零陷展寬對(duì)角載入算法

陳濤+隋莉莉+吳煥欣

摘 要： 提出了零陷展寬對(duì)角載入算法，該算法既解決了干擾在快速運(yùn)動(dòng)時(shí)，干擾零陷過窄的問題，又解決了協(xié)方差矩陣誤差和導(dǎo)向矢量誤差存在時(shí)，算法穩(wěn)定性變差的問題。同時(shí)，通過對(duì)角載入因子和采樣協(xié)方差矩陣間的關(guān)系確定了對(duì)角載入算法載入因子的值。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明該算法有很好的穩(wěn)健性，以及較寬的零陷。

關(guān)鍵詞： MVDR； 導(dǎo)向矢量； 采樣協(xié)方差矩陣； 零陷展寬； 對(duì)角載入； 載入因子

中圖分類號(hào)： TN911?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）07?0064?04

Null broadening and diagonal loading algorithm

CHEN Tao， SUI Li?li， WU Huan?xin

（College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The null broadening and diagonal loading algorithm is proposed， which not only addresses the problem of narrow nulls as the interference in the fast movement condition， but also solves the problem of the bad algorithm stability as the error covariance matrix and steering vector errors existing. Meanwhile， diagonal loading factor values of the algorithm are determined based on the relationship between sample covariance matrix and diagonal loading factor. The computer simulation results show that the algorithm has good robustness， as well as broadening nulls.

Keywords： MVDR； steering vector； sample covariance matrix； null broadening； diagonal loading loading factor

0 引 言

波束形成技術(shù)被廣泛地應(yīng)用在雷達(dá)、無線通信領(lǐng)域[1?4]。其中，MVDR自適應(yīng)波束形成算法，因具有良好的分辨率和干擾抑制能力，被廣泛的使用。MVDR算法一般假定期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量是精確已知的，但在實(shí)際中，由于指向誤差、陣元位置誤差以及各陣元特性不一致等因素影響，假設(shè)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量可能不完全準(zhǔn)確，與真實(shí)值之間有失配誤差，從而導(dǎo)致MVDR算法性能急劇下降[5]；同時(shí)在窄帶條件下，MVDR算法在干擾方向形成的零陷較窄，當(dāng)出現(xiàn)快速移動(dòng)的干擾時(shí)，由于自適應(yīng)權(quán)值的收斂速度比不上干擾的移動(dòng)速度，在干擾方向不能形成有效的零陷，從而使MVDR算法失效。采用零陷展寬算法——協(xié)方差錐化（CMT）[6?7]法在干擾方向形成較寬的零陷，能有效地抑制快速移動(dòng)的干擾。但是，由于實(shí)際環(huán)境中存在各種誤差， 協(xié)方差錐化法在實(shí)際使用中往往不能得到預(yù)期的結(jié)果。 因此，尋找出一種既對(duì)各種誤差有較強(qiáng)穩(wěn)健性又對(duì)快速運(yùn)動(dòng)的干擾有抑制性的自適應(yīng)波束形成算法是非常緊迫的。

近幾十年來，為了增強(qiáng)在各種誤差下自適應(yīng)波束形成算法的穩(wěn)健性[8]，學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究。其中，特征空間（ESB）算法、線性約束最小方差（LCMV）算法以及對(duì)角載入（LSMI）法是最具有代表性的算法。ESB算法[9]收斂速度比較快，但它需要準(zhǔn)確估計(jì)出信號(hào)子空間的維數(shù)；LCMV算法通過適當(dāng)?shù)募s束條件，控制某些方向波束的增益，使自適應(yīng)波束滿足一定的穩(wěn)健條件，但它只適合用在觀察方向出現(xiàn)失配時(shí)的情況；LSMI算法是一種簡單有效的方法，但是載入因子難以確定[10?11]。

本文針對(duì)MVDR算法在各種誤差下的性能下降及干擾快速變化時(shí)算法失效的問題，將對(duì)角載入算法與零陷展寬算法結(jié)合在一起，提出了零陷展寬對(duì)角載入算法。同時(shí)根據(jù)載入因子與采樣協(xié)方差矩陣間的關(guān)系來確定載入因子。零陷展寬對(duì)角載入算法利用對(duì)角載入算法提高波束形成對(duì)系統(tǒng)誤差的穩(wěn)健性，同時(shí)利用零陷展寬算法能在干擾方向形成較寬的零陷，解決了干擾快速移動(dòng)時(shí)，算法失效的問題。

1 傳統(tǒng)算法描述

1.1 陣列信號(hào)模型

在窄帶條件下，考慮[M]元均勻線陣，[D]個(gè)互不相關(guān)的信號(hào)。其中，期望信號(hào)波達(dá)方向是[θ0，][D-1]個(gè)干擾信號(hào)的波達(dá)方向分別是[{ θ1，θ2，…，θD-1 }，]有[M>D]。

第[l]個(gè)陣元端接收的信號(hào)為：

[xl（t）=i=0D-1si（t）e-j2πλ（l-1）dsinθi+nl（t）] （1）

式中：[si（t）]為信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；[λ]為信號(hào)的波長；[d]為陣元間距；[nl（t）]為第[l]個(gè)陣元上均值為0、方差[σ2n]為1的白噪聲。

陣列接收的信號(hào)表示成向量的形式為：

[X（k）=AS（k）+n（k）=s0（k）a（θ0）+i（k）+n（k）] （2）

式中：[X（k）=[X1（k），X2（k），…，XM（k）]T]為接收向量；[A=][[a（θ0），a（θ1），…，a（θD-1）]]為陣列流型；[a（θi）]為信號(hào)[i]的導(dǎo)向矢量；[S=[s0，s1，…，sD-1]T]為信號(hào)源；[a（θ0）]為期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量；[s0（k）]為期望信號(hào)；[i（k）]為干擾信號(hào)向量；[n（k）]為噪聲向量。

陣列輸出為：

[y（k）=wHX（k）] （3）

式中：[w=[w1，w2，…，wM]T]為權(quán)重向量，[（?）T]表示矩陣的轉(zhuǎn)置，[（?）H]表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

1.2 MVDR波束形成算法

MVDR波束形成算法使干擾和噪聲受到抑制而在陣列輸出中的功率最小，又能使期望方向上的信號(hào)功率保持不變。其代價(jià)函數(shù)為：

[minwHRxw subject to wHa（θ0）=1] （4）

式中[Rx=EX（k）X（k）H]為接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣。

利用Lagrange乘子算法求出最優(yōu)權(quán)重向量為：

[wopt=R-1xa（θ0）a（θ0）HR-1xa（θ0）] （5）

在實(shí)際應(yīng)用中，[Rx]一般難以得到，往往用采樣協(xié)方差矩陣[Rx]代替[Rx，]假設(shè)快拍數(shù)為[K，]則：

[Rx=1Ki=1KX（i）XH（i）] （6）

此時(shí)MVDR波束形成算法又稱采樣協(xié)方差矩陣求逆（SMI）算法，則SMI算法的權(quán)重向量為：

[wSMI=R-1xa（θ0）a（θ0）HR-1xa（θ0）] （7）

從式（5）可看出在MVDR算法中，需要精確知道期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量以及接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣。然而，在實(shí)際中，由于指向誤差、陣元位置誤差以及各陣元特性不一致等因素影響，使得導(dǎo)向矢量存在誤差，同樣，在實(shí)際應(yīng)用中，接收數(shù)據(jù)是有限長的，因此采樣協(xié)方差矩陣[Rx]代替接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣[Rx]也會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣誤差使得MVDR算法的性能下降，尤其在接收數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)時(shí)，算法的穩(wěn)健性更差。

除此之外，在窄帶條件下，MVDR算法在干擾方向形成的零陷較窄，當(dāng)出現(xiàn)快速移動(dòng)的干擾時(shí)，由于自適應(yīng)權(quán)值的收斂速度比不上干擾的移動(dòng)速度，在干擾方向不能形成有效地零陷，從而使MVDR算法失效。

針對(duì)MVDR算法在存在導(dǎo)向矢量誤差、協(xié)方差矩陣誤差，以及存在快速運(yùn)動(dòng)的干擾時(shí)，算法穩(wěn)健性變差和干擾零陷過窄的情況，本文提出了一種穩(wěn)健的MVDR算法——零陷展寬對(duì)角加載算法。

2 穩(wěn)健的MVDR算法

2.1 零陷展寬對(duì)角載入算法

零陷展寬對(duì)角載入算法是把零陷展寬算法和對(duì)角載入（LSMI）算法相結(jié)合形成的一種穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成算法。該算法解決了干擾在快速運(yùn)動(dòng)時(shí)，干擾零陷過窄的問題，又解決了協(xié)方差矩陣誤差和導(dǎo)向矢量誤差存在時(shí)，算法穩(wěn)定性變差的問題。因?yàn)樵撍惴ň哂辛阆菡箤捤惴茉诟蓴_方向形成較寬零陷的特點(diǎn)，又具有LSMI算法具有較高的穩(wěn)健性的特點(diǎn)。

LSMI算法是用對(duì)角載入的協(xié)方差矩陣代替常規(guī)的采樣協(xié)方差矩陣，即：

[Rdl=Rx+ξI] （8）

式中[ξ]為對(duì)角載入因子。

CMT零陷展寬算法是通過一個(gè)錐化矩陣[TMZ]對(duì)采樣協(xié)方差矩陣[Rx]進(jìn)行擴(kuò)展。擴(kuò)展后的采樣協(xié)方差矩陣為：

[RMZ=Rx?TMZ] （9）

式中：“[?]”為Hadamard積，[TMZ]第[m]行[n]列的元素可表示為：

[[TMZ]mn=sin（（m-n）Δ）（m-n）Δ] （10）

式中[Δ]為零限展寬參數(shù)。

通過式（8）和式（9）可得到零陷展寬對(duì)角載入算法的協(xié)方差矩陣[RC-T，]即：

[RC-T=RMZ+ξI] （11）

零陷展寬對(duì)角載入算法權(quán)向量為：

[wCMT-LSMI=R-1C-Ta（θ0）a（θ0）HR-1C-Ta（θ0）=（RMZ+ξI）-1a（θ0）a（θ0）H（RMZ+ξI）-1a（θ0）] （12）

從式（12）中可以知道零陷展寬對(duì)角載入算法需要知道期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量、擴(kuò)展后的采樣協(xié)方差矩陣[RMZ]以及對(duì)角載入因子[ξ。]但是對(duì)角載入因子[ξ]一般很難確定，而且對(duì)角載入因子的大小會(huì)影響自適應(yīng)波束的效果。當(dāng)載入因子過小時(shí)，波束旁瓣的高度不能有效的控制；當(dāng)載入因子過大時(shí)，對(duì)干擾抑制效果的靈敏度會(huì)有所影響。針對(duì)以上情況，本文提出一種動(dòng)態(tài)的確定對(duì)角載入的方法。

2.2 確定對(duì)角載入因子

首先，對(duì)協(xié)方差矩陣[Rx]進(jìn)行特征分解，可寫成如下形式：

[Rx=i=1Dσ2iuiuHi+σ2nI=AΛAH+σ2nI] （13）

式中：[σ2i]代表第[i]個(gè)信號(hào)的功率，[ui]是[Rx]特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；[Λ=diag[σ21，σ22，…，σ2D]]為對(duì)應(yīng)信號(hào)的功率構(gòu)成的對(duì)角矩陣。

采樣協(xié)方差矩陣[Rx]和真實(shí)的協(xié)方差矩陣[Rx]之間的關(guān)系：

[Rx=Rx+εE] （14）

式中：[E]是均值為0，方差為1的矩陣；[ε]是個(gè)大于零的常數(shù)，表示采樣協(xié)方差矩陣[Rx]的估計(jì)誤差。

對(duì)角載入后的協(xié)方差矩陣為：

[Rdl=Rx+εE+ξI] （15）

則對(duì)角載入后協(xié)方差矩陣的逆矩陣為：

[R-1dl=（Rx+εE+ξI）-1=（Rx+ξI）-1[I+εE（Rx+ξI）-1]-1] （16）

又假設(shè) [εE<

[R-1dl≈ （Rx+ξI）-1[I-εE（Rx+ξI）-1] ≈（Rx+ξI）-1I-εξ+σ2nE[I-A（AHA+（σ2n+ξ）Λ-1）-1AH]] （17）

式（17）第一個(gè)小括號(hào)中的數(shù)據(jù)接近[Rx，]所以對(duì)角載入因子[ξ]應(yīng)該小于[Rx]的對(duì)角元素。即：

[ξ

式（17） 中大括號(hào)部分導(dǎo)致了自適應(yīng)波束性能降低。為了得到最優(yōu)權(quán)，希望有：

[εξ+σ2n<1?ε<ξ+σ2n] （19）

由于[σ2n>0]，根據(jù)式（18）和（19） 可得：

[ε≤ξ

在實(shí)際環(huán)境中，由于真實(shí)的協(xié)方差矩陣[Rx]是無法得到的，因此估計(jì)誤差[ε]不可能確定。只能通過采樣協(xié)方差矩陣[Rx]估計(jì)真實(shí)協(xié)方差矩陣[Rx]的對(duì)角元素和估計(jì)誤差[ε。]

真實(shí)的協(xié)方差矩陣[Rx]對(duì)角元素值相同，但估計(jì)協(xié)方差矩陣每個(gè)元素都有誤差。誤差矩陣[E]是均值為0，方差為1的矩陣，因此， [Rx]的對(duì)角元素，可以利用[Rx]的對(duì)角元素求平均得到，而[ε]可以通過[Rx]的對(duì)角元素的標(biāo)準(zhǔn)偏差得到。則對(duì)角載入因子應(yīng)滿足：

[std（diag（Rx））≤ξ

式中：[std]表示標(biāo)準(zhǔn)偏差；[diag]表示矩陣的對(duì)角元素；[trace]表示矩陣的跡。因[Rx]的對(duì)角元素的[std]計(jì)算簡單，取不等式的左邊等號(hào)計(jì)算對(duì)角載入因子，即對(duì)角載入因子為：

[ξ=std（diag（Rx））] （22）

2.3 算法流程

零陷展寬對(duì)角載入算法流程總結(jié)如下：

（1） 通過式（6）計(jì)算出采樣協(xié)方差矩陣[Rx；]

（2） 通過式（22）計(jì)算出對(duì)角加在因子[ξ]的值；

（3） 利用式（6）和式（10），通過式（9）計(jì)算出擴(kuò)展后的采樣協(xié)方差矩陣[RMZ；]

（4） 利用式（9）和式（22），通過式（11）計(jì)算出零陷展寬對(duì)角載入算法的協(xié)方差矩陣[RC-T；]

（5） 在期望信號(hào)[θ0]已知的情況，信號(hào)的導(dǎo)向矢量[a（θ0）]是已知的，利用[RC-T]和[a（θ0）]通過式（12）求出零陷展寬對(duì)角載入算法權(quán)向量[wCMT-LSMI]。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

采用16元均勻線陣，陣列間距為半波長，快拍數(shù)[K=]100，干噪比INR=45 dB，信噪比SNR=10 dB，假設(shè)期望信號(hào)角度DOA=0°，干擾信號(hào)角度DOA=-35°。

理想條件：假設(shè)期望信號(hào)角度與信號(hào)實(shí)際到達(dá)角度間誤差為0°，且訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不包含期望信號(hào)。

實(shí)際條件：信號(hào)的實(shí)際到達(dá)角度DOA=1°，與假設(shè)的期望信號(hào)角度相比偏差1°，且訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)。

仿真一：對(duì)角載入因子的值不同時(shí)，LSMI算法的性能。

因?yàn)閷?duì)角載入因子很難求，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇特定的值，典型的就是[ξ=10σ2n]，本文中[σ2n]為1，所以仿真中取[ξ]=10，更具一般性。仿真結(jié)果如圖1所示。

從圖1（a）中可看出，在理想條件下，[ξ=trace（Rx）/M]在干擾出形成的零陷最窄，其他兩種情況下零陷接近；從圖1（b）中可看出，在實(shí)際條件下，[ξ]=10時(shí)，陣列主瓣最高增益沒有指向?qū)嶋H角度1°，算法性能有所下降，而對(duì)其他兩種情況算法性能影響不大。

所以結(jié)合圖1的方向圖可以得出[ξ=std（diag（Rx））]時(shí)，本文算法比一般的使用固定加載值的算法要優(yōu)越。

仿真二：不同算法陣列方向圖比較。

NVDR、LSMI及本文算法的仿真結(jié)果如圖2所示。

從圖2（a）中可以看出，在理想條件下，三種算法在期望方向上都形成了高增益，并且在干擾方向上都形成了較深的零陷。因此達(dá)到了提取期望信號(hào)并且抑制干擾的目的。但是MVDR算法的副瓣較高，而且形成的零陷較窄，而本文所提零陷展寬對(duì)角載入算法不僅副瓣較低而且零陷展寬效果明顯優(yōu)于其他兩種算法。

從圖2（b）中可以看出，在實(shí)際條件下，MVDR算法在期望信號(hào)上產(chǎn)生零陷，使期望信號(hào)被當(dāng)干擾抑制掉了，而LSMI算法和本文所提零陷展寬對(duì)角載入算法在期望信號(hào)方向上的增益很高，具有很高的穩(wěn)健性，并且零陷展寬對(duì)角載入算法在干擾方向形成效果優(yōu)于LSMI算法的展寬零陷。

圖1 理想條件和實(shí)際條件下不同載入值LSMI算法

圖2 不同算法陣列方向圖比較

仿真三：不同快拍[K]及輸入信噪比時(shí)陣列的輸出信干噪比。

考慮訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)時(shí)，信號(hào)到達(dá)角無偏差，和偏差為1°時(shí)陣列的輸出信干噪比SINR（[θs=1?]代表偏差為1°）。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同快拍[K]和不同信噪比SNR時(shí)陣列輸出SINR

從圖3（a）中可以看出，當(dāng)沒有誤差時(shí)，本文算法和MVDR算法的變化趨勢相同，即快拍數(shù)越少輸出的信干噪比SINR與理想SINR之間的差距越大，越大越接近于理想值，當(dāng)兩方法快拍數(shù)[K]相同時(shí)，本文算法的輸出SINR高于MVDR算法。當(dāng)存在誤差時(shí)，MVDR算法的輸出的SINR變小，而對(duì)本文算法的輸出SINR影響較小，可見對(duì)角載入算法提高了MVDR算法的穩(wěn)健性，尤其在快拍數(shù)較少及期望信號(hào)存在誤差時(shí)，性能改善非常明顯。

圖3（b）中期望信號(hào)存在偏差時(shí)，隨著信噪比SNR的增加，MVDR算法的輸出信干噪比性能下降越明顯，而本文算法對(duì)信號(hào)方向偏差的敏感度較低，輸出的信干噪比更接近理想值。

可見本文算法不僅能夠提高M(jìn)VDR波束形成器在小快拍、高信噪比時(shí)的穩(wěn)健性，而且能夠提高它對(duì)導(dǎo)向誤差的穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

針對(duì)MVDR波束形成算法在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中性能下降的問題，本文提出了零陷展寬對(duì)角載入算法，該算法把零陷展寬算法和LSMI算法結(jié)合在一起，然后根據(jù)協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差來自適應(yīng)地確定對(duì)角載入因子。仿真結(jié)果表明：該算法在低快拍數(shù)，期望信號(hào)存在偏差即導(dǎo)向矢量存在誤差的情況下仍具有較好的波束形成性能，且在干擾方向上形成較寬的零陷。它能改善干擾的入射方向變化過快，可能使得干擾移出天線陣方向圖零陷位置而無法得到有效的抑制的情況?？傊?，該算法是一種穩(wěn)健的且性能優(yōu)越的波束形成算法。

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