拓?fù)洵h(huán)小生境粒子群算法在無功優(yōu)化中的應(yīng)用

姜平，王昕，李立學(xué)，周荔丹，姚鋼，陳洪濤

（1.上海交通大學(xué)電工與電子技術(shù)中心，上海 200240；2.上海交通大學(xué)電氣系，上海 200240 3.吉林省電力有限公司松原供電公司，松原 138000）

電壓質(zhì)量對保證電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定起著重要的作用，電力系統(tǒng)的無功規(guī)劃[1]和無功平衡是保證電壓質(zhì)量的基本條件。合理地規(guī)劃無功電源，控制無功的合理流動能有效地降低系統(tǒng)的有功損耗，從而獲得不錯(cuò)的經(jīng)濟(jì)效益[2]。

無功規(guī)劃是電力系統(tǒng)安全運(yùn)行的一個(gè)重要組成部分，通過對電力系統(tǒng)的無功電源進(jìn)行合理的配置，維持電網(wǎng)電壓水平，改善電網(wǎng)穩(wěn)定性，減少有功網(wǎng)絡(luò)損耗[3]及保證有較寬的運(yùn)行裕度。對于無功配置進(jìn)行優(yōu)化，傳統(tǒng)的方法有線性優(yōu)化方法中的內(nèi)點(diǎn)法[4]和非線性優(yōu)化方法中的混合整數(shù)規(guī)劃法等。近年來又相繼提出了遺傳算法、Tabu搜索法、啟發(fā)式算法、模擬退火算法、粒子群優(yōu)化等智能優(yōu)化算法[5]。與傳統(tǒng)的優(yōu)化方法相比較，遺傳算法以生物進(jìn)化為原型，具有收斂性好[6]、計(jì)算時(shí)間少、魯棒性高等優(yōu)點(diǎn)[7]，但其計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[8]提出的粒子群算法PSO（paticle swarm optimization）從隨機(jī)解出發(fā)，通過簡單的迭代尋找最優(yōu)解，通過對粒子適應(yīng)度的計(jì)算來評判粒子的優(yōu)劣。與遺傳算法相比，實(shí)現(xiàn)上更加簡單，收斂速度也有了明顯的提升。但常規(guī)粒子群算法的重大缺陷可能會陷入局部最優(yōu)[9]；文獻(xiàn)[10]提出了基于自適應(yīng)小生境粒子群算法，根據(jù)各粒子之間的距離，利用共享機(jī)制改變粒子的適應(yīng)度，提高了整個(gè)群體的全局優(yōu)化能力。但其計(jì)算復(fù)雜度較基本粒子群算法有明顯的增加，且必須具有一定的先驗(yàn)知識才能確定小生境參數(shù)[11]，因而難以在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。

本文提出了基于拓?fù)洵h(huán)的小生境粒子群算法TRNLPSO（topology ring niche particle swarm optimization）來進(jìn)行配電網(wǎng)的無功優(yōu)化。該算法在局部粒子群算法的基礎(chǔ)上添加拓?fù)洵h(huán)，可以有效地控制粒子的收斂速度，更利于獲得全局最優(yōu)解。該算法首先對所有粒子進(jìn)行編號，構(gòu)成一個(gè)拓?fù)洵h(huán)；然后在該拓?fù)洵h(huán)上，選取相鄰幾個(gè)粒子構(gòu)成局部粒子群，通過控制信息使其僅在局部粒子群中進(jìn)行傳播，不但可以實(shí)現(xiàn)對粒子收斂速度的有效控制，而且可以在局部進(jìn)行更詳盡地搜索，從而更利于獲得全局最優(yōu)解。相對于其他小生境粒子群算法，該算法僅在基本粒子群算法上引入拓?fù)洵h(huán)，其計(jì)算復(fù)雜度與基本粒子群算法相當(dāng)，但該算法無需任何小生境參數(shù)即可自動形成小生境。最后以某配電網(wǎng)的有功網(wǎng)損作為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行補(bǔ)償容量的確定，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。

1 無功規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)中無功規(guī)劃的作用是降低全網(wǎng)的無功損耗，同時(shí)使得節(jié)點(diǎn)電壓保持穩(wěn)定，從而達(dá)到減少費(fèi)用和提高電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行系數(shù)的效果。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

本文選取系統(tǒng)有功網(wǎng)損（簡稱網(wǎng)損）和無功設(shè)備投資的綜合費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)，通過調(diào)整變壓器電壓變比、調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)端電壓和投切補(bǔ)償電容器等控制變量達(dá)到減少費(fèi)用的目的。其全網(wǎng)綜合費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型為

式中：Ploss為全網(wǎng)的有功網(wǎng)損；B為修正后的有功電價(jià)；Tmax為全網(wǎng)年最大負(fù)荷利用小時(shí)數(shù)；SB為基準(zhǔn)功率；Y為補(bǔ)償設(shè)備使用年限；r為無功補(bǔ)償設(shè)備的數(shù)目；Ci為第i個(gè)補(bǔ)償點(diǎn)的補(bǔ)償設(shè)備經(jīng)過修正后的單位容量的價(jià)格；Qc，i為第i個(gè)補(bǔ)償點(diǎn)的補(bǔ)償設(shè)備的容量，為控制變量。

考慮到實(shí)際計(jì)算中可能出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)電壓越限及發(fā)電機(jī)無功出力越限的情況，現(xiàn)將這些狀態(tài)變量以罰函數(shù)即節(jié)點(diǎn)電壓越限的懲罰項(xiàng)費(fèi)用和發(fā)電機(jī)無功出力越限的懲罰項(xiàng)費(fèi)用的形式來表達(dá)。添加到綜合費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型中，得

式中：λV，j為節(jié)點(diǎn)電壓越限懲罰因子；λG，i為發(fā)電機(jī)無功出力越限懲罰因子；coV為越界負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓下標(biāo)的集合；coG為越界負(fù)荷發(fā)電機(jī)無功出力下標(biāo)的集合；Vj，max、Vj，min分別為節(jié)點(diǎn)j的電壓上限和下限；QG，imax、QG，imin分別為發(fā)電機(jī)i無功出力的上限和下限。其中

由式（3）可見，懲罰項(xiàng)只有在狀態(tài)變量越限的時(shí)候才起作用。這樣可以有效防止不合理的情況發(fā)生，因此，比僅以綜合費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)更合適。

1.2 等式約束方程

等式約束為

式中：Pi、Qi分別為節(jié)點(diǎn)i注入的有功、無功功率；Vi、Vj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓幅值；Bij為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電納；N為與節(jié)點(diǎn)i直接相連的節(jié)點(diǎn)集合；Gij、δij分別為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo)和電壓相角差。

1.3 不等式約束方程

不等式約束方程為

式中：VG，imax、VG，imin為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓的上下限；Tk，max、Tk，min為可調(diào)變壓器變比的上下限；QC，imax、QC，imin為節(jié)點(diǎn)i上補(bǔ)償容量的上下限；Vi，max、Vi，min為節(jié)點(diǎn)i電壓幅值的上下限。

2 基于拓?fù)洵h(huán)的小生境粒子群算法

2.1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法[12]PSO是近年來發(fā)展起來的最主要的群智能算法之一，起源于生物學(xué)家對鳥群捕食行為的研究。Kennedy和Eberhart于1995年提出了粒子群算法，該算法是模擬鳥群群體覓食和遷徙行為的一種群體智能演化算法，較之其他智能算法具有一些很好的特點(diǎn)，如采用分散式搜索，具有并行處理及魯棒性好的特點(diǎn)；具有記憶性，所需元件較少易于實(shí)現(xiàn)，并能以較大概率找到最優(yōu)解。

針對具體問題，每個(gè)尋優(yōu)問題的解都被想象成一只鳥，也即粒子群算法中的一個(gè)粒子。每個(gè)粒子包含一個(gè)速度矢量，以決定其飛行的方向和距離。所有的粒子都有與其對應(yīng)的適應(yīng)值，該適應(yīng)值用來評判每個(gè)粒子的優(yōu)劣。同時(shí)每個(gè)粒子都具有記憶性，能夠記住歷史中找到的最佳位置，即所求問題最優(yōu)解。

為加快PSO的收斂速度，通常會在速度迭代公式中加入慣性因子對其進(jìn)行修正，修正后的粒子速度和位移公式分別為

式中：ω為慣性因子；Xid為粒子位置；Vid為粒子速度；C1、C2均為加速系數(shù)；rand（）為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)；pBestid為個(gè)體最優(yōu)，是當(dāng)前找到每個(gè)粒子自身的最優(yōu)值；gBestid為群體最優(yōu)，是當(dāng)前找到所有粒子的最優(yōu)解。

通過式（6）、式（7）可以看出，粒子參考其個(gè)體最優(yōu)及所有粒子的群體最優(yōu)，對其速度和位置進(jìn)行更新，使得粒子向個(gè)體最優(yōu)及群體最優(yōu)靠攏，以達(dá)到最優(yōu)解。

2.2 基于拓?fù)洵h(huán)的小生境粒子群算法

在PSO中，粒子間相互作用起著關(guān)鍵的作用。在基本PSO中，所有粒子通過gBestid來進(jìn)行信息的直接交流，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)信息的傳播。這種方式雖然使信息得到了共享，但信息傳播速度過快，當(dāng)傳播速度大于所需傳播速度時(shí)，會導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。

本文提出的基于拓?fù)洵h(huán)[13]的小生境算法是在局部PSO基礎(chǔ)上加上拓?fù)洵h(huán)。以一個(gè)8粒子種群為例，通過對每個(gè)粒子進(jìn)行編號，可使得8粒子種群在邏輯上形成一個(gè)拓?fù)洵h(huán)，如圖1所示。在拓?fù)洵h(huán)中，每個(gè)粒子只與鄰近的2個(gè)粒子有直接的交流，而與其他粒子只存在間接交流的關(guān)系。這樣構(gòu)成的拓?fù)洵h(huán)可以起到降低信息傳播速度的作用，從而避免了由于信息傳播速度過快而導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。

圖1 8粒子種群Fig.1 Population of eight particles

粒子群算法中，每個(gè)粒子都會記錄自己所經(jīng)歷的最優(yōu)解，因此可將粒子群看成2個(gè)群體的總和。第1個(gè)群體為開拓群，由粒子群的各個(gè)粒子組成，在求解空間中不斷地更新迭代，變換十分頻繁；第2個(gè)群體為記憶群，由每個(gè)粒子的歷史最優(yōu)解組成，相對于開拓群而言記憶群是相當(dāng)穩(wěn)定的，只有當(dāng)當(dāng)前粒子找到更優(yōu)解的時(shí)候才會發(fā)生變化。

針對帶有拓?fù)洵h(huán)的8粒子種群，開拓群由標(biāo)注為1～8的粒子組成，記憶群由標(biāo)注為m1～m8的粒子組成，如圖2所示。每個(gè)粒子有3個(gè)消息提供者，其中2個(gè)來自臨近粒子的記憶，1個(gè)來自自己的歷史最優(yōu)解。同樣的，每個(gè)粒子的記憶也有3個(gè)消息提供者，2個(gè)來自臨近粒子，1個(gè)來自粒子本身。

圖2 開拓群和記憶群相互作用Fig.2 Interaction between exploit population and memory population

由圖2可以看出，在向整個(gè)群體傳播信息之前，每個(gè)粒子都會在其局部領(lǐng)域進(jìn)行更細(xì)致地搜索。小生境粒子群算法的具體實(shí)現(xiàn)公式為

式中：pBestn，i為領(lǐng)域內(nèi)粒子的歷史最優(yōu)解，即pBestn，i-1、pBestn，i和pBestn，i+1三者中的最優(yōu)解。

拓?fù)洵h(huán)相鄰粒子的相互作用如圖3所示。拓?fù)洵h(huán)中的不同粒子可以擁有不同的pBestn，在這樣的情況下，粒子群在計(jì)算完畢后分散在不同峰值上。由此可見，拓?fù)洵h(huán)不僅提供了一種機(jī)制來減緩粒子群中信息傳播的速度，同時(shí)也允許不同鄰域最優(yōu)的共存。隨著迭代的進(jìn)行，粒子群中的粒子會向不同的區(qū)域聚集，自發(fā)地形成各個(gè)小生境。

圖3 拓?fù)洵h(huán)相鄰粒子的相互作用Fig.3 Interaction among adjacent particles in topology ring

圖4所示為一個(gè)多峰值的函數(shù)曲線。1個(gè)粒子的歷史最優(yōu)解和鄰域最優(yōu)有可能在1個(gè)波峰下，也有可能在不同的波峰下。

圖4 某多峰值函數(shù)的函數(shù)曲線Fig.4 Function curve of a multi-peak function

（1）當(dāng)歷史最優(yōu)解和領(lǐng)域最優(yōu)在同一個(gè)波峰下時(shí)，粒子本身及粒子的歷史最優(yōu)解很大可能向粒子的鄰域最優(yōu)解靠攏，最終結(jié)果為

而粒子的速度vi將會減小，直至為0，粒子最終將會停止運(yùn)動，粒子群形成了穩(wěn)定的小生境，得到了鄰域最優(yōu)解，進(jìn)而得到全局最優(yōu)解。

（2）當(dāng)粒子的歷史最優(yōu)和鄰域最優(yōu)不在同一個(gè)波峰下時(shí)，粒子xi進(jìn)入pBesti所在波峰的“間距”內(nèi)會導(dǎo)致這個(gè)“間距”（圖4中2條虛線之間）變小，這樣pBesti跳到pBestn，i所在波峰的概率會更小。在多步迭代后，pBesti和pBestn，i將會區(qū)分開來，vi將不會降為0，導(dǎo)致粒子xi永遠(yuǎn)振蕩。然而，pBesti形成的群體和pBestn，i形成的群體將會趨于平衡，從而達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)。pBestn，i形成的群體將會形成穩(wěn)定的小生境，從而得到了全局最優(yōu)解。

由上述討論可知，該算法能促使粒子分布在多模問題的不同峰值上形成穩(wěn)定的小生境。因此，相對于普通PSO，其得到全局最優(yōu)解的概率更大。

2.3 TRNLPSO算法流程

TRNLPSO算法求解電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題的流程如圖5所示。

圖5 TRNLPSO算法流程Fig.5 Flow chart of TRNLPSO

3 系統(tǒng)算例

國內(nèi)某配電網(wǎng)系統(tǒng)如圖6所示。該配電網(wǎng)有17個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)1為發(fā)電機(jī)，（2，3）、（6，7）、（11，12）為變壓器支路。4個(gè)無功補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)2、3、7和節(jié)點(diǎn)11。設(shè)出線首端根節(jié)點(diǎn)的電壓為恒定值1.0 kV。PV節(jié)點(diǎn)和平衡節(jié)點(diǎn)的電壓上下限設(shè)置為1.1 kV及0.9 kV。PQ節(jié)點(diǎn)的電壓上下限設(shè)置為1.05 kV及0.95 kV。4個(gè)無功補(bǔ)償設(shè)備的上限分別為0.05、0.09、0.20、0.08，下限都為0，選取基準(zhǔn)值為100 kvar。取系統(tǒng)的負(fù)荷水平，運(yùn)行時(shí)間為3 600 h。選取SB=100MVA，系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間以1 a計(jì)算，粒子群規(guī)模為20，最大迭代次數(shù)為600，C1與C2都為1.496 2，ω的初值取0.9。

圖6 某17節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.6 System of 17-node

與運(yùn)用PSO算法的系統(tǒng)相比較，運(yùn)用TRNLPSO算法補(bǔ)償后系統(tǒng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓水平有了明顯的改善，如表1所示。

表1 PSO和TRNLPSO補(bǔ)償后的各節(jié)點(diǎn)電壓Tab.1 Node voltages after the compensation of PSO and TRNLPSOkV

PSO與TRNLPSO在電容的補(bǔ)償容量上有著明顯的區(qū)別，通過節(jié)點(diǎn)電壓的對比可以看出，TRNLPSO在電容容量的取值上更具合理性。新增無功補(bǔ)償方案如表2所示。

表2 新增無功補(bǔ)償方案Tab.2 New reactive compensation program kvar

修正后系統(tǒng)的電價(jià)為600元/（MW·h），電容器的使用年限為10 a，電容器的價(jià)格為20 000元/Mvar。PSO與TRNLPSO補(bǔ)償后的網(wǎng)損及綜合費(fèi)用如表3所示，由表3可以看出，經(jīng)過TRNLPSO算法補(bǔ)償后的綜合費(fèi)用和系統(tǒng)網(wǎng)損都明顯低于經(jīng)PSO算法補(bǔ)償優(yōu)化后的系統(tǒng)。

表3 不同算法優(yōu)化結(jié)果比較Tab.3 Results of different algorithms

綜上所述，在系統(tǒng)中加入補(bǔ)償電容后，系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)電壓、網(wǎng)損及綜合費(fèi)用都會有所改善。相對PSO算法而言，TPNLPSO算法優(yōu)化效果更好。

4 結(jié)語

本文以系統(tǒng)的有功網(wǎng)損及投資設(shè)備的綜合費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)，將節(jié)點(diǎn)電壓越限和發(fā)電機(jī)無功出力越限采用罰函數(shù)的方式進(jìn)行處理。對于已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型，本文采用基于拓?fù)洵h(huán)的小生境粒子群算法TRNLPSO進(jìn)行補(bǔ)償電容容量的選取優(yōu)化。該算法無需任何小生境參數(shù)的先驗(yàn)知識，不但能夠有效地提高算法的收斂精度，而且具有低計(jì)算復(fù)雜度的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)可形成穩(wěn)定的小生境，提高了獲得最優(yōu)解的概率。仿真實(shí)驗(yàn)表明，經(jīng)過TRNLPSO優(yōu)化算法優(yōu)化后，系統(tǒng)的電壓安全性得到了明顯的提高。

[1]Dai Chaohua，Chen Weirong，Zhu Yunfang，et al．Seeker optimization algorithm for optimal reactive power dispatch[J]．IEEE Trans on Power Systems，2009，24（3）：1218-1231．

[2]何佳，吳耀武，婁素華，等（He Jia，Wu Yaowu，Lou Suhua，et al）.基于SA_PSO的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化（Power system reactive power optimization based on simulated annealing particle swarm optimization algorithm）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(bào)（Proceeding of the CSU-EPSA），2007，19（5）：114-118.

[3]Venkatesh B，Sadasivam G，Khan M A．A new optimal reactive power scheduling method for loss minimization and voltage stability margin maximization using successive multi-objective fuzzy LP technique[J]．IEEE Trans on Power Systems，2000，15（2）：844-851．

[4]李濱，韋化，李佩杰（LiBin，WeiHua，LiPeijie）．電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的內(nèi)點(diǎn)非線性互補(bǔ)約束算法（Interior-point nonlinear algorithm with complementary constraints for reactive-power optimization）[J]．電力自動化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2010，30（2）：53-58．

[5]AlRashidi M R，El-Hawary M E．Applications of computa－tional intelligence techniques for solving the revived optimal power flow problem[J]．Electric Power System Research，2009，79（4）：694-702.

[6]Liu Mingbo，Tso SK，Cheng Ying．An extended nonlinear primal-dual interior point algorithm for reactive-power optimization of large-scale power systems with discrete control variables[J]．IEEE Trans on Power Systems，2002，17（4）：982-991．

[7]Mantawy AH，AI-GhamdiM S.A new reactive power optimization algorithm[C]//IEEE Bologna Power Tech Conference，Bologna，Italy：2003.

[8]盛四清，遠(yuǎn)樹平（Sheng Siqing，Yuan Shuping）.基于粒子群算法的電力系統(tǒng)無功規(guī)劃（Power system reactive power programming based on particle swarm algorithm）[J].電力科學(xué)與工程（Electric Power Science and Engineering），2009，25（6）：16-19，28.

[9]張斌（Zhang Bin）.基于粒子群算法的配電網(wǎng)無功補(bǔ)償優(yōu)化規(guī)劃（Reactive power compensation of distribution network based on particle swarm optimization）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（2）：157-160.

[10]劉自發(fā)，張建華（Liu Zifa，Zhang Jianhua）.基于自適應(yīng)小生境粒子群優(yōu)化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化（Reactive power optimization based on adaptive niche particle swarm optimization algorithm）[J].電力自動化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2009，29（11）：27-30.

[11]李惠玲，盛萬興，孟曉麗（Li Huiling，ShengWanxing，Meng Xiaoli）.基于改進(jìn)小生境遺傳算法的配電網(wǎng)全網(wǎng)無功優(yōu)化（General reactive power optimization of whole distribution network based on improved niche genetic algorithm）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2009，33（4）：34-37，50.

[12]Kennedy J，Eberhart R．Particle swarm optimization[C]//IEEE International Conference on Neural Networks，Perth，Australia：1995．

[13]Li Xiaodong.Niching without niching parameters：particle swarm optimization using a ring topology[J].IEEE Trans on Evolutionary Computation，2010，14（1）：150-169.