淺談兩相交平面交線的求法

付娜

摘 要 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，往往會(huì)遇到求一個(gè)截面截幾何體所成的圖形；有時(shí)也會(huì)遇到用幾何法解決無(wú)棱二面角的題目。在解決這類題目時(shí)必須要先求解平面的交線，才能解決相關(guān)的問(wèn)題。針對(duì)交線的求法，本文給出了三個(gè)方法。

關(guān)鍵詞 交線；求法；平面交線

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，往往會(huì)遇到求一個(gè)截面截幾何體所成的圖形；有時(shí)也會(huì)遇到用幾何法解決無(wú)棱二面角的題目。在解決這類題目時(shí)必須要先求解平面的交線，才能解決相關(guān)的問(wèn)題。下面就談?wù)剝上嘟黄矫娼痪€的求法。

例1：如圖1，E、F是CC1、BB1上任意點(diǎn)，且EF與棱BC不平行。求平面ABC與平面AFE的交線。

分析：由公理1：兩點(diǎn)確定一條直線可得，只需確定兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可。由圖平面ABC與平面AFE有一個(gè)公共點(diǎn) A，另一個(gè)公共點(diǎn)可由兩平面的相交直線EF、BC確定。延長(zhǎng)EF、BC使其交于G點(diǎn)，則直線 為兩平面的交線（如圖2）。

例1中，存在兩條相交直線，且其交點(diǎn)異于兩平面已知交點(diǎn)。如果據(jù)圖中不能直接找到交點(diǎn)異于已知點(diǎn)的兩相交直線，又如何求平面的交線呢？

例2：如圖3，E、F是D1C1、B1B上任意點(diǎn)，求平面ABC與平面AFE的交線。

分析：由于兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，再找一個(gè)公共點(diǎn)即可確定交線。另一交點(diǎn)的求法如下：

在平面AFE中，找一條線段，且此線段是平面ABC的斜線段，如圖EF是平面ABC的斜線段。過(guò)線段端點(diǎn)作平面ABC的垂線段，分別為EG、FB。由于EG∥FB且EG≠FB，所以EGBD=F為梯形，EF、GB恰為兩腰，所以必交于一點(diǎn)H，此時(shí) 即為兩平面另一公共點(diǎn)，連接AH，即得交線為AH（圖4）。此法過(guò)程即是：選斜線段，過(guò)端點(diǎn)作垂線段。

如果兩平面沒(méi)有異于已知公共點(diǎn)的相交直線，且一平面有平行另一平面的直線，除了用例2的方法，又如何作兩平面的交線呢？

例3：如圖5，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD。求平面PAB與平面PCD的交線。

分析：線面平行的性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。由此可得：CD∥平面PAB，則CD∥平面PAB與平面PCD的交線。在平面 內(nèi)，過(guò)兩平面的公共點(diǎn)P作直線PE∥CD，則PE即為兩平面的交線（圖6）。）

例4：求交線的方法，利用了線面平行的性質(zhì)定理。當(dāng)一個(gè)平面內(nèi)存在一條直線平行另一個(gè)平面時(shí)，可選用例3的方法求解交線。

本文給出了相交平面交線的三種求法，其中第2個(gè)例子所介紹的方法在任何時(shí)候都可以采用。當(dāng)兩個(gè)相交平面存在相交直線時(shí)，可采用例1方法求交線；當(dāng)一個(gè)平面內(nèi)存在一條直線平行另一個(gè)平面時(shí)，可選用例3的方法求解交線。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬波.讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）立體幾何部分.數(shù)學(xué)通報(bào)[J].2004，3：9-10

[2]王尚志，張思明.高中數(shù)學(xué)課程中的幾何.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].2007，11：3

作者簡(jiǎn)介：付 娜，女，四川省眉山中學(xué)校教師。