外接球和內(nèi)切球半徑的求解策略

童其林

（龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué)，福建 龍巖 364100）

所謂多面體的外接球，是指這個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球的表面上；所謂多面體的內(nèi)切球，是指這個(gè)球和多面體的每個(gè)面都相切，即這個(gè)球和多面體的每個(gè)面有且只有一個(gè)公共點(diǎn).多面體的外接球和內(nèi)切球是立體幾何的重要內(nèi)容，也是一個(gè)熱點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容.解決此類問題，需要有較強(qiáng)的空間想象能力，需要找出球心，求出半徑，還需要一番推理論證，因而不少學(xué)生望而生畏，束手無策.本文先通過認(rèn)識幾種特殊多面體的外接球和內(nèi)切球的半徑的求法，再通過具體實(shí)例得到此類問題的求解策略，并形成教學(xué)啟示.

一、幾種特殊多面體的外接球和內(nèi)切球的半徑

如長方體的外接球，正方體的外接球和內(nèi)球球，正三棱柱的外接球，正三棱錐的外接球和內(nèi)切球，正四面體的外接球和內(nèi)切球等都是常見的模型.

1.長方體的外接球

圖1

2.正方體的外接球和內(nèi)球球

3.正三棱柱的外接球

設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,底面邊長為a,如圖2，D 和D1分別為上下底面的中心，則球心必落在高DD1的中點(diǎn)O 上，

圖2

4.對棱相等的三棱錐（等腰四面體）的外接球

對棱相等的三棱錐（等腰四面體）S-ABC 中，SA=BC=a,SC=AB=b,SB=AC=c,則三棱錐S-ABC外接球半徑R=

證明：構(gòu)造長方體（如圖3），則三棱錐的外接球就是長方體的外接球.設(shè)長方體的長寬高分別為x,y,z,外接球半徑為R，則

圖3

5.四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐的外接球

四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐P-ABC 中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=a,AB=b,BC=c,則三棱錐P-ABC外接球的半徑

證明：可構(gòu)造長方體（如圖4），則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，所以

圖4

6.正三棱錐的外接球和內(nèi)切球

證明：如圖5，設(shè)正三角形ABC 的中心為H，連接SH,AH,由正三棱錐知SH⊥平面ABC，設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，則球心O 在SH 上，連接OA,則

圖5

如圖6，設(shè)斜高PD=h′，三棱錐的高PH=h,則

圖6

7.正四面體的外接球和內(nèi)切球

令b=a，則可得正四面體外接球半徑R=，內(nèi)球球半徑

另證1：連接內(nèi)球球球心與各頂點(diǎn)，把三棱錐分成四個(gè)小三棱錐，由等體積法得

另證3：如圖7，將正四面體補(bǔ)形為正方體，正四面體棱長為a,則正方形邊長，所以

點(diǎn)評：多面體的內(nèi)切球方法一:做過棱及球心的截面，求多邊形的內(nèi)切圓半徑即為內(nèi)切球的半徑.方法二，等體積法:把球心和各頂點(diǎn)連接構(gòu)成以球心為頂點(diǎn)的n個(gè)小棱錐的體積和等于這個(gè)多面體的體積，小棱錐的高就是內(nèi)切球半徑.

圖7

8.三棱錐中有兩個(gè)面為共斜邊的直角三角形的外接球

三棱錐P-ABC中，設(shè) BA=a,BC=b，BA⊥BC，PA⊥PC,則其外接球半徑

證明：將三棱錐P-ABC 補(bǔ)形為長方體（如圖8），則三棱錐的外接球就是長方體的外接球的球心.

圖8

另證：因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹悬c(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)距離相等，所以AC 中點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，AC 長就是直徑，所以

9.三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐（墻角模型）的外接球

如圖9，三棱錐S-ABC 的三條側(cè)棱SA,SB,SC 兩兩垂直，且SA=a,SB=b,SC=c,則其外接球的半徑R=

圖9

二、外接球和內(nèi)切球半徑的求解策略

1.補(bǔ)形法求三棱錐球半徑

割補(bǔ)法是解決有關(guān)立體幾何問題的常用方法，如求體積，證明線線、線面、面面平行或垂直，當(dāng)然也是解決一些外接球和內(nèi)切球的有效方法.

例1 如圖10，在三棱錐D-ABC 中，DB⊥平面ABC,,求三棱錐DABC外接球半徑R.

解析：將三棱錐補(bǔ)形為直三棱柱ABC-FDE,則三棱錐的外接球就是直三棱柱外接球的球心（如圖11）.設(shè)△ABC，△DEF是外接球的球心分別為O1，O2,連接O1O2，則直三棱柱外接球的球心就是線段O1O2的中點(diǎn)O,連接OC,O1C.

圖10

在△ABC中，由正弦定理得=1,所以R2=

圖11

點(diǎn)評：也可以通過找三棱錐的球心得出半徑.

2.定義法求外接球半徑

定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，定義本身就是方法，而且是最本質(zhì)的方法.

例2 已知平面四邊形ABCD 中，AB=3，AD=4，BD=5，,BD⊥CD,如圖12 是平面四邊形ABCD 沿對角線BD 折成的四面體ABCD，且平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD 的頂點(diǎn)在同一球面上，求該球的半徑.

圖12

解析：因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AD.因?yàn)?BD=5，AD=4，所 以BC=6，AC=，又AB=3，所以BC2=AB2+AC2，所以BA⊥AC.

取BC 的中點(diǎn)F,則F 為直角△BDC和直角△BAC斜邊BC 的中點(diǎn)，所以，即F 到A,B,C,D 四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故F 為球心，半徑R=3.

點(diǎn)評：平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用為我們打開了一扇窗.

例3 三棱錐P ABC 中，PA⊥平面ABC 且PA＝4，△ABC 是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為______.

解析：如圖13，設(shè)D 為△ABC外接圓的圓心，則，過D 作DO⊥平面ABC,因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA 與OD 平行，取PA 中點(diǎn)E,過E 作EO 平行于DA,則O 為三棱錐P ABC 的球心，其半徑為,外接球的表面積為4πR2=20π.

圖13

點(diǎn)評：球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是我們思考的方向.

例4（2017 年福建省普通高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)題）在三棱錐S-ABC 中，△ABC邊長為3 的等邊三角形，，二面角S-AB-C 的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為.

解析：如圖14，因?yàn)镾A2+AB2=3+9=12=SB2，所以三角形SAB 是以SB 為斜邊的直角三角形，故斜邊中點(diǎn)P 為三角形SAB 外接圓的圓心.

取底面的外接圓的圓心為Q，連接CQ 交AB 于D，連接PD，則D 為AB 的中點(diǎn)，從而DC⊥AB，

又PD平行于SA,故PD⊥AB，從而角PDC 為二面角S-AB-C 的大小,且∠PDC=120°,

圖14

分別過P,Q 作垂直于平面SAB 與平面ABC 的垂線交于O，易知O 為該三棱錐外接球的球心，由PD=QD，可知PQ=OQ.

點(diǎn)評：三角形POQ 是等邊三角形.

點(diǎn)評：本題是一個(gè)較為綜合的問題，需要推理和運(yùn)算同時(shí)進(jìn)行，注意三角形POQ 是等邊三角形.

3.方程法求外接球或內(nèi)切球的半徑

方程的作用是什么？求值.在有關(guān)給出數(shù)值的幾何圖形中，建立方程或方程組可求出外接球或內(nèi)切球的半徑.

例5（福州市2020 屆高三理科數(shù)學(xué)5 月調(diào)研卷，理科16）已知三棱錐A-BCD的棱長均為6，其內(nèi)有n個(gè)小球，球O1與三棱錐A-BCD的四個(gè)面都相切，球O2與三棱錐A-BCD的三個(gè)面和球O1都相切，如此類推，…，球ON與三棱錐ABCD的三 個(gè) 面 和 球ON-1都相切（n≥2，且n∈N*），則球01的體積等于______，球On的表面積等于________.

解析：如圖15，AO是三棱 錐A-BCD的 高，O是△BCE的外心，因?yàn)槿忮FA-BCD的棱長均為6，則

圖15

顯然O1是三棱錐A-BCD的外接球和內(nèi)切球的球心，O1在AO上，設(shè)外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r1，則由O1B2=OO12+BO2得，所以，所以

過AO中點(diǎn)作與底面BCD平行的平面與三條棱AB，AC，AD交于 點(diǎn)B1，C1，D1，則平 面B1C1D1與 球O1相切，由題意球O2是三棱錐A-B1C1D1的內(nèi)切球，注意到三棱錐A-B1C1D1的棱長是三棱錐A-BCD棱長的所以有其內(nèi)切球半徑，同理，球On的半徑為rn，則{rn}是公比為的等比數(shù)列，所以rn=r1×，所以

點(diǎn)評：求解三棱錐A-BCD的內(nèi)切球體積，還可以用等體積法，解決第二問還需要較強(qiáng)的想象力和抽象概括能力.在一些看似困難，但容易建立空間直角坐標(biāo)系的問題中，坐標(biāo)法給了我們一條坦途.

比如，例1 也可以通過建立空間直角坐標(biāo)系來完成.

4.等體積法求內(nèi)切球的半徑

例6（2020 屆福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢查，理科12 題）三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC的投影為△ABC的內(nèi)心，三個(gè)側(cè)面的面積分別為12,16,20，且底面面積為24，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為

解析：如圖16，不妨設(shè)S△PBC=12，S△PAC=16，S△PAC=20,設(shè)P在底面ABC的投影為H，分別作HD⊥BC于點(diǎn)D，HE⊥AB于點(diǎn)E，HF⊥AC于 點(diǎn)F，則PD⊥BC.PE⊥AB,PF⊥AC,依題意，H為 △ABC的 內(nèi) 心，則Rt△PDH?Rt△PFH?Rt△PEH，故PD=PF=PE，

圖16

又

所 以S△PBC：S△PAC：S△PAB=BC：AC：AB=12：16：20=3：4：5，所以∠ACB=90°.

令BC=3x，AC=4x，AB=5x.

所 以，解得x=2，所以BC=6，AC=8，AB=10.

設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，則AB)r=S△ABC，即，解得r=2，故HD=2.

所 以，

設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為R，則

點(diǎn)評：本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，空間幾何體的側(cè)面積、體積等基本知識；考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、論證推理能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性.

5.尋求軸截面

軸截面有其獨(dú)特的性質(zhì)，利用軸截面的性質(zhì)又是求解外接球和內(nèi)切球的半徑的重要方法.

例7 正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為____.

分析：正四棱錐S-ABCD的軸截面過球心，利用這一性質(zhì)，可建立關(guān)于球半徑的方程，得出半徑R=1.

三、教學(xué)啟示

球的內(nèi)切和外接問題是人教版高中數(shù)學(xué)必修2 空間幾何體的內(nèi)容，后來在空間直角坐標(biāo)系中也涉及，直到每一年幾乎都有一道與簡單多面體或旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的外接球和內(nèi)切球問題，成為立體幾何考查的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn).而確定外接球和內(nèi)切球的球心和半徑是解決此類問題的關(guān)鍵，所以研究其球心和半徑的求解策略，及在教學(xué)中如何突破這一重點(diǎn)和難點(diǎn)就顯得很有意義.

1.在必修課程涉及的空間幾何體時(shí)就應(yīng)重視外接球和內(nèi)切球的教學(xué)

立體幾何的學(xué)習(xí)，是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程，其中的長方體的外接球是認(rèn)識多面體外接球的開始，后來逐步認(rèn)識正方體、正三棱錐、正四面體、正棱柱等特殊多面體的外接球和內(nèi)切球，直到旋轉(zhuǎn)體和不規(guī)則圖形的外接球和內(nèi)切球（假設(shè)外接球和內(nèi)切球存在），這個(gè)過程是由淺入深、循序漸進(jìn)的過程，是教學(xué)中應(yīng)遵循的原則.在這個(gè)過程中，一方面要認(rèn)識概念和定義，另一方面要進(jìn)行解題訓(xùn)練，提高學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).體會(huì)立體幾何的“直觀感知，操作確認(rèn)，思辨論證，度量計(jì)算”的過程.

需要注意的是，教材中這部分內(nèi)容的練習(xí)不多，要加大這個(gè)練習(xí)力度，出好校本作業(yè)，讓學(xué)生早點(diǎn)經(jīng)歷和體驗(yàn)外接球和內(nèi)切球的內(nèi)容.

2.在高三復(fù)習(xí)時(shí)要專題講授和訓(xùn)練

這一階段主要是對前期學(xué)習(xí)的一個(gè)總結(jié)和升華，揭示簡單多面體和旋轉(zhuǎn)體的的外接球和內(nèi)切球球心位置和半徑的特征，提高解決綜合問題的能力.教學(xué)中，應(yīng)通過一題多解，多題一解等方法提高學(xué)生運(yùn)用知識的能力.

空間想象能力，是數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力之一，實(shí)現(xiàn)的載體是立體幾何內(nèi)容，而球的問題充滿了想象、推理、論證和計(jì)算，可以通過歷年高考題中涉及到簡單多面體和旋轉(zhuǎn)體的的外接球和內(nèi)切球的問題進(jìn)行專題講授，獲得相應(yīng)的體驗(yàn).

例8（2020 屆福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢查，文科12 題）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為

A.8:3 B.6:1 C.3:1 D.2:1

解法一：如圖17，設(shè)圓錐底面半徑為R，高為h.

由△apf∽△ace可得

因?yàn)閔-2 > 0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即h=4 時(shí)取等號，

所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為2：1，故選D.

圖17

所以f(h)在(2，4)上單調(diào)遞減,在(4，+∞) 上單調(diào)遞增,所以f(h)min=f(4)=8，

即h=4 時(shí),該圓錐體積最小,最小值為又其內(nèi)切球體積為

所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為2：1，故選D.

點(diǎn)評：本文的例題主要是多面體外接球和內(nèi)切球問題，其實(shí)旋轉(zhuǎn)體的外接球和內(nèi)切球問題也是重要的內(nèi)容.