1維光子晶體中兩種偏振光的場分布

蔣和倫，劉啟能

（重慶工商大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶400067）

1維光子晶體中兩種偏振光的場分布

蔣和倫，劉啟能

（重慶工商大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶400067）

為了研究1維光子晶體中光強(qiáng)的分布，采用特征矩陣法推導(dǎo)出TM波在1維光子晶體中光強(qiáng)的分布公式，進(jìn)行了TM波和TE波在1維光子晶體中光強(qiáng)分布的理論分析。結(jié)果表明，在禁帶范圍內(nèi)，隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加，其光強(qiáng)迅速衰減；在導(dǎo)帶范圍內(nèi)，隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加，其光強(qiáng)不會(huì)衰減。這一結(jié)果對1維光子晶體中TM波和TE波的禁帶和導(dǎo)帶的形成的認(rèn)識(shí)是有幫助的。

光電子學(xué)；光子晶體；偏振光；光強(qiáng)；位相差

引 言

光子晶體的概念自JOHN和YABLONOVITCH于1987年提出來后，由于利用光子晶體的帶隙可以十分方便地控制光波的傳播，對光子晶體的研究很快成為光學(xué)的前沿領(lǐng)域內(nèi)一個(gè)活躍的課題。在光子晶體的研究中由于1維光子晶體的結(jié)構(gòu)最簡單、研究最方便，但它卻具有其它高維光子晶體的基本屬性。因此，對1維光子晶體的研究成為光子晶體研究領(lǐng)域內(nèi)的重要內(nèi)容。

1 公式推導(dǎo)

首先推導(dǎo)光通過厚度為a、折射率為n的介質(zhì)層的位相差δa。當(dāng)平面波通過厚度為a、折射率為n的介質(zhì)層時(shí)，其位相差由通過觀察點(diǎn)A1和A2的等相面間的距離決定，如圖1所示［14］。設(shè)通過觀察點(diǎn)A1的等相面為∑1（虛線），通過觀察點(diǎn)A2的等相面為∑2（虛線）。由圖1可知，∑1和∑2間的光程差為nacosθ，∑1和∑2間的位相差δa為：

除了在理論上研究平面波通過介質(zhì)層的位相差是以通過上下表面法線上的兩點(diǎn)A1和A2作為觀察點(diǎn)外，實(shí)際的光信號(hào)檢測中也是以通過上下表面法線上的兩點(diǎn)A1和A2作為觀察點(diǎn)即檢測點(diǎn)，這樣才不會(huì)使檢測點(diǎn)A2隨入射角的變化而改變。而按參考文獻(xiàn)［13］中觀點(diǎn)會(huì)使檢測點(diǎn)隨入射角的變化而改變，如果同時(shí)有多個(gè)入射角不同的光入射就需要多個(gè)不同的檢測點(diǎn)，這顯然是不可行的。

下面推導(dǎo)TM波在1維光子晶體中的光場分布公式，如圖2所示。

設(shè)TM波在入射空間磁矢量為H0（它包含入射磁矢量H0i和反射磁矢量H0r）、電矢量的切向分量為E0∥（它包含入射電矢量E0i和反射電矢量E0r），TM波通過1維光子晶體中任意一層Δzm后的磁矢量為H、電矢量的切向分量為E∥。根據(jù)特征矩陣的關(guān)系有：

式中，Mi為TM波通過第i層介質(zhì)中的特征矩陣，M為TM波通過前m層介質(zhì)中的特征矩陣。由（2）式得：

展開（3）式有：

式中，r是該1維光子晶體對TM波的反射系數(shù)，n為折射率，n0為真空折射率，μ0為介電常數(shù)，ε0為磁導(dǎo)率。

由圖2可知：

由（7）式得出TM波在1維光子晶體中任意一層Δzm后的光強(qiáng)分布公式：

對于TE波的光場公式，參考文獻(xiàn)［13］中的推導(dǎo)是正確的，只不過要將特征矩陣中的位相差換為δa=nacosθ就可以了。這里直接給出：

（9）式中的r是該1維光子晶體對TE波的反射系數(shù)，M為TE波通過前m層介質(zhì)中的特征矩陣。利用（8）式和（9）式就可以研究1維光子晶體中兩種偏振光的光強(qiáng)分布規(guī)律了。

2 光強(qiáng)分布

設(shè)1維光子晶體的A層介質(zhì)為Si，B層介質(zhì)為Al2O3，A和B的折射率分別n1=3.42和n2= 1.766，周期數(shù)N=8，光學(xué)厚度n1d1=n2d2=λ0/4。中心波長λ0=679nm，對應(yīng)的中心圓頻率ω0=2πc/ λ0，c為真空中光速。由特征矩陣法計(jì)算出TE波和TM波以入射角θ0=15°入射該1維光子晶體時(shí)，其反射率R隨圓頻率的響應(yīng)曲線，如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可知，在圓頻率ω分別為ω0，3ω0附近出現(xiàn)了TE波和TM波的禁帶，在圓頻率ω為2ω0，4ω0附近出現(xiàn)了TE波和TM波的導(dǎo)帶。下面將研究禁帶和導(dǎo)帶內(nèi)TE波和TM波的光強(qiáng)在1維光子晶體中的。

2.1 TE波的光強(qiáng)分布

取入射角θ0=15°，由（9）式計(jì)算出TE波在ω分別為ω0，2ω0，3ω0和4ω0這4種情況下光強(qiáng)在該1維光子晶體中隨周期的分布曲線，如圖5、圖6、圖7和圖8所示。其中圖5和圖7是禁帶內(nèi)TE波的光強(qiáng)分布情況，圖6和圖8是導(dǎo)帶內(nèi)TE波的光強(qiáng)分布情況。由圖5、圖6、圖7和圖8可得TE波的光強(qiáng)分布規(guī)律。

2.1.1 禁帶內(nèi)光強(qiáng)的分布特征 當(dāng)ω=ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)都出現(xiàn)了1個(gè)峰，第一周期內(nèi)的峰值為0.32，第二周期內(nèi)的峰值迅速降為0.08，第五周期內(nèi)的峰值已經(jīng)降為0，第五周期以后的各個(gè)周期內(nèi)光強(qiáng)的分布恒為0。當(dāng)ω=3ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)都出現(xiàn)了3個(gè)峰，第一周期內(nèi)的3個(gè)峰值均為0.32，第二周期內(nèi)的3個(gè)峰值迅速降為0.08，第五周期內(nèi)的3個(gè)峰已經(jīng)降為0，第五周期以后的各個(gè)周期內(nèi)光強(qiáng)的分布也恒為0。正是由于光強(qiáng)在1維光子晶體內(nèi)迅速衰減，使TE波不能通過光子晶體，從而形成光子的禁帶。

2.1.2 導(dǎo)帶內(nèi)光強(qiáng)的分布特征 當(dāng)ω=2ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)了兩個(gè)峰，第一周期內(nèi)的兩個(gè)峰值均為0.84，第二周期內(nèi)的兩個(gè)峰值增加為0.87，之后隨著周期的增加兩個(gè)峰值逐漸增加，在第八周期內(nèi)峰值增加為0.93。當(dāng)ω=4ω0時(shí)，光強(qiáng)在一個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)了4個(gè)峰值，第一周期內(nèi)的4個(gè)峰值均為0.6，第二周期內(nèi)的4個(gè)峰值增加為0.65，之后隨著周期的增加4個(gè)峰值也逐漸增加，在第八周期內(nèi)峰值增加為0.85。正是由于光強(qiáng)在1維光子晶體內(nèi)逐漸增加使TE波能順利通過光子晶體，從而形成光子的導(dǎo)帶。

2.2 TM波的光強(qiáng)分布

取入射角θ0=15°，由（8）式計(jì)算出TM波在ω分別為ω0，2ω0，3ω0和4ω0這4種情況下光強(qiáng)在該1維光子晶體中隨周期的分布曲線，如圖9、圖10、圖11和圖12所示。其中圖9和圖11是禁帶內(nèi)TM波的光強(qiáng)分布情況，圖10和圖12是導(dǎo)帶內(nèi)TM波的光強(qiáng)分布情況。由圖9、圖10、圖11和圖12可得TM波的光強(qiáng)分布規(guī)律。

2.2.1 禁帶內(nèi)光強(qiáng)的分布特征 當(dāng)ω=ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)都出現(xiàn)了一個(gè)凹谷，周期的邊界處出現(xiàn)極大值。第一周期內(nèi)的極大值為0.34，第二周期內(nèi)的極大值迅速降為0.09，第五周期內(nèi)的極大值已經(jīng)降為0，第五周期以后的各個(gè)周期內(nèi)光強(qiáng)的分布恒為0。當(dāng)ω=3ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)都出現(xiàn)了3個(gè)凹谷，周期的邊界處出現(xiàn)極大值。第一周期內(nèi)的極大值為0.34，第二周期內(nèi)的極大值迅速降為0.09，第五周期內(nèi)的極大值已經(jīng)降為0，第五周期以后的各個(gè)周期內(nèi)光強(qiáng)的分布恒為0。正是由于光強(qiáng)在1維光子晶體內(nèi)迅速衰減，使TM波不能通過光子晶體，從而形成光子的禁帶。禁帶內(nèi)TM波的光強(qiáng)分布與TE波的光強(qiáng)分布也存在一些區(qū)別，TM波在周期的邊界處光強(qiáng)分布是不連續(xù)的，而TE波在周期的邊界處光強(qiáng)分布是連續(xù)的。

2.2.2 導(dǎo)帶內(nèi)光強(qiáng)的分布特征 當(dāng)ω=2ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)兩個(gè)峰，第一周期內(nèi)的2個(gè)峰值均為0.83，第二周期內(nèi)的2個(gè)峰值增加為0.85，之后隨著周期的增加2個(gè)峰值逐漸增加，在第八周期內(nèi)的峰值增加為0.9。當(dāng)ω=4ω0時(shí)，光強(qiáng)在每個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)了4個(gè)峰，第一周期內(nèi)4個(gè)峰值均為0.6，第二周期內(nèi)的4個(gè)峰值增加為0.64，之后隨著周期的增加4個(gè)峰值也逐漸增加，在第八周期內(nèi)的峰值增加為0.72。正是由于光強(qiáng)在1維光子晶體內(nèi)逐漸增加使TM波能順利通過光子晶體，從而形成光子的導(dǎo)帶。導(dǎo)帶內(nèi)TM波的光強(qiáng)分布與TE波的光強(qiáng)分布也存在一些區(qū)別，TM波的光強(qiáng)在周期的邊界處出現(xiàn)極小值，而TE波的光強(qiáng)在周期的邊界處出現(xiàn)極大值。

3 結(jié) 論

利用平面波在介質(zhì)層中傳播的等相面的關(guān)系，推導(dǎo)光通過厚度為a、折射率為n的介質(zhì)層其位相差δa=nacosθ，糾正了參考文獻(xiàn)［13］中的瑕疵。并利用TM波在界面切向分量連續(xù)的條件，推導(dǎo)出TM波在1維光子晶體中光強(qiáng)的分布公式。利用這些公式研究了TM波和TE波在1維光子晶體中光強(qiáng)的分布規(guī)律。得出了在禁帶范圍內(nèi)隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加其光強(qiáng)迅速衰減的特征，在導(dǎo)帶范圍內(nèi)隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加其光強(qiáng)不會(huì)衰減的特征。TM波和TE波在1維光子晶體中光強(qiáng)的分布規(guī)律的獲得，使對1維光子晶體中TM波和TE波的禁帶和導(dǎo)帶的形成有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

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Field distribution of two kinds of polarized light in 1-D photonic crystal

JIANG Helun，LIU Qineng
（College of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to study the field distribution of 1-D photonic crystal，the formula of the light intensity distribution of TM wave in 1-D photonic crystal was deduced based on the characteristic matrix and the intensity of TM wave and TE wave in 1-D photonic crystal was analyzed.The results show that the light intensity of TM wave and TE wave decreases with the increase of propagation depth in forbidden band of 1-D photonic crystal.The light intensity of TM wave and TE wave does not decrease with the increase of propagation depth in conductive band of 1-D photonic crystal.The study is helpful for the understanding of forbidden band and conductive band in TM wave and TE wave.

optoelectronics；photonic crystal；polarized light；light intensity；phase difference

O436.3

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.030

1001-3806（2014）05-0718-05

重慶市教委科技項(xiàng)目基金資助項(xiàng)目（KJ130713）

蔣和倫（1965-），男，副教授，從事光電子學(xué)方面的研究。

E-mail：jianghelun@sina.com

2013-08-30；

2013-10-30