磁懸浮飛輪微振動特性及其主動振動控制方法研究*

孟 猛，樊亞洪，2，張激揚(yáng)，2，劉 虎，鄧曉楠

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.航天器先進(jìn)慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu)與測量技術(shù)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，北京 100190;3.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191;4.中國空間技術(shù)研究院，北京 100094)

O 引言

磁懸浮飛輪具有無接觸、無摩擦、無需潤滑、高精度、長壽命等優(yōu)點(diǎn)［1］.從理論上磁懸浮飛輪可以達(dá)到無振動，但是實(shí)際中仍存在一些擾動源會引起振動，進(jìn)而傳遞到星體上.引起這些擾動的原因，包括不平衡振動、傳感器噪聲、定轉(zhuǎn)子固有模態(tài)振動以及安裝誤差等.這些擾動會造成磁懸浮飛輪慣性矢量產(chǎn)生誤差，從而影響衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定精度和指向精度［2］.

本文利用微振動測量平臺和數(shù)據(jù)采集分析硬件和軟件，實(shí)時測量飛輪兩個平動方向的微振動力，通過分析磁懸浮飛輪微振動力時域特性和頻域特性，特別是通過分析瀑布圖，找出引起磁懸浮飛輪微振動的主要頻域分量，例如同頻量、倍頻量或者不隨轉(zhuǎn)速變化的模態(tài)量.運(yùn)用主動振動控制算法對相應(yīng)頻域分量進(jìn)行控制，最終實(shí)現(xiàn)在時域和頻域飛輪振動力的顯著下降.

1 磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)及建模

磁懸浮飛輪磁軸承轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模的建立是磁軸承控制方法研究的基礎(chǔ)［3］.

1.1 飛輪結(jié)構(gòu)

本文測試用的飛輪的結(jié)構(gòu)如圖1所示.磁軸承系統(tǒng)由上、下兩個軸向磁軸承和一個徑向磁軸承組成.與典型結(jié)構(gòu)磁軸承系統(tǒng)的控制方式不同，徑向磁軸承只產(chǎn)生轉(zhuǎn)子徑向平動控制力，轉(zhuǎn)子的徑向偏轉(zhuǎn)控制力矩和軸向平動控制力均由軸向磁軸承產(chǎn)生［4］.

圖1 五自由度磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of 5 DOF MSFW

1.2 轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

假設(shè)飛輪轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，質(zhì)量為m，極轉(zhuǎn)動慣量為JP，赤道轉(zhuǎn)動慣量為Je.建立轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系統(tǒng)OXYZ，如圖2的轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系統(tǒng)所示，轉(zhuǎn)子繞Z軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為Ω，繞X，Y軸的轉(zhuǎn)角分別為α，β，轉(zhuǎn)子對應(yīng)于3個慣性主軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為JX，JY，JZ，則有JZ=JP，由于轉(zhuǎn)子為軸對稱結(jié)構(gòu)，因而有JX=JY=Je.

除了Z軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程可寫為

其中式(1)為轉(zhuǎn)子的3個平動方程，式中FX、FY、FZ為作用于轉(zhuǎn)子質(zhì)心上的外力在X方向、Y方向和Z方向上的分力.式(2)為轉(zhuǎn)子的兩個轉(zhuǎn)動方程，式中MΑ和MΒ為作用于轉(zhuǎn)子上繞X軸和Y軸的外力矩.

圖2 轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate system of rotor

對于圖1所示的磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)，徑向偏轉(zhuǎn)兩個自由度是靠軸向平動的4個分量z1，z2，z3，z4來控制，與偏轉(zhuǎn)關(guān)系如下:

其中R為轉(zhuǎn)子半徑.

FX、FY、MΑ、MΒ為作用在轉(zhuǎn)子質(zhì)心上的外力和力矩，本身是非線性的，但是當(dāng)轉(zhuǎn)子在平衡位置附近作小范圍位移運(yùn)動時，可以做Taylor展開得到近似的線性方程［1］:

其中，KS為位移剛度系數(shù)，Ki為電流剛度系數(shù)，Ii為控制電流，q為轉(zhuǎn)子平動位移和偏轉(zhuǎn).

1.3 轉(zhuǎn)子微振動模型

含有不平衡量的轉(zhuǎn)子中心面如圖3所示.由于轉(zhuǎn)子靜不平衡量的存在，轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心不重合.

圖3 轉(zhuǎn)子中心面坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.3 Coordinate system of central rotor plane

以磁軸承轉(zhuǎn)子質(zhì)心O為原點(diǎn)建立相對于慣性空間的固定坐標(biāo)系(NXY).其中λ為幾何中心和質(zhì)心的長度，Ωt+φ為旋轉(zhuǎn)角度.將轉(zhuǎn)子靜不平衡量作為系統(tǒng)內(nèi)部擾動，考慮磁軸承轉(zhuǎn)子處幾何中心和質(zhì)心之間的相對位置關(guān)系，有:

式中:X'，Y'分別表示幾何軸在磁軸承處的位移和偏轉(zhuǎn);x'，y'分別表示慣性軸在磁軸承處的位移和偏轉(zhuǎn).

當(dāng)轉(zhuǎn)子在平衡位置附近小范圍運(yùn)動時，根據(jù)式(4)，軸承力的線性化方程為

式中:iX、iY為相應(yīng)的磁軸承控制電流;ks為磁軸承的位移剛度;ki為磁軸承的電流剛度.由式(6)可見，軸承力中的位移剛度分量和電流剛度分量均存在不平衡擾動.

令

則由式(6)、(7)可得含不平衡擾動的徑向磁軸承力方程為

其中ΘX、ΘY表示因不平衡量引入的擾動.

由1.2節(jié)可知，磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)特殊，徑向偏轉(zhuǎn)兩個自由度通過軸向磁軸承控制.因此，其偏轉(zhuǎn)自由度的不平衡量模型不同于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的磁軸承轉(zhuǎn)子，如圖4所示.

圖4 中 z1，z2，z3，z4為軸向平動的 4 個分量，以z1，z3方向?yàn)閄軸，z2，z4方向?yàn)閅軸，Z軸為轉(zhuǎn)子慣性軸.R'為定子下平面半徑，δ為轉(zhuǎn)子中心距定子下平面的間隙.由此可以推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子中心面邊緣距定子下平面的最小間隙lmin為

圖4 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Structure of the rotor

Ωt+φ是z1磁軸承相對于最小間隙lmin旋轉(zhuǎn)過的角度.由此可以推導(dǎo)出 z1，z2，z3，z44 個軸向磁軸承間隙如下式:

令

其中ΘΑ(t)和ΘΒ(t)為轉(zhuǎn)子的不平衡擾動量.則由式(10)、(11)可得含不平衡擾動的軸向磁軸承力方程為

除了轉(zhuǎn)子不平衡量，傳感器誤差也是引起振動的擾動源.磁軸承轉(zhuǎn)子的倍頻分量主要是由傳感器奇次諧波導(dǎo)致的［5］，包含倍頻分量的磁軸承轉(zhuǎn)子的廣義位移方程可寫為

其中ε'為傳感器誤差引入的倍頻分量.

2 微振動測試

2.1 測試系統(tǒng)簡介

微振動測試系統(tǒng)如圖5所示，測試過程中磁懸浮飛輪固連在基座上，利用壓板將飛輪和基座壓緊在測量臺上，從而確保飛輪、基座和測振臺成剛性安裝.由于不同的安裝位置會影響兩個偏轉(zhuǎn)方向振動力矩的測量，因此本文主要針對兩個平動方向的振動力作測量和控制，盡量避免因安裝方式引起的測量誤差對控制效果的影響.

圖5 微振動測試系統(tǒng)Fig.5 Micro-vibration test system

2.2 測試結(jié)果與分析

本節(jié)對磁懸浮飛輪的測試，磁軸承反饋控制回路只是保留了基本的PID控制和交叉算法以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.目的是考查無主動振動控制算法的情況下磁懸浮飛輪的振動力的時域和頻域特性.測試過程中磁懸浮飛輪以0.05 N·m的力矩從0 r/min升至5200 r/min.徑向平動X和Y兩個方向的振動力FX和FY的瀑布圖如圖6～7所示.瀑布圖中3個坐標(biāo)軸分別是頻率、轉(zhuǎn)速和力.

從圖6和7中可以看出，徑向平動兩個方向振動力FX和FY的同頻分量和5倍頻分量在整個頻譜范圍內(nèi)比較明顯.其中5倍頻分量在3000 r/min以后的高速時有非常明顯的上升.從兩個平動方向振動力的時域圖(如圖8)，可以看出，在整個升速過程中FX和FY的振動力的時域值一直上升，到4500 r/min的高速時穩(wěn)定在±10 N和±15 N.

圖6 徑向平動X方向的振動力瀑布圖Fig.6 Waterfall diagram of radial X direction

圖7 徑向平動Y方向的振動力瀑布圖Fig.7 Waterfall diagram of radial Y direction

圖8 徑向平動X，Y方向振動力時域圖Fig.8 Vibration force of X and Y radial directions in time domain

因此，如果將FX和FY的同頻分量和5倍頻分量進(jìn)行有效控制，那么其振動力在時域和頻域都會有很明顯地下降.這就是下一步作主動振動控制的目的.

3 主動振動控制方法及效果

3.1 主動振動控制方法原理

(1)同頻閉環(huán)陷波

由含有不平衡擾動的軸承力方程(8)可以看出，要完全抑制不平衡擾動的影響，首先要辨識并濾除控制電流中的同頻分量，即確定ΘX(t)和ΘY(t)并補(bǔ)償.方法如下:將式(7)改寫為(只針對徑向平動)

式中，rX1，rX2為同頻擾動余弦分量幅值，rY1、rY2為同頻擾動正弦分量幅值［1］，如圖9所示.N(s)是中心頻率隨轉(zhuǎn)速變化的自適應(yīng)陷波器;Nf(s)是跟蹤濾波器;ε是反饋系數(shù)，決定自適應(yīng)陷波器N(s)的收斂速度和中心陷波帶寬，w(t)和c(t)為陷波器輸入輸出.

經(jīng)閉環(huán)反饋系統(tǒng)收斂后［5］，濾波器Nf(s)中積分器的輸出值即為轉(zhuǎn)子位移信號中正余弦同頻分量幅值，也就是實(shí)現(xiàn)了對電流信號中不平衡量的辨識及補(bǔ)償.

圖9 主動振動控制方法框圖Fig.9 Block diagram of adaptive vibration control

(2)位移剛度補(bǔ)償

由式(8)可知，在濾除控制電流同頻擾動分量之后，還必須對位移剛度力中的同頻分量進(jìn)行補(bǔ)償，即在各磁軸承控制電流中分別加入位移剛度力補(bǔ)償項(xiàng):

其中位移剛度ks和電流剛度ki均可以通過試驗(yàn)測得.

(3)同頻開環(huán)陷波

閉環(huán)自適應(yīng)陷波的引入必然會改變原閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和穩(wěn)定性.通過穩(wěn)定性分析，當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)會失穩(wěn)［6］:

ω0是與控制系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的臨界轉(zhuǎn)速［7］.

(4)倍頻分量的抑制方法

倍頻量的擾動方程為

倍頻分量的補(bǔ)償控制可采用自適應(yīng)跟蹤濾波器和陷波的方法來實(shí)現(xiàn)，只要從傳感器信號中濾除相對慣性軸的倍頻干擾即可.

3.2 控制效果

(1)同頻分量

如圖10，加入振動控制算法后，F(xiàn)X的同頻分量的峰值從約為4 N下降到0.7 N左右，降幅約為83%;FY之前的同頻分量峰值約為3 N，之后約為0.8 N，降幅約為73%.

圖10 徑向平動X、Y兩個方向振動力同頻分量Fig.10 Same frequency componentin X and Y radial direction

(2)倍頻分量

FX的5倍頻分量的峰值從大約2.3 N，下降到不足0.3 N，降幅約為87%;FY的5倍頻分量的峰值從7 N下降到不足1.5 N，降幅達(dá)79%，如圖11所示.

圖11 徑向平動X、Y兩個方向振動力5倍頻分量Fig.115-times frequency component in X and Y radial directions

(3)振動力時域值

對比圖12與圖8，未加任何振動控制算法時，F(xiàn)X和FY的時域值在整個升速過程總有很明顯地上升，最終維持在±15 N和±20 N左右，加了主動振動控制算法后的整個升速過程中的時域值基本維持在±5 N以內(nèi).

圖12 徑向平動X、Y方向振動力時域圖Fig.12 Vibration force diagram of X and Y radial directions in time domain

4 結(jié)束語

本文通過測試磁懸浮飛輪的微振動特性，發(fā)現(xiàn)磁懸浮飛輪除了同頻量、倍頻量和不隨轉(zhuǎn)速變化的模態(tài)分量，基本無其他頻域分量.并且由于交叉反饋控制，也看不到章動和進(jìn)動分量.在時域特性上，振動力時域值會隨著轉(zhuǎn)速升高而增加，最終在高速時基本保持穩(wěn)定.在對頻域特性和時域特性分析的基礎(chǔ)上，本文利用閉環(huán)自適應(yīng)陷波，位移剛度補(bǔ)償和開環(huán)自適應(yīng)陷波的方法，將平動X，Y方向的同頻和5倍頻分量進(jìn)行控制，降幅達(dá)均到70%以上，體現(xiàn)了主動振動控制算法的有效性.

本文后續(xù)仍然有很多工作需要深入研究，從整個瀑布圖來看，需要濾除的頻域分量還有不隨轉(zhuǎn)速變化的彈性模態(tài)分量、低速時的倍頻分量等.另外，本文未考慮磁中心調(diào)零對控制效果的影響，也沒有考慮不同的支撐剛度對于主動振動控制方法的影響，這些是下一步研究中要解決的主要問題.

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