完備格上交既約元的性質(zhì)

祝禎禎, 盧 濤

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

交既約元作為格論中的一種特殊元素,具有一些很好的性質(zhì),在格論中占有重要的地位,許多學(xué)者對其進(jìn)行了研究.在完全分配格中,每一個(gè)元素都可以表示成若干交既約元的交的形式;在格上Fuzzy關(guān)系方程的研究中,王學(xué)平[1]、李裕梅[2]分別在完備Brouwerian格和完全分配格上通過交既約元對Fuzzy方程進(jìn)行了研究并得到了很好的結(jié)論.本文對完備格上交既約元作了進(jìn)一步推廣,首先給出連續(xù)交既約元的概念,然后在完備格上對交既約元的性質(zhì)進(jìn)行了討論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]設(shè)P是偏序集,對任意a,b∈P,如果a

定義2[3]設(shè)L為格,對任意x,y,a∈L,如果a=x∧y,蘊(yùn)含x=a或y=a,則稱a為格L的交既約元.記M(L)={a∈L,a為交既約元}.

定義3[4]設(shè)L為完備格,a∈L,如果對任意的S?L,由a=∧S可推出a∈S,則稱a為格L的完全交既約元.記Q(L)={a∈L,a為完全交既約元}.

定義4設(shè)L為完備格,a∈L為交既約元,如果存在S?L,由a=∧S可推出a?S,則稱a為格L的連續(xù)交既約元.記C(L)={a∈L,a為連續(xù)交既約元},顯然1∈C(L).

定義5[4]設(shè)L為完備格,對于L的任意子集S,若k≤∨S,則存在S的有限子集T,使得k≤∨T,稱k為L中的緊元.

例1設(shè)格L=[0,1],則對任意的a∈L,有a∈C(L),事實(shí)上,對任意a∈L,1∈M(L),且a=∧{x|x∈(a,1)}.

例2設(shè)格L=[0,1]×[0,1],實(shí)數(shù)集上的大小關(guān)系為L上的偏序關(guān)系,則對任意的a,b∈[0,1),有〈a,1〉∈C(L),〈1,b〉∈C(L).事實(shí)上,〈a,1〉=∧{〈x,0〉|x∈(a,1)},〈b,1〉=∧{〈0,y〉|y∈(b,1)}.

注1〈1,1〉∈M(L),〈1,1〉?C(L),〈1,1〉?Q(L).

例3設(shè)L={〈x,x〉|x∈[0,1]},則對任意的x∈[0,1],〈x,x〉∈Q(L);而對任意x∈(0,1],〈x,x〉∈C(L).事實(shí)上,〈a,a〉=∧{〈x,x〉|x∈(a,1]}.

注2由定義知,完全交既約元與連續(xù)交既約元都是交既約元的特例.

事實(shí)上,取S={x,y}可知,完全交既約元是既約元.

引理1設(shè)L為Brouwerian格,對任意的a∈L,S?L,如果a∈Q(L),且a≥S,則存在b∈S,a≥b.

注3若a∈C(L),a≠0,則引理1不一定成立.

如對點(diǎn)集S={〈x,0〉|x∈(0,1],∧x=0}中的點(diǎn),(0,1)∈C(L),∧S=(0,0),從而〈0,1〉>∧S,但對任意的b∈S,〈0,1〉≯b.

2 交既約元的性質(zhì)

設(shè)L為格,a,b∈L,a={x∈L|x≥a},↑a={x∈L|x>a},(a,b]={x∈L|b≥x>a},a‖b表示a與b不可比較大小.

若無特別說明,下面L表示完備格,0與1分別表示最大元與最小元.

定理1設(shè)L是格,對任意的a∈L,如果存在x?a,y?a,則x‖y且x∧y=a.

證若x?a,y?a,則對于任意的y,x>y>a,對于任意的x,y>x>a都不成立.故x≯y,y≯x,從而x‖y.若x∧y≠a,x∧y=b,則b>a,與x?a,y?a矛盾.故x∧y=a.

定理2設(shè)L是格,a∈M(L),則a至多有一個(gè)上鄰.

證若a∈M(L),則a有兩個(gè)上鄰x,y,x≠y,由定理1得,x∧y=a.而x?a,y?a,這與a∈M(L)矛盾.因此a至多有一個(gè)上鄰.

定理3設(shè)a∈L,則a∈Q(L)的充分必要條件是a有唯一上鄰.

證若a∈Q(L),則a≠1,↑a不為空集.又L為完備格,∧↑a存在且∧↑a≥a.因a∈Q(L),對任意x∈↑a,x>a,所以由定義3知∧↑a≠a,即∧↑a≥a.設(shè)∧↑a=b,若存在x∈L,使b>x>a,顯然x∈↑a,從而知∧↑a是a的上鄰.由定理2知∧↑a是a的唯一上鄰.

反過來,若a有唯一上鄰,設(shè)b?a.對任意S?L,若a=∧S,則一定有a∈S.否則a?S,對任意x∈S,x≥a,從而x≥b,因此∧S=∧x∈S.x≥b>a,這與a=∧S矛盾.所以對任意S?L,若a=∧S,則一定有a∈S.由定義知a∈Q(L).

定理4設(shè)L為Brouwerian完備格,若a∈Q(L),則a是緊元.

證若S?L,a≥∧S,則由定理1知,存在b∈S,使b≥a,因此存在有限集T?L,a∈T,使得a≥∧T,所以a是緊元.

定理5設(shè)a∈M(L),a≠0,則a∈C(L)的充分必要條件是a沒有上鄰.

證設(shè)a∈C(L),a∈M(L),若a有上鄰,由定理2知a有唯一上鄰.設(shè)x>a,由于a∈C(L),則存在A?L,a?A,使a=∧A,從而對任意b∈A,b>a.又x?a,所以對任意b∈A,b≥x,因此∧A≥x>a,這與a=∧A相矛盾.所以a沒有上鄰.

反過來,若a沒有上鄰,由a≠0,L完備,則∧↑a存在,且∧↑a≥a.若∧↑a≠a,由定理3知,∧↑a是a的上鄰,這與a沒有上鄰矛盾,所以∧↑a=a.從而對任意x∈↑a,x≥a且a∈M(L),所以a∈C(L).

定理6若M(L)不為空集,則M(L)=Q(L)∪C(L).

證顯然由注2知Q(L)∪C(L)?M(L),且對任意的a∈M(L),由定理2知,a至多有一個(gè)上鄰.若a有唯一上鄰,由定理5知,a∈C(L),所以a∈Q(L)∪C(L),從而M(L)?Q(L)∪C(L).

定理7設(shè)a∈L,a≠1,則a∈M(L)的充要條件是:對任意的b,c∈↑a,(b,a)∩(c,a)≠?.

證設(shè)a∈M(L),對任意的b,c∈↑a,若c≤b或b≤c,顯然有b,c∈↑a,(b,a)∩(c,a)≠?.若b‖c,則a≤(b∧c),但b∧c≠a,否則b∧c=a,因b≠a,c≠a,這與a∈M(L)矛盾,從而a<(b∧c).所以b∧c∈(b,a)∩(c,a)≠?.

反過來,若對任意的b,c∈↑a,b∧c∈(b,a)∩(c,a)≠?,a∈M(L),則存在b,c∈↑a,使得b∧c=a.因b∧c∈(b,a)∩(c,a)≠?,設(shè)d∈(b,a)∩(c,a)≠?,則c≥d,b≤d,從而b∧c≥d>a.又b∧c=a,矛盾.所以a∈M(L).

設(shè)L是完備的分配格,b∈C(L),b≠0,記S={B?L|b?B,b=∧B},則顯然有↑b∈S,且對任意B∈S,B?↑b,且↑b中無極小元,即對任意x∈↑b,存在y∈↑b,使y

定理8若b∈C(L),b≠0,則對任意的B∈S,|B|=∞.

事實(shí)上,若|B|<∞,由引理1知b∈A,與b∈C(L)矛盾.

定理9若b∈C(L),B∈S,則對任意x∈B,b=∧(B{x}).

定理10若b∈C(L),B∈S,若D?B,|D|<∞,則b=∧(B/D).

定理11若b∈C(L),D?L,b≥∧D,且對任意d∈D,b≯d,則|D|=∞.對任意T?D,若|T|<∞,則b≥∧(D/T).

3 結(jié)論

本文在引入連續(xù)交既約元的基礎(chǔ)上,給出交既約元的分類,然后在完備格上對交既約元的性質(zhì)進(jìn)行探討,但對交既約元的性質(zhì)及分解有待進(jìn)一步探討.

參考文獻(xiàn):

[1] Wang Xueping.Infinite fuzzy relational equation in a complete Brouwerian lattice[J].Indian J Pure Appl Math,2002,33(1):87.

[2] 李裕梅.完備Brouwerian格上Fuzzy關(guān)系方程的極大解存在的一些條件[D].成都:四川師范大學(xué),2003.

[3] Birkhoff G.Lattic theory[M].3rd ed.New York:Amer Math Soc Colloq Public,1979:10-35.

[4] Crawley P,Dilworth R P.Algebraic theory of lattic[M].Englewood Cliffs:Prentice Hall,1973:3-20.