關(guān)于《常微分方程》課程教學(xué)模式的探究

田春紅

（南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，江蘇 南京 210016）

常微分方程（Ordinary Differential Equations）,是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)泛函、偏微、微分幾何等課程的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)在工程技術(shù)中發(fā)揮作用的拳頭之一。內(nèi)容包括：微分方程建模、初等積分法、線性系統(tǒng)、常系數(shù)線性系統(tǒng)、若干振動(dòng)問題、一般理論、定性理論初步。

1 教學(xué)模式的合理安排

微分方程是一門基礎(chǔ)課，教材[1]中的內(nèi)容大多是一些以理論分析和理論推導(dǎo)為主的純數(shù)學(xué)知識(shí)，但是，如果就把微分方程看成一門只講基礎(chǔ)知識(shí)和方程解法的純理論性課程，教學(xué)效果就比較差。微分方程都有一定的實(shí)際背景和實(shí)際應(yīng)用，因此，我們要結(jié)合新的教學(xué)實(shí)際，努力改革教學(xué)模式，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。這里提出“基礎(chǔ)+提高+應(yīng)用”三位一體的教學(xué)模式。

“基礎(chǔ)”是指抓好基本理論和基本技能（解題技巧）的教學(xué)工作。理論教學(xué)必須有一定的高度和深度。

“提高”包括三個(gè)方面。一是習(xí)題課教學(xué)，通過習(xí)題課來消化理解并加深理論知識(shí)和基本技能，從而達(dá)到提升理論水平的效果。二是課外答疑。通過答疑輔導(dǎo)，來掃除學(xué)生學(xué)習(xí)中的障礙。三是抓好兩頭，促進(jìn)中間。就不同層次進(jìn)行分類指導(dǎo)，特別是要給學(xué)習(xí)成績比較突出的同學(xué)留出學(xué)習(xí)空間，而給學(xué)習(xí)相對(duì)薄弱的同學(xué)及時(shí)補(bǔ)習(xí)，達(dá)到共同提高的目的。

“應(yīng)用”是指盡可能在每一部分的引入中，以切實(shí)可行的實(shí)際問題為背景引導(dǎo)出所需要的微分方程，讓學(xué)生親身體會(huì)方程的來源。同時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模，在教學(xué)過程中適當(dāng)加入模型分析，利用教學(xué)軟件，進(jìn)行數(shù)值模擬。一方面可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，避免枯燥地講授理論和繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算；另一方面還可以通過應(yīng)用加深對(duì)理論知識(shí)的理解。

2 教學(xué)內(nèi)容的合理安排

課本中只有教學(xué)的基本內(nèi)容，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)大綱的要求，特別是按照課程教學(xué)模式的要求，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理安排。以王高雄等主編《常微分方程》（高等教育出版社）為例。

首先，在教學(xué)內(nèi)容方面，加強(qiáng)構(gòu)造積分因子技巧的訓(xùn)練并將計(jì)算首次積分同計(jì)算Hamilton能量函數(shù)以及構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的需要聯(lián)系在一起；加強(qiáng)常數(shù)變易法和微分不等式的內(nèi)容并與進(jìn)一步學(xué)習(xí)非線性微分方程的漸近性態(tài)聯(lián)系在一起；加強(qiáng)Euler指數(shù)函數(shù)法和特征理論并與微分方程平衡點(diǎn)分類聯(lián)系在一起;加強(qiáng)Picard逼近的思想并與微分方程數(shù)值解法以及動(dòng)力系統(tǒng)中的迭代行為聯(lián)系在一起。這四個(gè)聯(lián)系象四條線索一樣把整個(gè)常微分方程的課程內(nèi)容串在一起，形成一個(gè)有機(jī)的整體；

其次，在吃透教材的基礎(chǔ)上，對(duì)教材的基本內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)處理。例如，對(duì)第三章一階微分方程的解的存在定理中的部分定理（如解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理）只介紹定性的條件與結(jié)論，不作證明，考慮課時(shí)的需要，在教學(xué)內(nèi)容上，可以適當(dāng)?shù)臏p輕高階方程，Riccati方程教學(xué)任務(wù)，減輕級(jí)數(shù)展開法及解析理論的習(xí)題量，在初等解法一章中，內(nèi)容較淺顯且研究方法相近的內(nèi)容可以壓縮，適當(dāng)增加常微分方程新的可積類型，差分方程的部分內(nèi)容和常微分方程的建模內(nèi)容。

再次，要結(jié)合教學(xué)模式的設(shè)計(jì)，合理安排教學(xué)模塊。一是理論模塊。這些理論除了第三章一階微分方程的存在定理、第四章線性方程的解的結(jié)構(gòu)理論、第五章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)理論以及第六章解的穩(wěn)定性理論外，有些理論是分散在各章的，應(yīng)注意及時(shí)整理總結(jié)。二是解方程模塊，這是理論模塊的落腳點(diǎn)之一，其內(nèi)容分散在各章中，類型多，內(nèi)容雜，要及時(shí)歸類，并加強(qiáng)訓(xùn)練。三是應(yīng)用模塊。除在每章或某一節(jié)的引入中通過實(shí)際問題建立模型外，要適當(dāng)補(bǔ)充數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，強(qiáng)化微分方程的數(shù)學(xué)建模作用，人們通過“數(shù)學(xué)建?！钡膯栴}解決來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)。

最后，要向?qū)W生講清微分方程與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、偏微分方程和物理學(xué)的關(guān)系，例如可十分簡潔向?qū)W生介紹微分方程的局部理論能平行地搬到微分幾何中的微分流形上去。這既可以理清知識(shí)的脈絡(luò)，將數(shù)學(xué)看成一個(gè)整體來學(xué)習(xí)，并在適當(dāng)?shù)牡胤较驅(qū)W生介紹當(dāng)今微分方程的學(xué)術(shù)研究進(jìn)展和應(yīng)用前景，使學(xué)生能從宏觀上把握微分方程的地位和作用。同時(shí)，在課堂教學(xué)的過程中，適當(dāng)介紹對(duì)微分方程有重要貢獻(xiàn)的人物及其他們是如何解決微分方程中的某一問題的[2]，如歐拉、柯西、伯努利、皮卡、李亞普諾夫等等。以此來進(jìn)一步提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和學(xué)習(xí)興趣。

3 采用多樣化教學(xué)手段與教學(xué)方式

對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，我們贊成以“黑板+粉筆”為主的教學(xué)手段。因?yàn)閿?shù)學(xué)需要一步步推演，而思維有一種“時(shí)滯”現(xiàn)象，這種推演的過程正好是學(xué)生思考理解的過程。因此，在教學(xué)中“黑板+粉筆”仍舊是無法替代的，這種教學(xué)方式靈活性強(qiáng)，可隨時(shí)根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行調(diào)整，并能增加師生的交互性，其推導(dǎo)的過程能吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生思考。由于微分方程與實(shí)際問題的聯(lián)系比較密切，結(jié)合三位一體的教學(xué)模式，我們采用了如下做法。

3.1 將教案作成課件

凡問題的引入、背景分析、定理和定義的表述以及例題和習(xí)題都用多媒體教學(xué)。凡定理的證明和例題講解用黑板。課件要求簡潔直觀、圖文并茂、人機(jī)交互，這樣既節(jié)省了課時(shí)，增大了信息量，又保證了教學(xué)質(zhì)量。

3.2 采用師生互動(dòng)式教學(xué)

每一章節(jié)學(xué)習(xí)完畢，要求學(xué)生完成一篇章節(jié)內(nèi)容的總結(jié)報(bào)告，對(duì)于總結(jié)較好，想法新穎的學(xué)生應(yīng)及時(shí)給以鼓勵(lì)，這一過程，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握程度，同時(shí)也鍛煉了他們的自學(xué)能力，特別是對(duì)于學(xué)習(xí)自覺性不是很高的學(xué)生有著很好的督促作用，提高了課堂教學(xué)的效率。

3.3 教學(xué)上注意抓好兩頭

首先是對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)開設(shè)學(xué)術(shù)討論班。開設(shè)了學(xué)生的學(xué)術(shù)研討班，以老師指導(dǎo)為主，學(xué)生與老師互動(dòng)，并開展大學(xué)科研立項(xiàng)，收效很好。其次是對(duì)后進(jìn)生，采取個(gè)別輔導(dǎo)和集中補(bǔ)習(xí)的方式，讓他們掌握這門課程的基本理論、基本技能和基本方法，及時(shí)趕上。這可作為教學(xué)方式的必要補(bǔ)充。

4 制定靈活的評(píng)價(jià)機(jī)制

評(píng)價(jià)機(jī)制是學(xué)習(xí)的向?qū)?，客觀的評(píng)價(jià)機(jī)制對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，挖掘?qū)W習(xí)潛能具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用。期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績的70%。在考核內(nèi)容上突出三點(diǎn)：一是對(duì)基本概念的掌握程度，以30分填空題（共15個(gè)空）來體現(xiàn)。這一部分覆蓋面很廣，有一定的深刻，要求學(xué)生切實(shí)理解基本概念。二是分析問題與解決問題的綜合能力，以20分至30分大題目來實(shí)現(xiàn)。一方面要考查學(xué)生數(shù)學(xué)的推演能力，另一方面要考查學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，建立模型，求解問題并解釋問題的能力。三是解方程的技巧。占40分至50分，主要考核學(xué)生求解方程的技巧和能力。平時(shí)成績占總成績的30%。這包括到課率（10%），上課紀(jì)律（5%），上課回答問題情況（5%），作業(yè)情況（10%）。多種考核方式的結(jié)合，可以激勵(lì)學(xué)生更加積極地參與課堂練習(xí)。

常微分方程教學(xué)模式的改革，增強(qiáng)了教師與學(xué)生的互動(dòng)交流，提高了教學(xué)效果，也突破固有的，單一的教學(xué)模式，把常微分方程的課堂教學(xué)內(nèi)容延伸到課外，更好的適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展需要。

［1］王高雄,周立銘,等.常微分方程[M].3 版.北京：高等教育出版社，2006.

［2］韓祥臨.數(shù)學(xué)史簡明教程[M].杭州：浙江教育出版社，2003.