論齊民友的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教育觀

鄭隆炘，巴 英

?

論齊民友的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教育觀

鄭隆炘，巴 英

（江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北武漢 430056）

齊民友是著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．他對(duì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的一些重要問(wèn)題，都發(fā)表過(guò)深刻而獨(dú)到的論述．在研究這些論述的基礎(chǔ)上，總結(jié)概括出他“科學(xué)、有哲理、強(qiáng)調(diào)理性精神”的數(shù)學(xué)觀，以及“強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，重視創(chuàng)造，突出對(duì)探索精神培養(yǎng)”的數(shù)學(xué)教育觀．

齊民友；數(shù)學(xué)觀；數(shù)學(xué)教育觀；理性精神

齊民友（1930—）是中國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，曾任國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)數(shù)學(xué)組成員，中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)，湖北省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)，武漢大學(xué)校長(zhǎng)，湖北省科協(xié)副主席．齊民友在偏微分方程領(lǐng)域，特別在“偏微分方程算子理論”、“Fuchs型和奇性偏微分方程”等方面取得了一系列重要的研究成果，曾榮獲國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)．他長(zhǎng)期擔(dān)任大學(xué)本科與研究生的教學(xué)任務(wù)，為國(guó)家培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才．他出版了二十多種數(shù)學(xué)專著、譯著、教材，發(fā)表了許多優(yōu)秀的學(xué)術(shù)論文，為數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)教育作出了重要貢獻(xiàn)．他在各類數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議上作學(xué)術(shù)報(bào)告，經(jīng)常發(fā)表許多深刻而精辟的見(jiàn)解．他還參與中學(xué)教師的培訓(xùn)，主持高中新教材的編寫，給大學(xué)生開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)或科學(xué)知識(shí)講座．他對(duì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的許多問(wèn)題都做過(guò)深層次的思考，形成自己獨(dú)特的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教育觀．對(duì)于這些，目前研究得甚少．這里試從若干側(cè)面進(jìn)行初步探索，論述齊民友的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教育觀．

1 科學(xué) 有哲理 強(qiáng)調(diào)理性精神的數(shù)學(xué)觀

數(shù)學(xué)觀是對(duì)數(shù)學(xué)整體的看法，是對(duì)數(shù)學(xué)的特征、地位與作用、研究對(duì)象、發(fā)展動(dòng)力與規(guī)律、與實(shí)踐的關(guān)系等問(wèn)題的深層次的思考，屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的范疇．?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)工作者、數(shù)學(xué)教育工作者在這些數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題上都會(huì)自覺(jué)或不自覺(jué)作出一定的回答．齊民友在他的論文、著作、演講中，對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)中的這些關(guān)鍵問(wèn)題都作過(guò)深刻的研究，闡述了他“科學(xué)、有哲理、強(qiáng)調(diào)理性精神”的數(shù)學(xué)觀．

1.1 數(shù)學(xué)根本的特征是它表達(dá)了一種理性精神

齊民友在《數(shù)學(xué)與文化》一書的緒言中論述了數(shù)學(xué)學(xué)科的3個(gè)特征：首先，它是一種完全確定、完全可靠的知識(shí)，就其影響人類文化講，它的邏輯方法是最突出的；其次，它不斷追求最簡(jiǎn)單、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本；第三，它不僅研究宇宙的規(guī)律，也研究它自己，它對(duì)自己的概念、方法、成果總是不斷地進(jìn)行反思，在理性思維中使問(wèn)題得到改變．齊民友在此基礎(chǔ)上指出，數(shù)學(xué)是人類理性發(fā)展最高的成就，“數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達(dá)了一種探索精神．”他認(rèn)為，數(shù)學(xué)把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致，它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標(biāo)準(zhǔn)，給人類的思想解放打開(kāi)了道路．

齊民友從精神與探索的角度論述數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，使人們對(duì)經(jīng)典的數(shù)學(xué)特征論述的“高度的抽象性，嚴(yán)密的邏輯性，應(yīng)用的廣泛性”的理解加深，其思路得到進(jìn)一步拓展．經(jīng)典的數(shù)學(xué)特征論述雖然是必要的，但只有從多角度、多方面進(jìn)行深刻的探索，并適當(dāng)?shù)赝卣褂懻?，才能顯示出數(shù)學(xué)本質(zhì)的力量．這項(xiàng)工作是非常重要且必不可少的．實(shí)際上，齊民友論述的3個(gè)特征，更加強(qiáng)調(diào)與突出了數(shù)學(xué)抽象性與理性精神的地位，以及不斷對(duì)自己的概念、方法、成果進(jìn)行反思的作用．

齊民友還特別指出：我在《數(shù)學(xué)與文化》這本書里提到的理性精神都不是中國(guó)固有的，中國(guó)需要這種對(duì)我們頗為陌生的文化，即以理性思維為主要內(nèi)容的文化，這是以一整套數(shù)學(xué)為重要內(nèi)容的文化，它起的作用比孔夫子影響大得多．他提出表達(dá)一種探索的理性精神是數(shù)學(xué)最根本的特征，是西方數(shù)學(xué)長(zhǎng)期形成的本質(zhì)特征，是中國(guó)過(guò)去在文化與數(shù)學(xué)發(fā)展史中所不足的，今后在文化與數(shù)學(xué)發(fā)展中應(yīng)該予以高度重視．這是非常有創(chuàng)見(jiàn)的觀點(diǎn)，也抓到數(shù)學(xué)特征的根本，在過(guò)去很少有人有這樣深刻闡述過(guò)．齊民友對(duì)西方近代數(shù)學(xué)的理性思維的高度評(píng)價(jià)與肯定，對(duì)于廣大研究者研究數(shù)學(xué)文化、以至整個(gè)文化的發(fā)展，有著前瞻性的重要意義．

關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科抽象性與邏輯推理，以及理性精神在數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心地位，齊民友在很多著述中都進(jìn)行過(guò)深刻的論述．齊民友認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是探求一種規(guī)律性，這種規(guī)律通常都是極為抽象的．“數(shù)學(xué)是一個(gè)有嚴(yán)格結(jié)構(gòu)的整體，其特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)邏輯推理．?dāng)?shù)學(xué)又是具有高度抽象的科學(xué)，其特點(diǎn)是脫離具體的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，脫離具體的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式．”齊民友指出：“數(shù)學(xué)要為經(jīng)濟(jì)發(fā)展的要求服務(wù)、為技術(shù)服務(wù)之外，還有更深刻的任務(wù)，即探討宇宙的規(guī)律．正因?yàn)樗强茖W(xué)，所以它又能更好地適應(yīng)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的要求．”把探討宇宙的規(guī)律的科學(xué)的理性精神，作為數(shù)學(xué)的最重要的本質(zhì)特征，正是齊民友數(shù)學(xué)觀的核心內(nèi)容之一．

1.2 沒(méi)有現(xiàn)代的數(shù)學(xué)就不會(huì)有現(xiàn)代的文化 沒(méi)有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的

關(guān)于數(shù)學(xué)在文化中的地位與作用，齊民友在分析了數(shù)學(xué)史上事例的基礎(chǔ)上，提出嶄新的重量級(jí)觀點(diǎn)．他深刻地指出：“歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒(méi)有發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的．”“沒(méi)有現(xiàn)代的數(shù)學(xué)就不會(huì)有現(xiàn)代的文化，沒(méi)有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的．”現(xiàn)在，這兩句話已經(jīng)成為經(jīng)典名言，常被許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)工作者、數(shù)學(xué)教育工作者引用．齊民友是怎么提出這個(gè)論點(diǎn)的？依據(jù)是什么？應(yīng)該如何理解？結(jié)合齊民友的著作、講話，可以從以下幾方面進(jìn)行闡述．

第一，從歷史上看，數(shù)學(xué)大大促進(jìn)了人類思想的解放，提高與豐富了人的精神水平．?dāng)?shù)學(xué)促進(jìn)人類思想解放有兩個(gè)階段，第一階段從數(shù)學(xué)開(kāi)始成為一門科學(xué)到18世紀(jì)中葉，在這個(gè)時(shí)期中，數(shù)學(xué)幫助人類從宗教和迷信的束縛下解放出來(lái)，從物質(zhì)上、精神上進(jìn)入了現(xiàn)代世界．第二階段從18世紀(jì)末至近代，這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)最突出的事件是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)與關(guān)于無(wú)限的研究，這些成果后來(lái)成為相對(duì)論與量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這是人類思想的一個(gè)大的解放，提高與豐富了人的精神水平．每一次新的劃時(shí)代的創(chuàng)造成果與新的重要數(shù)學(xué)分支的出現(xiàn)，都大大地促進(jìn)了人類思想的解放，提高與豐富了人的精神水平．

第二，從自身的特征看，數(shù)學(xué)把理性思維發(fā)揮得淋漓盡致，提供了認(rèn)識(shí)世界的最有力的工具．?dāng)?shù)學(xué)是向兩個(gè)方向生長(zhǎng)的，一個(gè)研究宇宙規(guī)律，另一個(gè)研究自己．探索宇宙，也研究自己——所達(dá)到的理性思維的深度，從邏輯性與理性思維的角度講，是任何其它科學(xué)所不及的．?dāng)?shù)學(xué)提供了一種思維的方法與模式，不僅僅是認(rèn)識(shí)世界的工具，而實(shí)際上成為一種思維合理性的重要標(biāo)準(zhǔn)，成為一種理念、一種精神．可以這么說(shuō)，近代數(shù)學(xué)是邏輯的科學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)這種語(yǔ)言與人類的語(yǔ)言已經(jīng)成為人類認(rèn)識(shí)與改造世界的兩大重要武器，相互補(bǔ)充，相互促進(jìn)．

第三，從和科學(xué)技術(shù)與文化的關(guān)系看，數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)之一，成為文化的一個(gè)重要組成部分．齊民友在《數(shù)學(xué)與文化》一書中用數(shù)學(xué)史的事實(shí)反復(fù)闡述了數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)與文化的關(guān)系．他列舉了非歐幾何與相對(duì)論、量子力學(xué)的關(guān)系之后，又分析了布爾代數(shù)、哥德?tīng)柖ɡ?、?shù)學(xué)基礎(chǔ)與電子計(jì)算機(jī)的關(guān)系，深刻指出，數(shù)學(xué)是人類全部技術(shù)的最重要的基礎(chǔ)．他在湖北省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)1999年年會(huì)上作的報(bào)告《關(guān)于發(fā)展數(shù)學(xué)科學(xué)的一點(diǎn)看法》中，論述了新的世紀(jì)數(shù)學(xué)將起著重要的作用，指出數(shù)學(xué)很早就不限于應(yīng)用到物理學(xué)、力學(xué)、傳統(tǒng)的工業(yè)技術(shù)，不僅應(yīng)用到生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，而且還應(yīng)用到許多新的分支．科學(xué)新的、綜合的“粘合劑”正是數(shù)學(xué)．不但運(yùn)籌帷幄要用數(shù)學(xué)，決勝千里也要用數(shù)學(xué)，生意的組織管理，股市行情都少不了數(shù)學(xué)．需要數(shù)學(xué)的人越來(lái)越多，需要數(shù)學(xué)的程度也越來(lái)越深，數(shù)學(xué)已經(jīng)成了綜合國(guó)力的重要因素，也成了在新時(shí)代里有無(wú)文化的重要標(biāo)志．

1.3 數(shù)學(xué)的對(duì)象從人類的直接經(jīng)驗(yàn)向“人類悟性的自由創(chuàng)造物”的轉(zhuǎn)化以及數(shù)學(xué)發(fā)展的“竹子哲學(xué)”

齊民友在給朱永銀等寫的《組合積分法》一書的序中指出，數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了由實(shí)踐到理論、再指導(dǎo)實(shí)踐的過(guò)程．這是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象開(kāi)始的總看法．在分析與論述19世紀(jì)到當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展的歷史時(shí)，齊民友指出，非歐幾何的出現(xiàn)是一個(gè)標(biāo)志，到這個(gè)時(shí)期，人們才真正依靠自己的理性突破自己直接經(jīng)驗(yàn)的束縛提出完全創(chuàng)新的理論和概念．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象在開(kāi)始都是些非常具體的東西，但隨著生產(chǎn)與社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)研究的深入，各種抽象的對(duì)象也進(jìn)入了數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，如虛數(shù)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、四元數(shù)、矩陣、高維幾何空間等，這些都是人們“完全自覺(jué)應(yīng)用自己的抽象能力創(chuàng)造出種種新的數(shù)學(xué)對(duì)象”．因此，關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)象的歷史演進(jìn)，他認(rèn)為是“數(shù)學(xué)的對(duì)象從人類的直接經(jīng)驗(yàn)向‘人類悟性的自由創(chuàng)造物’的轉(zhuǎn)化”．

齊民友在《數(shù)學(xué)與文化》第二章第§4節(jié)數(shù)學(xué)——人類悟性的自由創(chuàng)造物？中，引用了恩格斯在《反杜林論》一書關(guān)于數(shù)學(xué)來(lái)源的一段話，并加以說(shuō)明與闡述．他認(rèn)為這中間最了不起的成就是數(shù)學(xué)的抽象能力，這也是數(shù)學(xué)對(duì)人類的重大貢獻(xiàn)．齊民友指出，恩格斯說(shuō)的“悟性的自由創(chuàng)造物”虛數(shù)，其實(shí)對(duì)于現(xiàn)在的高中生也沒(méi)有什么神秘了．現(xiàn)在幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)家都會(huì)提出某種“悟性的創(chuàng)造物”作為自己的研究對(duì)象，設(shè)計(jì)一套公理系統(tǒng)，推出種種結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象的這種轉(zhuǎn)化與演進(jìn)，既反映了人類理性思維的深度，又反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的必然，同時(shí)，在更高層次、更廣的范圍、更新的前景上反映了自然界與社會(huì)數(shù)學(xué)范疇與形態(tài)方面的內(nèi)在規(guī)律．

齊民友在多次作報(bào)告中，把數(shù)學(xué)發(fā)展用“竹子哲學(xué)”來(lái)比喻，數(shù)學(xué)好比竹子，它的根生在實(shí)踐的土壤之中，然后一節(jié)一節(jié)地獨(dú)立生長(zhǎng)，長(zhǎng)到一定的時(shí)候，會(huì)爆出新筍，產(chǎn)生出新的分支；長(zhǎng)成熟了，它會(huì)開(kāi)花結(jié)子，種子又重回大地，發(fā)展為全新的數(shù)學(xué)．這種比喻非常貼切、深刻，首先，數(shù)學(xué)來(lái)源于直接經(jīng)驗(yàn)，或者說(shuō)數(shù)學(xué)之根來(lái)源于自然界，但是，它在“一節(jié)一節(jié)地獨(dú)立生長(zhǎng)”時(shí)，暫時(shí)又脫離了“直接經(jīng)驗(yàn)”，獨(dú)立地開(kāi)展理性思維，“惟有數(shù)學(xué)，時(shí)常是在理性思維感到有了問(wèn)題時(shí)就要變”，這種變就是數(shù)學(xué)內(nèi)部理論的矛盾運(yùn)動(dòng)，是理性思維與探索精神，并由此發(fā)展成為新數(shù)學(xué)分支的動(dòng)力之一，新分支發(fā)展、成熟了，它又與其它學(xué)科知識(shí)結(jié)合，產(chǎn)生更新的數(shù)學(xué)分支．

齊民友在《數(shù)學(xué)與文化》中對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展還提出“參天大樹(shù)理論”．他闡述道：“總之，數(shù)學(xué)是一株參天大樹(shù)，它向天空伸出自己的樹(shù)葉，吸收陽(yáng)光．它不斷擴(kuò)展自己的領(lǐng)域，在它的樹(shù)干上有越來(lái)越多的鳥巢，它為越來(lái)越多的學(xué)科提供支持，也從越來(lái)越多的學(xué)科中吸取營(yíng)養(yǎng)．它又把自己的根伸向越來(lái)越深的理性思維的土地中，使它越來(lái)越牢固地站立．”研究者理解的是，“參天大樹(shù)”是數(shù)學(xué)，“陽(yáng)光”是實(shí)踐與理論，“鳥巢”是新的數(shù)學(xué)分支，“學(xué)科”是數(shù)學(xué)中的分支與其它自然科學(xué)、人文社會(huì)科學(xué)等，“土地”不再僅僅是實(shí)踐，主要指的是理性思維．這種強(qiáng)調(diào)理性思維的土地也是數(shù)學(xué)發(fā)展的來(lái)源之一，是符合數(shù)學(xué)發(fā)展歷史事實(shí)的，也反映了數(shù)學(xué)區(qū)別于物理、化學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)而獨(dú)有的特點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展往往要依靠?jī)?nèi)部理論的矛盾運(yùn)動(dòng)，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理，探討出數(shù)學(xué)形態(tài)的抽象規(guī)律，這決不是“自由編造”的或“隨意杜撰”的，而是會(huì)更深刻地揭示宇宙的規(guī)律．

1.4 直覺(jué)是數(shù)學(xué)思想的來(lái)源之一 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)與精華

齊民友對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)與數(shù)學(xué)思想、方法在數(shù)學(xué)中的作用是充分肯定的，并有許多精彩的分析與闡釋．

齊民友在《重溫微積分》中指出：“從數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究來(lái)看，我們還只能說(shuō)，這么多世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展證明了人們的直覺(jué)還是可靠的，需要的只是深入分析．直覺(jué)仍是數(shù)學(xué)的思想與理論的來(lái)源之一．”齊民友關(guān)于“直覺(jué)是數(shù)學(xué)的思想的來(lái)源之一”的論點(diǎn)，是建立在嚴(yán)格剖析數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律基礎(chǔ)上的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展需要兩個(gè)方面的工作，一個(gè)是嚴(yán)格的邏輯推理，另一個(gè)是幾何直覺(jué)，兩者缺一不可，且相互依存、相互補(bǔ)充與相互促進(jìn)．

齊民友翻譯了美國(guó)數(shù)學(xué)家尼達(dá)姆（Tristan Needhamam）著的《復(fù)分析：可視化方法》一書，他在譯后記中對(duì)直覺(jué)、數(shù)學(xué)思想、方法等的地位與作用分析得很透，后來(lái)，在作了適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充之后，以《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課是通向數(shù)學(xué)主流的門戶》為題發(fā)表在《高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2009年第1期上．齊民友在此文中介紹了著名數(shù)學(xué)家F·克萊因提出的數(shù)學(xué)的發(fā)展和教學(xué)有3個(gè)進(jìn)程，即進(jìn)程A、進(jìn)程B和進(jìn)程C．“進(jìn)程A的特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)概念的明確性，邏輯上的無(wú)懈可擊，方法的單純性，逐步演繹，環(huán)環(huán)相扣，絕無(wú)不必要的引伸，總之，使數(shù)學(xué)成為嚴(yán)格的體系．其陳述方式則是：定義、定理、證明、推論，等等，每句話，每個(gè)式子都要有根據(jù)．進(jìn)程B，這是克萊因特別推崇的進(jìn)程，則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的生成和發(fā)展，強(qiáng)調(diào)各個(gè)分支的相互聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)邏輯推理后面的直覺(jué)和物理內(nèi)涵．其陳述方式則主張夾敘夾議，娓娓道來(lái)，生動(dòng)活潑，發(fā)人深省．”齊民友肯定了這種進(jìn)程的區(qū)分與探析，并作了深入的論述，他認(rèn)為F·克萊因揭示的進(jìn)程A與進(jìn)程B相互切磋，相互補(bǔ)充的同時(shí)，突出了進(jìn)程B的作用．而尼達(dá)姆從幾何與物理角度審視問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)了幾何直覺(jué)的一面，把“洞察力”放在嚴(yán)格性之前，使復(fù)分析理論與方法適合于可視化．齊民友指出：“必須從數(shù)學(xué)問(wèn)題的直覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)的側(cè)面去‘體會(huì)’數(shù)學(xué)，才能有真正的掌握，才能‘悟’出真諦．”這個(gè)觀點(diǎn)與他多次強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格的邏輯推理與幾何直覺(jué)是推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的兩個(gè)不可缺少的方面的論述是一致的．

齊民友在對(duì)譯后記的補(bǔ)充中專門介紹了進(jìn)程C．關(guān)于進(jìn)程C，涉及到一種叫算法的方法，它與進(jìn)程A，B或平行發(fā)展，或含于其中．“數(shù)學(xué)既然從形式上看是對(duì)符號(hào)進(jìn)行的各種操作，則可以設(shè)想，符號(hào)本身有著其內(nèi)在規(guī)律，也就是上面說(shuō)的算法．研究這種規(guī)律與算法，自然是數(shù)學(xué)不可推卸的責(zé)任．”“克萊因的進(jìn)程C的說(shuō)法，至少會(huì)使我們感受到數(shù)學(xué)的思想、方法、技巧是何等豐富多彩，使我們的眼界放得更開(kāi)些．”盡管前人在數(shù)學(xué)的思想，方法方面探討不多，但其地位、作用卻是非常大的，齊民友在這里認(rèn)為那些“最為基礎(chǔ)，影響又最為深遠(yuǎn)的思想、方法，等等，可以說(shuō)是其精華．”這是個(gè)重要的結(jié)論，而且這個(gè)結(jié)論是他翻譯尼達(dá)姆65萬(wàn)字的著作，以及雄視現(xiàn)代數(shù)學(xué)的全局與總結(jié)自己教學(xué)科研經(jīng)歷基礎(chǔ)上提出來(lái)的，這使研究者感到非常親切．作為數(shù)學(xué)家，他提出來(lái)的這個(gè)結(jié)論非常有力，數(shù)學(xué)思想與方法的確是數(shù)學(xué)的精華與最重要的基礎(chǔ)．

齊民友在他翻譯的《數(shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展（第一卷）》（F·克萊因著）中譯本序中對(duì)數(shù)學(xué)思想的范疇作了更廣泛的理解，他認(rèn)為：“真正重要的是要有思想，越深刻越好．克萊因這部書的一個(gè)特點(diǎn)是有突出的思想性，不僅他本人富有真知灼見(jiàn)，他對(duì)其他人的評(píng)論也是從思想角度出發(fā)，而且不止是評(píng)論個(gè)人的思想，還包括對(duì)一個(gè)時(shí)代的風(fēng)格的評(píng)論，使您感到他評(píng)論的就是今天的事．”這里說(shuō)的數(shù)學(xué)思想不僅是指數(shù)學(xué)知識(shí)本身概括總結(jié)出來(lái)的精華，就是通常所說(shuō)的“知識(shí)的知識(shí)”，更指是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)整體的思想性，是他們寫的書表達(dá)的思想性與時(shí)代氣息，是數(shù)學(xué)家群體或?qū)W派的哲學(xué)思想與研究風(fēng)格．這些，當(dāng)然是數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)與精華．

2 強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ) 重視創(chuàng)造 突出對(duì)探索精神培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育觀

數(shù)學(xué)教育觀是對(duì)數(shù)學(xué)教育整體的看法，是對(duì)數(shù)學(xué)教育的目的、地位、數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律與法則、數(shù)學(xué)教學(xué)方法、書本知識(shí)與實(shí)踐的關(guān)系等問(wèn)題的深層次的思考，屬于數(shù)學(xué)教育哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)的范疇．齊民友的數(shù)學(xué)教育觀可以用“強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，重視創(chuàng)造，突出對(duì)探索精神的培養(yǎng)”作出概括．

2.1 數(shù)學(xué)教育的目的有3個(gè)層次 特別突出了對(duì)探索精神的培養(yǎng)

齊民友提出數(shù)學(xué)教育的目的有3個(gè)層次：第一層次，是提供作為一個(gè)公民，想要參加任何一個(gè)行業(yè)工作必備的數(shù)學(xué)知識(shí)，即是作為當(dāng)代人生活在社會(huì)中的必備數(shù)學(xué)訓(xùn)練；第二層次，是為了適應(yīng)經(jīng)濟(jì)文化和科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)作為進(jìn)一步掌握某種知識(shí)的工具，其中包括升入高一級(jí)學(xué)校的準(zhǔn)備；第三層次，數(shù)學(xué)作為一種文化，把數(shù)學(xué)教育作為提高人民文化素質(zhì)的手段，數(shù)學(xué)在人們品質(zhì)的形成上其作用是不可替代的（包括精神、思想、方法的培養(yǎng)），特別是在培養(yǎng)追求真理、熱愛(ài)科學(xué)、為崇高理想獻(xiàn)身的精神上的作用是巨大的．

齊民友的這些論述是非常深刻和全面的．他認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的目的，既包括知識(shí)層面的要求，又包括提高人的綜合素質(zhì)上的要求，既有獲得作為一個(gè)當(dāng)代社會(huì)的人所應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)知識(shí)，又包括追求真理、熱愛(ài)科學(xué)的精神的培養(yǎng)．特別是后者，是他反復(fù)強(qiáng)調(diào)應(yīng)該重視的．他在《美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的一點(diǎn)聯(lián)想》一文中對(duì)這一點(diǎn)闡述得更詳細(xì)，在分析了美國(guó)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化改革中，關(guān)于“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)的爭(zhēng)論的歷史后，聯(lián)系中國(guó)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際，他指出：“美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革很注意使之與科技經(jīng)濟(jì)的進(jìn)步相聯(lián)系，并使之對(duì)社會(huì)進(jìn)步有推動(dòng)作用，這一點(diǎn)很值得我們學(xué)習(xí)．但另一方面，爭(zhēng)論的雙方對(duì)于數(shù)學(xué)在人的素質(zhì)的提高上都講得很少．這自然與教育思想的根本著眼點(diǎn)有關(guān)．美國(guó)教育一向強(qiáng)調(diào)‘實(shí)用’，使學(xué)生能在未來(lái)得到一個(gè)好的工作，并且勝任工作．中國(guó)教育方針則出發(fā)點(diǎn)在人，在培養(yǎng)合格的社會(huì)主義現(xiàn)代化的建設(shè)者和接班人，因此必須認(rèn)真探討數(shù)學(xué)在形成青少年的素質(zhì)上的作用．首先是通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生自己的創(chuàng)造活動(dòng)培養(yǎng)熱愛(ài)科學(xué)，追求真理的精神．”“數(shù)學(xué)教育在形成人的素質(zhì)上一個(gè)不可代替的作用是科學(xué)方法的培養(yǎng)．這是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)不可代替的功能．”這里，他突出了數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)熱愛(ài)科學(xué)，追求真理的精神和科學(xué)方法涵養(yǎng)的功能．

從齊民友關(guān)于數(shù)學(xué)教育的目的的論述中，就可以看出他倡導(dǎo)的“強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)、重視創(chuàng)造、突出對(duì)精神的培養(yǎng)”的數(shù)學(xué)教育觀．必備的數(shù)學(xué)知識(shí)與必備訓(xùn)練指的就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本訓(xùn)練，是基礎(chǔ)性的，必須反復(fù)強(qiáng)調(diào)；重視創(chuàng)造與培養(yǎng)精神，則是在教師的教學(xué)活動(dòng)與學(xué)生自己從事創(chuàng)造的實(shí)踐中才能實(shí)現(xiàn)的．

2.2 要轉(zhuǎn)變觀念 認(rèn)為基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)教學(xué)方法“3個(gè)方面必須兼顧”

齊民友在多本著作中，有一個(gè)一直堅(jiān)持的論點(diǎn)：深化數(shù)學(xué)教育改革就要轉(zhuǎn)變觀念，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)方法“3個(gè)方面必須兼顧”．

他在《世紀(jì)之交話數(shù)學(xué)》一書中用了整整一章，即第九章“根本在于教育”論述了數(shù)學(xué)教育問(wèn)題，這中間用了較大篇幅談“轉(zhuǎn)變觀念”．他看到數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)行題海戰(zhàn)術(shù)，偏題難題如潮水洶涌，各種補(bǔ)習(xí)班，各種家教，名目繁多，層出不窮，青少年的身心健康受到嚴(yán)重的傷害，很為痛心．認(rèn)為改變這種現(xiàn)狀，首先必須轉(zhuǎn)變觀念．齊民友指出：“我們的教育的根本出發(fā)點(diǎn)與歸宿就是人，就是提高人的素質(zhì)．所以，我們的教育只能是素質(zhì)教育．”“確實(shí)要轉(zhuǎn)變不利于社會(huì)發(fā)展，不利于青少年成長(zhǎng)的教育觀念．”如數(shù)學(xué)教育是面向所有的學(xué)生，而不是為了少數(shù)人；數(shù)學(xué)教育不能推向市場(chǎng)，而要按自己發(fā)展與學(xué)生認(rèn)識(shí)的規(guī)律辦事；數(shù)學(xué)是科學(xué)的工具，同時(shí)也是一種文化，是提高人的素質(zhì)的重要手段；應(yīng)該處理好初、高中數(shù)學(xué)升學(xué)復(fù)習(xí)與深化數(shù)學(xué)教育改革的關(guān)系等等．要花極大的力量轉(zhuǎn)變舊的觀念，逐步樹(shù)立素質(zhì)教育的新觀念．

關(guān)于基礎(chǔ)教育教學(xué)方法的研究，齊民友認(rèn)為“3個(gè)方面必須兼顧”．第一，必須同時(shí)兼顧基礎(chǔ)訓(xùn)練與學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律．應(yīng)該理直氣壯地同時(shí)又是合情合理地強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)訓(xùn)練．?dāng)?shù)學(xué)中最基本的東西，該記的就要記，該背的就要背．沒(méi)有這個(gè)基礎(chǔ)，一切數(shù)學(xué)教育都根本無(wú)從談起．這中間真正要注意的是，一個(gè)要符合青少年的年齡特征，符合中國(guó)社會(huì)文化的情況；另一個(gè)是不能停留在這一步．第二，必須同時(shí)兼顧已經(jīng)完成了的數(shù)學(xué)與正在創(chuàng)造中的數(shù)學(xué)的不同特征與要求．?dāng)?shù)學(xué)雖然有著嚴(yán)格的邏輯結(jié)構(gòu)體系，但這是指完成了的數(shù)學(xué)，而正在創(chuàng)造之中的數(shù)學(xué)并不是這樣．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該實(shí)行啟發(fā)式，常常由特殊到一般，進(jìn)行必要的歸納與類比，對(duì)可能的結(jié)果作初步猜測(cè)，而且不斷尋找并改正錯(cuò)誤，可對(duì)已有的結(jié)果作由此及彼、由表及里的討論與改進(jìn)，通過(guò)聯(lián)想進(jìn)行比較、推廣等．“這種教學(xué)方法的核心是激起學(xué)生們的創(chuàng)造欲望，把解決數(shù)學(xué)問(wèn)題作為一個(gè)創(chuàng)造過(guò)程，而學(xué)生們只有在創(chuàng)造的過(guò)程中才能提高自己創(chuàng)造的能力．”第三，必須同時(shí)兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)與邏輯訓(xùn)練的要求．僅僅有歸納、類比等是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，應(yīng)該在邏輯訓(xùn)練方面有具體要求．對(duì)學(xué)生們的要求，至少在表述自己的結(jié)果時(shí)，必須符合邏輯的要求．要解決的是什么問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)所給的條件是什么，最后的結(jié)果又是什么．關(guān)于這一點(diǎn)，齊民友在另一篇文章中指出：“我是主張?jiān)谥袑W(xué)階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推理方法的訓(xùn)練的，而且也認(rèn)為它是體現(xiàn)了一種理性主義的精神，正是應(yīng)該提倡的．”

關(guān)于數(shù)學(xué)競(jìng)賽，齊民友很早就發(fā)表過(guò)很好的看法．他認(rèn)為數(shù)學(xué)競(jìng)賽面向的是少數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣、基礎(chǔ)較好的青少年，而不是讓大多數(shù)學(xué)生去參加培訓(xùn)，被動(dòng)、強(qiáng)制地去學(xué)．對(duì)社會(huì)上把數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)與升初中、升高中掛鉤，他是不贊成的．1997年8月29日長(zhǎng)江日?qǐng)?bào)下午版報(bào)導(dǎo)了齊民友教授在“奧賽”表彰會(huì)上的講話，他當(dāng)時(shí)就指出：“能在‘奧賽’這樣的全球性較量中獲獎(jiǎng)，表明這些孩子的素質(zhì)實(shí)有特殊之處．但同齡人中最終拿諾貝爾獎(jiǎng)的，卻不是他們．因?yàn)橐粋€(gè)成熟的科學(xué)家，必需具備多方面的素質(zhì)．”“長(zhǎng)期不重視‘奧賽’成績(jī)的美國(guó)，卻拿走了近年來(lái)的大部分諾貝爾獎(jiǎng)，因?yàn)橹Z貝爾獎(jiǎng)是一個(gè)國(guó)家綜合科技實(shí)力的反映．能在‘奧賽’上獲獎(jiǎng)的畢竟只是個(gè)別學(xué)生，而一個(gè)國(guó)家綜合科技實(shí)力的提高，要靠全體國(guó)民的素質(zhì)的積累．”齊民友以后多次發(fā)表這樣的看法，事實(shí)證明他的看法是正確的．

2.3 向大師們學(xué)教基礎(chǔ)課 注意基本思想和關(guān)鍵細(xì)節(jié)及結(jié)果前景的闡釋

關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)，齊民友鮮明地提出“向大師們學(xué)教基礎(chǔ)課”的觀點(diǎn)．

2006年10月，在武漢大學(xué)召開(kāi)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇上，齊民友應(yīng)邀作了《向大師們學(xué)教基礎(chǔ)課》的報(bào)告．報(bào)告之前言的引語(yǔ)是物理學(xué)家費(fèi)曼的經(jīng)典語(yǔ)錄：“首先要弄清為什么要讓學(xué)生學(xué)這個(gè)主題，您想要學(xué)生知道些什么，而教的方法多多少少會(huì)來(lái)自常識(shí)．”在報(bào)告中，齊民友花了較大的篇幅，詳細(xì)地介紹了費(fèi)曼通過(guò)實(shí)際推演與闡釋，探討萬(wàn)有引力定律如何發(fā)現(xiàn)的，努力做到了真正關(guān)心學(xué)生，把物理學(xué)的精華交給學(xué)生．在報(bào)告的最后，專門講了一節(jié)“向大師們學(xué)習(xí)什么？”在這節(jié)中，他全面而深刻地闡述了自己“注意基本思想、關(guān)鍵細(xì)節(jié)及結(jié)果的前景的闡釋”的數(shù)學(xué)教育思想．

第一，既注意推導(dǎo)，更注意基本思想的介紹．齊民友指出：“教數(shù)學(xué)不可能沒(méi)有推導(dǎo)，但是，更要注意基本思想的介紹．要使得基本思想與具體推導(dǎo)緊密地結(jié)合起來(lái)．”很多情況下是教師自己沒(méi)有真正掌握基本思想，因此在授課中，具體的計(jì)算與思想的闡述互相分離．作為一個(gè)教師，應(yīng)該讓學(xué)生理解、掌握與應(yīng)用基本思想．如齊民友在《現(xiàn)代偏微分方程引論》引言中談到微局部分析這個(gè)偏微分方程的分支時(shí)，強(qiáng)調(diào)微局部分析就是一種觀點(diǎn)、一種思想、一種方法，它的出現(xiàn)使整個(gè)線性偏微分方程理論改變了面貌．第二，注意細(xì)節(jié)，尤其是注意關(guān)鍵細(xì)節(jié)．任何一門學(xué)問(wèn)，必須是由細(xì)節(jié)構(gòu)成的，其中關(guān)鍵細(xì)節(jié)是掌握概念、定理、法則等的核心，因此攻克關(guān)鍵細(xì)節(jié)是最為重要的．應(yīng)該從始至終去尋求關(guān)鍵細(xì)節(jié)的解法．不應(yīng)該看不起具體的推算，“正如一些數(shù)學(xué)家一再?gòu)?qiáng)調(diào)的，數(shù)學(xué)是‘算’懂的，而不是‘看’懂的”．推導(dǎo)、計(jì)算、解法等其實(shí)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“手藝”，而掌握這種“手藝”，則需要長(zhǎng)期艱苦的努力．第三，不僅是看到當(dāng)前的結(jié)果，而且注意這些結(jié)果的前景．教微積分，就要注意它的發(fā)展與變化，從而我們的教學(xué)也隨之變化．齊民友指出，如果有朝一日微積分停止了發(fā)展，得到例如今天歐幾里得幾何那樣的地位，又一定會(huì)有新的東西取而代之，我們又得面對(duì)那一個(gè)蓬勃發(fā)展的新科學(xué)，還得不斷改變自己的教學(xué)與之適應(yīng)．基礎(chǔ)課說(shuō)難教就難教，難就難在這里．聯(lián)系前景進(jìn)行教學(xué)，還應(yīng)結(jié)合本人的實(shí)際，具體選擇，如有人重于分析，有人重于幾何，有人重于自己認(rèn)為有前途的某些問(wèn)題，只有充分發(fā)揮專長(zhǎng)，才會(huì)奏效．

齊民友在自己漫長(zhǎng)的教學(xué)生涯中就是努力這么去做的．文章作者之一曾是武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生，在20個(gè)世紀(jì)60年代初學(xué)的《數(shù)學(xué)分析補(bǔ)充》課（現(xiàn)在叫數(shù)學(xué)分析2），就是齊先生教的．記得是每周4節(jié)課，上一個(gè)學(xué)期，內(nèi)容包括實(shí)數(shù)理論、極限理論、定積分理論、無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂理論、隱函數(shù)理論等．齊先生講課的特點(diǎn)是講重點(diǎn)，講要害，語(yǔ)言簡(jiǎn)練有力、引人入勝，生動(dòng)中有嚴(yán)謹(jǐn)，比喻中有嚴(yán)格．聽(tīng)齊先生的課你很快會(huì)著迷，再往下聽(tīng)，感到回味無(wú)窮．他特別注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的揭示，對(duì)關(guān)鍵之處思路的剖析與推演非常過(guò)細(xì)，要求非常嚴(yán)格，如實(shí)數(shù)的分劃，“”、“”語(yǔ)言，定積分的兩個(gè)任意（區(qū)間的任意分劃與點(diǎn)的任意選?。?，一致收斂的概念與性質(zhì)等，一定要牢固掌握．他反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位，掌握好這些內(nèi)容將會(huì)終生受益．后來(lái)的歷史事實(shí)證明，真的是讓人終生受益．齊先生用自己上課的實(shí)踐，證明了他就是向大師們學(xué)教基礎(chǔ)課的最好范例．

2.4 提出“在創(chuàng)造中學(xué)會(huì)創(chuàng)造 創(chuàng)造性地去教與學(xué)”并重視對(duì)優(yōu)秀人才的發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)鼓勵(lì)他們不斷探索與創(chuàng)新

“在創(chuàng)造中學(xué)會(huì)創(chuàng)造，創(chuàng)造性地去教與學(xué)”是齊民友的一貫主張．他在1989年就提出；“只有在創(chuàng)造的過(guò)程中才能學(xué)會(huì)創(chuàng)造．創(chuàng)造性地去教數(shù)學(xué)或?qū)W數(shù)學(xué)，與被動(dòng)地、刻板地去教和學(xué)是完全不同的．”以后，多次提出并強(qiáng)化這個(gè)論點(diǎn)．1997年他在講到G·波利亞的數(shù)學(xué)思想時(shí)，說(shuō)道：正如Ploya所說(shuō)：解一個(gè)題目就是一種創(chuàng)造，解一個(gè)大一點(diǎn)的問(wèn)題就是大的創(chuàng)造．只有在創(chuàng)造過(guò)程中才能學(xué)會(huì)創(chuàng)造，既然要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，又不去實(shí)際創(chuàng)造，這是不行的．他在多次報(bào)告中強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該給學(xué)生更多的時(shí)間和空間，讓他們?nèi)ヌ剿鲾?shù)學(xué)的奧秘，而不僅是接受有限的知識(shí)．他認(rèn)為，教和學(xué)實(shí)質(zhì)上都是一種再創(chuàng)造的過(guò)程，希望學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造，可能最好的辦法就是看一下大師們是如何創(chuàng)造的，然后自己體驗(yàn)、摸仿，終于自行創(chuàng)造．這就清晰地指出，教和學(xué)實(shí)質(zhì)上都是一種再創(chuàng)造的過(guò)程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)自己體驗(yàn)、摸仿、創(chuàng)造，在實(shí)踐中學(xué)會(huì)創(chuàng)造．

2009年齊民友在西南大學(xué)以《基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神》為題作的報(bào)告中，以日本數(shù)學(xué)家小平邦彥的教材為例，比較全面地闡述了他的“創(chuàng)造地教與學(xué)”的數(shù)學(xué)教育觀．齊民友指出：“應(yīng)該從教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)在特點(diǎn)來(lái)理解如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性．創(chuàng)造性不是‘教’出來(lái)的，而是在整個(gè)教與學(xué)的全過(guò)程中自然形成，或者說(shuō)，熏陶而成的．”齊民友對(duì)創(chuàng)造的概念、性質(zhì)、動(dòng)力與過(guò)程都作了簡(jiǎn)明的闡釋，他認(rèn)為，創(chuàng)造性寧可說(shuō)是一種心理素質(zhì)，一種為人處事的態(tài)度或者習(xí)慣，是一種最為寶貴的素質(zhì)．創(chuàng)造始于不滿足，始于否定，創(chuàng)造始于自信，創(chuàng)造始于腳下的每一步．創(chuàng)造成于從心所欲不逾矩．

小平邦彥如何創(chuàng)造性地做好基礎(chǔ)課教學(xué)的呢？齊民友仔細(xì)分析了小平邦彥教材的3個(gè)特點(diǎn)：其一，抓住了數(shù)學(xué)內(nèi)容的不斷發(fā)展的實(shí)質(zhì)，而不是把它看成固定不變的，不可逾越的，也不停留在形式推導(dǎo)的表面上；努力建立數(shù)學(xué)各個(gè)部分的發(fā)展和相互聯(lián)系，而不是把作為一個(gè)整體的數(shù)學(xué)過(guò)度地劃分為互不相關(guān)的“分支”；其二，提供了許多問(wèn)題新的處理方法，使我們不會(huì)誤認(rèn)為“數(shù)學(xué)（具體地說(shuō)：微積分）”只能有我們熟悉的那一種理解，那一種講法；其三，體現(xiàn)了高度的個(gè)性，正如小平邦彥可以“反常人之道而行”，我們也可以“反小平邦彥之道而行”．沒(méi)有多樣性，就沒(méi)有創(chuàng)造性．應(yīng)該鼓勵(lì)教師和學(xué)生走自己的路．總之，一方面要去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的規(guī)矩的認(rèn)識(shí)，做到中規(guī)中矩，另一方面，可以根據(jù)自己的具體情況以及學(xué)術(shù)上的愛(ài)好、習(xí)慣、長(zhǎng)處與短處等等來(lái)教好（或?qū)W好）一門課程，從中得到對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)的真意的理解．綜合這兩個(gè)方面，就是前面說(shuō)的“從心所欲不逾矩”．因此，齊民友認(rèn)為，從這個(gè)意義上說(shuō)，教與學(xué)都是一種“再創(chuàng)造”——從創(chuàng)造中學(xué)創(chuàng)造．

齊民友非常重視對(duì)少數(shù)優(yōu)秀人才的發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)，他指出：“數(shù)學(xué)是為個(gè)人才能的發(fā)揮提供了最充分場(chǎng)所的學(xué)科之一．優(yōu)秀人才的出現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展有著特殊的意義．”“要在中國(guó)發(fā)展數(shù)學(xué)科學(xué)，就必須特別重視優(yōu)秀人才及時(shí)的發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)．”他認(rèn)為希望寄托在年輕一代身上，他積極引導(dǎo)學(xué)生們盡快進(jìn)入科學(xué)前沿，鼓勵(lì)他們不斷探索與創(chuàng)新，始終把創(chuàng)造性與深刻性作為最重要的標(biāo)準(zhǔn)．2007年4月在武漢大學(xué)舉辦的“大學(xué)數(shù)學(xué)教育珞珈論壇”上，他就講道，“數(shù)學(xué)最重要的就是idea，我們應(yīng)該讓學(xué)生往前走．教育保底，但是決不封頂．應(yīng)該給學(xué)生更多的時(shí)間和空間，讓他們?nèi)ヌ剿鲾?shù)學(xué)的奧秘，而不是僅接受有限的知識(shí)”．

齊民友總是要求他的學(xué)生們注意科學(xué)發(fā)展的規(guī)律和趨勢(shì)，學(xué)習(xí)國(guó)際最新、最先進(jìn)的理論，并與時(shí)俱進(jìn)，迎頭趕上．作為數(shù)學(xué)家、博士生導(dǎo)師，齊民友對(duì)培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才傾注了全部的身心與精力，他先后指導(dǎo)碩士生、博士生、博士后數(shù)十人．在現(xiàn)代偏微分方程研究領(lǐng)域里，齊民友為國(guó)家培養(yǎng)出了一大批高級(jí)專門人才，如徐超江、陳化、王維克、李先清、汪更生、陳群、陳文藝、鄧引斌等，現(xiàn)在他們?cè)诓煌钠⒎址匠萄芯款I(lǐng)域，已成為一批活躍在國(guó)際、國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)舞臺(tái)上的數(shù)學(xué)家．他善于因材施教，重視“學(xué)術(shù)個(gè)性”的培養(yǎng)，盡量發(fā)揮他們的興趣與專長(zhǎng)，并取得明顯的效果．如博士生陳建華喜歡研究數(shù)論，齊民友不光不去阻止他，而是為他提供指導(dǎo)與幫助，后來(lái)，陳建華在數(shù)論方面做出了很好的成績(jī)，現(xiàn)已成為密碼學(xué)領(lǐng)域有成就的專家，曾以第一完成人榮獲國(guó)家密碼科技進(jìn)步一等獎(jiǎng)．又如支持和鼓勵(lì)博士生王橋發(fā)展自己的研究興趣，去學(xué)習(xí)小波理論和信息論，現(xiàn)在，王橋已是東南大學(xué)無(wú)線電系教授，成為了一名通訊工程方面的優(yōu)秀專家．

從上論述，可以看到，齊民友的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教育觀有著開(kāi)拓的視野、獨(dú)特的論點(diǎn)、豐富的內(nèi)容與精辟的闡述，是數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一筆寶貴財(cái)富，值得研究者們進(jìn)一步去學(xué)習(xí)、探討與研究．

[1] 齊民友．?dāng)?shù)學(xué)與文化[M]．長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1991．

[2] 齊民友．世紀(jì)之交話數(shù)學(xué)[M]．武漢：湖北教育出版社，2000．

[3] 齊民友．重溫微積分[M]．北京：高等教育出版社，2004．

[4] 齊民友．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)課是通向數(shù)學(xué)主流的門戶[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2009，（1）：7-8，10．

[5] F·克萊因．?dāng)?shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展（第一卷）[M]．齊民友譯．北京：高等教育出版社，2010．

[6] 齊民友．美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的一點(diǎn)聯(lián)想[J]．武漢教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，（增刊）：7-8．

[7] 齊民友．從徐光啟的兩篇短文談起[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1999，（12）：5-6．

[8] 齊民友教授表彰會(huì)上說(shuō)“奧賽”獲獎(jiǎng)理當(dāng)祝賀，目的須弄正確[N]．長(zhǎng)江日?qǐng)?bào)，2007-8-29，下午版（1）．

[9] 齊民友．向大師們學(xué)教基礎(chǔ)課[A]．大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇論文集[C]．北京：高等教育出版社，2007．

[10] 齊民友，徐超江，王維克．現(xiàn)代偏微分方程引論[M]．武漢：武漢大學(xué)出版社，1994．

[11] 鄭隆炘．形象·靈感·審美與數(shù)學(xué)創(chuàng)造[M]．武漢：湖北教育出版社，1990．

[12] 轉(zhuǎn)引http://blog.sina.com.cn/s/blog_54a2cbcf0100fz31.html

附注此文寫完后，曾通過(guò)郵箱發(fā)給齊先生，齊先生回了信．現(xiàn)按先生的要求把他的意見(jiàn)附在文后：“謝謝您的好意寫了這一篇文章．我沒(méi)有打算再“補(bǔ)正”什么了，因?yàn)樽鬟@樣的補(bǔ)正、就無(wú)異于承認(rèn)我真有什么值得別人去寫的‘思想’．‘思想’（包括‘?dāng)?shù)學(xué)思想’）是大字眼．夠格讓人說(shuō)有什么思想的人不多，我肯定不在其列．如果在我和師友的涉及數(shù)學(xué)的交往中，能夠使人去思考有關(guān)數(shù)學(xué)的問(wèn)題或‘思想’，這既是我作為教師的職責(zé)所在，也是我的愿望．我唯一能夠借此機(jī)會(huì)向大家提的建議，是去讀一下真正有資格談得上思想的人的著作，或者聽(tīng)一下他們的教課，甚至更密切的接觸，只不過(guò)這樣的機(jī)會(huì)不是太多．如果您這篇文章真要發(fā)表的話，請(qǐng)把這封信的意思加進(jìn)去．祝春節(jié)愉快．齊民友，2013年01月22日 08:52”

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

On QI Min-you’s View of Mathematics and Mathematics Education

ZHENG Long-xin, BA Ying

(Department of Mathematics and Computer Science, Jianghan University, Hubei Wuhan 430056, China)

QI Min-you is a famous mathematician and mathematics educators. He has expounded his profound and original opinions on some important issues in the field of mathematics and mathematics education. Based on the study of these opinions, this article summarizes Qi Min-you’s view of mathematics with science, philosophy and rational spirit, as well as his view of mathematics education which follows these principles: strengthen the foundation, emphasize on creativity, focus on exploration spirit cultivation.

QI Min-you; view of mathematics; view of mathematics education; rational spirit

G40-09

A

1004–9894（2014）04–0007–06

2014–03–05

鄭隆炘（1941—），男，安徽旌德人，教授，主要從事微分方程穩(wěn)定性理論、數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育的研究．