課例：“二分法求方程的近似解”的問題式教學(xué)設(shè)計(jì)

張麗麗

一、教學(xué)內(nèi)容分析

二分法求方程的近似解是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的之后，以連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理為依據(jù)，打開了求解方程的新思路，體現(xiàn)了方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，它引入了程序化解決問題的方法，體現(xiàn)了現(xiàn)代課改精神又根植了傳統(tǒng)算法，為必修三算法內(nèi)容作了鋪墊.它包含了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想和算法思想等，真實(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受“整體→局部”“定性→定量”“精確→近似”“計(jì)算→技術(shù)”“技法→算法”這些數(shù)學(xué)思想發(fā)展

的過程，具有萌發(fā)數(shù)學(xué)思想萌芽的數(shù)學(xué)教育價(jià)值.

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)教材特點(diǎn)，新課標(biāo)的教學(xué)要求和學(xué)生的認(rèn)知水平，確定如下教學(xué)目標(biāo)：

1.理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求方程的近似解；

2.體會(huì)逼近過程，了解極限思想，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一；

3.通過合作探究，培養(yǎng)從特殊到一般的歸納能力，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

三、教學(xué)方法的特點(diǎn)

本節(jié)課采用問題啟發(fā)式與探究式相結(jié)合，以學(xué)生活動(dòng)為主：

1.注意以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，形成認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲.通過“追問”等方式使學(xué)生的心理傾向保持適度的狀態(tài).

2.采取有步驟設(shè)置思維障礙等方法，鋪設(shè)恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知階梯，呈現(xiàn)與學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)相適應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù).

3.使用“反饋—調(diào)節(jié)”機(jī)制：通過教學(xué)反饋，及時(shí)調(diào)整設(shè)問方式，增加提示信息或進(jìn)一步設(shè)置障礙調(diào)整學(xué)習(xí)任務(wù)難度.

4.活動(dòng)的設(shè)計(jì)注意到兩個(gè)“還原”：

（1）還原思維的原發(fā)現(xiàn)過程

知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立，解題思路的探索，數(shù)學(xué)思想方法的概括過程.

（2）還原學(xué)生的思維過程

構(gòu)建從具體到抽象，從特殊到一般的思維通道，通過設(shè)問引導(dǎo)使學(xué)生在課堂有高度的思維參與，經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思維過程.

四、教學(xué)診斷分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)主要有以下兩個(gè)困難：

1.本節(jié)內(nèi)容對(duì)計(jì)算能力要求較高，在縮小區(qū)間逐步逼近零點(diǎn)的過程中易計(jì)算錯(cuò)誤而出現(xiàn)急躁情緒，設(shè)計(jì)了用線段了展示區(qū)間的縮小過程，放棄計(jì)算出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值而是選擇在線段相應(yīng)位置標(biāo)示正負(fù)來判別零點(diǎn)所在的區(qū)間化繁為簡，用線段貫穿始終，突破難點(diǎn).

2.對(duì)“精確度”要求的理解教師詮釋精確度的含義后，學(xué)生很容易熟悉的“精確到0.1”混淆.特別注意介紹“精確度”和“精確到”的差別.“精確度”是衡量近似值與精確值的接近程度，概念較為抽象引導(dǎo)他們通過觀察線段長度來判斷精確度是否達(dá)到要求，直觀易掌握.

五、教學(xué)過程分析

1.情境引入

提問：請(qǐng)同學(xué)們?cè)冢?，1000）的范圍內(nèi)猜出水晶小熊的價(jià)格.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生很感興趣，紛紛踴躍發(fā)言.學(xué)生發(fā)現(xiàn)直觀體會(huì)到每一個(gè)隨機(jī)的猜測都會(huì)使價(jià)格區(qū)間得到縮小越來越逼近實(shí)際

價(jià)格.

教學(xué)評(píng)價(jià)：我選用了一個(gè)頗有爭議的情境，對(duì)它進(jìn)行了修改，將它和線段巧妙地結(jié)合，將“高”“低”與判斷零點(diǎn)所在區(qū)間的“正”“負(fù)”對(duì)應(yīng)起來，更直觀演示逼近的過程和二分法的本質(zhì).

2.猜想探究

求函數(shù)f（x）=x3+x2-2x-2零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）上的近似值.（精確度為0.3）

操作：“近似值”和“精確度”兩個(gè)詞讓學(xué)生眼前一亮.詮釋精確度的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察區(qū)間長度判斷是否達(dá)到精確度的要求.“精確度”規(guī)定達(dá)到要求的“范圍”，“精確到”規(guī)定達(dá)到要求的“位置”.

學(xué)生活動(dòng)：老師詮釋后，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)（1，1.5）區(qū)間長度0.5>

0.3，不符合要求，（1.25，1.5）長度為0.25達(dá)到要求，從而找出1.25或者1.5.

教學(xué)評(píng)價(jià)：當(dāng)零點(diǎn)精確值復(fù)雜或求不出精確值時(shí)，我們沒有必要一直重復(fù)運(yùn)算，只需求出零點(diǎn)近似值即可，這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的另一側(cè)重點(diǎn)：估算.用數(shù)形結(jié)合的方法使學(xué)生更直觀地體會(huì)精確度的作用，突破難點(diǎn).

3.合作完善

師：請(qǐng)小組總結(jié)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟.

學(xué)生活動(dòng)：（1）定區(qū)間；（2）取區(qū)間中點(diǎn)；（3）計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)值；（4）觀察中點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值.如果此函數(shù)值為0，則中點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，運(yùn)算停止如果中點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值不為0，則選擇新區(qū)間；（5）如果新區(qū)間長度小于精確度，則將區(qū)間端點(diǎn)之一作為近似值；如果新區(qū)間長度不小于精確度，則重復(fù)1-4.

教學(xué)評(píng)價(jià)：這個(gè)活動(dòng)以小組討論的形式呈現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的化歸能力并滲透算法思想.

4.學(xué)以致用

師：用二分法求方程x3+3x-7=0在區(qū)間（0，1）的近似解（精確度0.1）.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生利用上節(jié)課函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系，可以想到通過構(gòu)造函數(shù)來求出函數(shù)零點(diǎn)近似值來實(shí)現(xiàn).

教學(xué)評(píng)價(jià)：使學(xué)生體會(huì)到二分法也可以用于求方程的近似解，體現(xiàn)方程與函數(shù)的聯(lián)系，并進(jìn)一步熟悉“二分法”步驟.

思考：用二分法求方程x3+3x-7=0的近似解（精確度為0.1）.

師：這個(gè)問題和上面老師所提問題有什么不同呢？

生：學(xué)生回答沒有給定解的初始區(qū)間.

師：上節(jié)課我們也遇到過類似的問題，那如何解決這個(gè)問題呢？

生：借助圖象來判斷.

師：如何作圖呢？

生：描點(diǎn)法畫出函數(shù)f（x）=x3+3x-7的圖象，尋找函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍.

師：還有沒有別的辦法？這個(gè)陌生的函數(shù)里有沒有我們熟悉的函數(shù)？

生：方程寫成x3=-3x+7的形式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3，h（x）=-3x+7，通過尋找函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍來實(shí)現(xiàn).

教學(xué)評(píng)價(jià)：讓學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的習(xí)慣，進(jìn)行自我反饋，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力.

整個(gè)教學(xué)過程，通過老師不斷追問，促使學(xué)生對(duì)問題的深入思考，不僅能使用常用的辦法解決問題，還能在已有的知識(shí)體系上進(jìn)行新的建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散能力.讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)中，變“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)創(chuàng)造”，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)豐富的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程，提高學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力.

編輯 王團(tuán)蘭