)圖法、逃逸時(shí)間算法等。本文采用文法構(gòu)圖法來(lái)構(gòu)造分形，字符串替換是此法的核心思想[8]?？梢岳斫鉃椋喝粢粋€(gè)字符串由字母a和b組成（a和b可能出現(xiàn)多次），每一個(gè)字母對(duì)應(yīng)一個(gè)改寫(xiě)規(guī)則，如a→ab，b→bba。假設(shè)初始字符串（稱(chēng)為公理）僅由字母b組成，那么經(jīng)過(guò)三次改寫(xiě)后，字符串變成了b→bba→bbabbaab→bbabbaabbbabbaababbba，以此類(lèi)推，這種做法用來(lái)表示生長(zhǎng)過(guò)程是很有意義的。之后，再將每一種字符賦予不同的操作，就能生成各種圖形。

本文設(shè)計(jì)的新分形圖案采用公理為[f+f+f+f，]改寫(xiě)規(guī)則為[f→f+f-f-f+f，]這里[f]表示向前移動(dòng)一步并畫(huà)線，步長(zhǎng)為[d，]+表示逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)90°，-表示順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)90°。該分形圖案的生成過(guò)程如圖1所示，其中[n]為迭代次數(shù)。

圖1 一種新的分形圖案

2 基于分形的特異媒質(zhì)層設(shè)計(jì)

選用圖1中[n=1]的分形圖案，將其周期性地蝕刻在相對(duì)介電常數(shù)為2.65，厚度為1 mm，長(zhǎng)寬都為100 mm的微波PCB板上，構(gòu)成了一種微帶結(jié)構(gòu)的特異媒質(zhì)（Metamaterial）層，如圖2所示。

圖2 基于分形的特異媒質(zhì)單元和特異媒質(zhì)層

對(duì)該特異媒質(zhì)層，采用Floquet端口法，仿真計(jì)算是其在5.8 GHz電磁波照射下的反射系數(shù)。當(dāng)分形參數(shù)[K]和[L]變化時(shí)，特異媒質(zhì)層反射系數(shù)的幅度和相位變化曲線如圖3，圖4所示。

從圖3、圖4可以看出，該分形特異媒質(zhì)層對(duì)5.8 GHz電磁波的反射系數(shù)幅度和相位隨分形參數(shù)[L]和[K]變化而連續(xù)變化，當(dāng)[L=]1 mm，[K]從0.4 mm變化到4 mm，反射系數(shù)幅值從0.129變化到0.981，相位從-102.9°變化到-169.1°；而[K=]1.2 mm，[L]從0.2 mm增到3 mm時(shí)，反射系數(shù)幅值從0.149變化到0.872，相位從-102.3°變化到-151.3°。

圖3 特異媒質(zhì)層反射系數(shù)的幅度隨分形參數(shù)

K和L的變化曲線

圖4 特異媒質(zhì)層反射系數(shù)的相位隨分形參數(shù)

K和L的變化曲線

根據(jù)部分反射層理論，如果該分形特異媒質(zhì)層放置在某天線前方，其對(duì)天線增益的提高量與反射系數(shù)密切相關(guān)，因此該分形特異媒質(zhì)層的反射系數(shù)連續(xù)變化特性能夠應(yīng)用于不同程度地提高天線增益。

3 分形特異媒質(zhì)層應(yīng)用于提高天線增益

本文設(shè)計(jì)了工作頻率為5.8 GHz的矩形貼片天線，如圖5所示，并進(jìn)行了加工制作和實(shí)驗(yàn)測(cè)試。仿真及實(shí)測(cè)的[S11]曲線如圖6所示，方向圖如圖7所示。

圖5 矩形貼片天線的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖和實(shí)物照片

根據(jù)部分反射層理論提高增益的原理可描述為[9?11]：如圖8所示，[P]點(diǎn)為輻射源，發(fā)出電磁波。Ⅰ和Ⅱ分別是兩個(gè)相距[H]無(wú)限大的均勻反射面。對(duì)于頻率為[f，]波長(zhǎng)[λ]的電磁波，反射面Ⅰ的反射系數(shù)為[ejφG]（全反射，反射系數(shù)模值為1，反射相位[φG]），反射面Ⅱ的反射系數(shù)為[RejφR]（部分反射，反射系數(shù)模值[R，]反射相位[φR，]透射系數(shù)模值為[T，][R2+T2=1]）。

圖6 矩形貼片天線的[|S11|]曲線

經(jīng)過(guò)無(wú)限次反射，對(duì)透射過(guò)去的電磁波電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行疊加，可得到[E=n=0∞Rn?ejnφ01?EP?TejφT=TejφT1-R?ejφ01?EP]（[EP]是從P點(diǎn)發(fā)出的入射電場(chǎng)，[φT]是射線0從輻射源P到反射面Ⅱ的空間傳播相位，[φ01]為射線0和射線1之間的相位差），[E2=1-R21+R2-2Rcos（φ01）?EP2，]要使[E2]最大，[cos（φ01）=1，]即[φ01=2nπ，n=0，1，2，…，]得到：

[H=λ4πcosθ（φR+φG+2nπ）， n=0，1，2，…] （1）

[E2=1-R21+R2-2R?EP2=1+R1-R?EP2ΔDir（方向性系數(shù)的增加值）=1+R1-R] （2）

由此可知，當(dāng)分形特異媒質(zhì)層放置在矩形貼片天線前方，按照公式（1）計(jì)算貼片天線和分形特異媒質(zhì)層之間的距離[H，]對(duì)應(yīng)不同的反射系數(shù)，分形特異媒質(zhì)層對(duì)貼片天線增益的提高量可由公式（2）計(jì)算得到，見(jiàn)表1。

圖7 矩形貼片天線仿真與實(shí)測(cè)的E面、H面方向圖

圖8 部分反射層理論模型示意圖

4 測(cè)試驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的分形特異媒質(zhì)層對(duì)天線增益的提高作用，以及對(duì)天線回波損耗和方向圖等重要性能指標(biāo)的影響，從表1中選取[L=]2.2 mm和[K=]1.2 mm這一組數(shù)據(jù)，加工制作了分形特異媒質(zhì)層，并安裝在矩形貼片天線前方，如圖9所示。

圖9 加工制作的分形特異媒質(zhì)層和安裝分形

特異媒質(zhì)層后的天線

圖10對(duì)比了加裝分形特異媒質(zhì)層后的天線[S11]仿真和測(cè)試值。從該圖可清楚地看到，仿真和測(cè)試吻合良好。加裝分形特異媒質(zhì)層后，該天線[S11]曲線沒(méi)有發(fā)生顯著變化，基本保持不變。

圖10 加裝分形特異媒質(zhì)層后的天線|S11|仿真和測(cè)試對(duì)比

圖11對(duì)比了加裝分形特異媒質(zhì)層前后的天線方向圖仿真和測(cè)試結(jié)果。

同樣可看出，仿真和測(cè)試結(jié)果吻合良好。加裝分形特異媒質(zhì)層顯著地提高了矩形貼片天線的增益，由原來(lái)的6.51 dBi提高到12.5 dBi，提高了5.99 dB，與部分反射層理論所預(yù)計(jì)的5.9 dB基本一致。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種新的設(shè)計(jì)特異媒質(zhì)單元結(jié)構(gòu)的方法。通過(guò)利用分形理論中構(gòu)造分形的文法構(gòu)圖法，設(shè)計(jì)出了一種新的單元結(jié)構(gòu)，之后基于此單元結(jié)構(gòu)，通過(guò)更改部分參數(shù)值的大小設(shè)計(jì)出了8種應(yīng)用于提高天線增益的特異媒質(zhì)層。挑選出其中一種進(jìn)行加工，并安裝到矩形貼片天線前端進(jìn)行測(cè)試。實(shí)測(cè)結(jié)果顯示其與仿真數(shù)據(jù)吻合良好，表明本文提出的方法是有效可行的。

圖11 加裝分形特異媒質(zhì)層后的天線仿真

與實(shí)測(cè)的E面、H面方向圖

參考文獻(xiàn)

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[11] FOROOZESH A， SHAFAI L. On the characteristics of the highly directive resonant cavity antenna having metal strip grating superstrate [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 2012， 60（1）： 78?91.

同樣可看出，仿真和測(cè)試結(jié)果吻合良好。加裝分形特異媒質(zhì)層顯著地提高了矩形貼片天線的增益，由原來(lái)的6.51 dBi提高到12.5 dBi，提高了5.99 dB，與部分反射層理論所預(yù)計(jì)的5.9 dB基本一致。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種新的設(shè)計(jì)特異媒質(zhì)單元結(jié)構(gòu)的方法。通過(guò)利用分形理論中構(gòu)造分形的文法構(gòu)圖法，設(shè)計(jì)出了一種新的單元結(jié)構(gòu)，之后基于此單元結(jié)構(gòu)，通過(guò)更改部分參數(shù)值的大小設(shè)計(jì)出了8種應(yīng)用于提高天線增益的特異媒質(zhì)層。挑選出其中一種進(jìn)行加工，并安裝到矩形貼片天線前端進(jìn)行測(cè)試。實(shí)測(cè)結(jié)果顯示其與仿真數(shù)據(jù)吻合良好，表明本文提出的方法是有效可行的。

圖11 加裝分形特異媒質(zhì)層后的天線仿真

與實(shí)測(cè)的E面、H面方向圖

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同樣可看出，仿真和測(cè)試結(jié)果吻合良好。加裝分形特異媒質(zhì)層顯著地提高了矩形貼片天線的增益，由原來(lái)的6.51 dBi提高到12.5 dBi，提高了5.99 dB，與部分反射層理論所預(yù)計(jì)的5.9 dB基本一致。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種新的設(shè)計(jì)特異媒質(zhì)單元結(jié)構(gòu)的方法。通過(guò)利用分形理論中構(gòu)造分形的文法構(gòu)圖法，設(shè)計(jì)出了一種新的單元結(jié)構(gòu)，之后基于此單元結(jié)構(gòu)，通過(guò)更改部分參數(shù)值的大小設(shè)計(jì)出了8種應(yīng)用于提高天線增益的特異媒質(zhì)層。挑選出其中一種進(jìn)行加工，并安裝到矩形貼片天線前端進(jìn)行測(cè)試。實(shí)測(cè)結(jié)果顯示其與仿真數(shù)據(jù)吻合良好，表明本文提出的方法是有效可行的。

圖11 加裝分形特異媒質(zhì)層后的天線仿真

與實(shí)測(cè)的E面、H面方向圖

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