國(guó)外“早期代數(shù)”研究述評(píng)

蒲淑萍

（重慶師范大學(xué)，重慶 400700）

代數(shù)在學(xué)校課程中的重要性和學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)面臨的困難，是世界各國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)具有共性的問(wèn)題．這使得人們?cè)絹?lái)越多地關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)的連貫性和一致性，強(qiáng)調(diào)在小學(xué)就應(yīng)為中學(xué)的正式代數(shù)學(xué)習(xí)做好充分準(zhǔn)備——早期代數(shù)（Early Algebra）成為世界各地政策制定者和數(shù)學(xué)教育者關(guān)注的焦點(diǎn)．然而，對(duì)于早期代數(shù)的研究卻是在2000年以后才正式開(kāi)始[1]．

目前，盡管世界范圍的早期代數(shù)研究取得了初步的成果與進(jìn)展，但仍面臨著很多的困惑、爭(zhēng)議和挑戰(zhàn)．就像美國(guó)首席研究員、國(guó)家科學(xué)基金（The National Science Foundation）“低年級(jí)的代數(shù)（Algebra in early grades）”項(xiàng)目指導(dǎo)者卡雷赫（Carraher, D. W.）等人所指出的那樣，“盡管對(duì)于代數(shù)在小學(xué)課程中占有一席之地達(dá)成了某些共識(shí)，但是將代數(shù)納入早期數(shù)學(xué)課程需要的研究基礎(chǔ)仍舊是新興的、少被了解的，離鞏固還有很大的距離”[2]．在小學(xué)如何實(shí)施早期代數(shù)教學(xué)才能發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維并為高年級(jí)代數(shù)的正式學(xué)習(xí)做好充分準(zhǔn)備，各國(guó)課程開(kāi)發(fā)者、教育研究者、教師、政策制定者還處于思考、探索階段，尚需在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行持續(xù)不斷的理論探索與實(shí)踐驗(yàn)證，才能逐步完善．通觀世界各國(guó)早期代數(shù)研究成果，探尋該研究領(lǐng)域的起源、已經(jīng)建構(gòu)的理論基礎(chǔ)是什么？取得了那些進(jìn)展？對(duì)現(xiàn)階段早期代數(shù)研究已取得的成果進(jìn)行梳理、分析，無(wú)疑將對(duì)算術(shù)教學(xué)本質(zhì)與目的的深入認(rèn)識(shí)、早期代數(shù)領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展，以及中國(guó)的早期代數(shù)教學(xué)和研究具有理論與實(shí)踐方面的重要意義．

1 早期代數(shù)研究的興起

20世紀(jì)50、60年代起，部分國(guó)家就已經(jīng)嘗試在小學(xué)介紹代數(shù)概念，其中俄羅斯等國(guó)在早期代數(shù)研究領(lǐng)域已取得較為成功的經(jīng)驗(yàn)[3]．盡管早期代數(shù)的相關(guān)研究[4～5]在2000年之前已經(jīng)開(kāi)展，但這個(gè)階段的研究處于零散狀態(tài)，尚未形成相應(yīng)的學(xué)術(shù)共同體，早期代數(shù)研究還沒(méi)有成為世界關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題．2000年以后，早期代數(shù)研究正式開(kāi)始，它體現(xiàn)在相關(guān)的國(guó)際專題會(huì)議、各國(guó)的政策文件以及全球范圍的重視與參與．

2001年12月在澳大利亞墨爾本舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)第12屆系列專題會(huì)議（ICMI-12），會(huì)議主題為“代數(shù)教學(xué)的未來(lái)”．在這屆會(huì)議上，“早期代數(shù)工作組（The Early Algebra Working Group，簡(jiǎn)寫作：EAWG）”正式成立，EAWG是本屆會(huì)議所設(shè)8個(gè)工作組之一．早期代數(shù)研究首次以專門工作組的形式出現(xiàn)在國(guó)際專題會(huì)議上，標(biāo)志著早期代數(shù)研究登上了數(shù)學(xué)教育研究的國(guó)際舞臺(tái)[6～7]．

早期代數(shù)思想出現(xiàn)在各國(guó)一些有影響力的政策文件以及課程標(biāo)準(zhǔn)中，如，在美國(guó)為解決“代數(shù)問(wèn)題”，早期代數(shù)成為美國(guó)教育研究的迫切需要，政府亦采取相應(yīng)的問(wèn)責(zé)措施使之條文化．同時(shí)，全美數(shù)學(xué)教師委員會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics，簡(jiǎn)寫作：NCTM）建議代數(shù)作為所有K-12年級(jí)水平的內(nèi)容，“為人人的代數(shù)”要求必須要在低年級(jí)為高年級(jí)的代數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備[8]．中國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)在小學(xué)發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維也有清晰的表述[9]．如今，早期代數(shù)已經(jīng)成為一個(gè)全球范圍的研究課題，各國(guó)從自身實(shí)際出發(fā)[10～12]，學(xué)習(xí)借鑒他國(guó)的成功經(jīng)驗(yàn)，探索本國(guó)早期代數(shù)教學(xué)的有效實(shí)施．

當(dāng)前，培養(yǎng)小學(xué)生代數(shù)思維的早期代數(shù)思想與做法已逐漸走進(jìn)世界各國(guó)的小學(xué)課堂，相關(guān)的研究也逐漸開(kāi)展起來(lái)，其中較有代表性的是早期代數(shù)研究專家坎普特（Kaput, J.）和蔡金法等分別于2008年和2011年編輯出版的兩部早期代數(shù)研究專著[1，12]，兩書分別代表了早期代數(shù)研究的兩個(gè)階段：前者對(duì)早期代數(shù)的觀念、做法進(jìn)行探討；后者則具體到課程、教學(xué)和認(rèn)知，兩書從不同視角介紹了早期代數(shù)研究的成果．研究主要聚焦這兩部著作以及相關(guān)的重要文獻(xiàn)[2，6]，對(duì)早期代數(shù)的研究進(jìn)行梳理、分析、評(píng)價(jià)．

2 理論基礎(chǔ)及初步達(dá)成的共識(shí)

在早期代數(shù)研究的初期人們有著諸多不解與爭(zhēng)論，如，早期代數(shù)與代數(shù)、算術(shù)的關(guān)系是什么？小學(xué)生能否學(xué)習(xí)代數(shù)？學(xué)習(xí)效果如何？對(duì)中學(xué)代數(shù)的作用是否符合教育研究者預(yù)期的目的？小學(xué)教師適應(yīng)早期代數(shù)教學(xué)嗎？需要做什么才能讓小學(xué)教師勝任早期代數(shù)教學(xué)，等等．諸多的疑惑與不解歷經(jīng)十多年的發(fā)展，有些問(wèn)題已逐步明朗，達(dá)成共識(shí)．而針對(duì)早期代數(shù)的實(shí)施及其效果方面的問(wèn)題則需更多的研究追蹤進(jìn)行，提供實(shí)證數(shù)據(jù)，不斷提高早期代數(shù)的教學(xué)及研究水平．其中已逐步達(dá)成的共識(shí)包括：

2.1 課程角度

（1）算術(shù)與代數(shù)的關(guān)系．

算術(shù)與代數(shù)的割裂是各國(guó)教育的傳統(tǒng)與現(xiàn)實(shí)．這種割裂某種程度上會(huì)使小學(xué)生忽視現(xiàn)實(shí)的代數(shù)情境的意義，使得學(xué)生失去在小學(xué)接受代數(shù)思維訓(xùn)練的良好時(shí)機(jī)，造成了學(xué)生后期學(xué)習(xí)代數(shù)的諸多困難[13～14]．從算術(shù)與代數(shù)的關(guān)系出發(fā)，主要有兩派觀點(diǎn)：一派認(rèn)為代數(shù)是算術(shù)的推廣[12，15]，另一派則認(rèn)為代數(shù)不是算術(shù)的推廣[16～17]．兩派觀點(diǎn)各有自己的主張．前者認(rèn)為在處理量和有關(guān)運(yùn)算的過(guò)程中，數(shù)量的性質(zhì)化為了一般化的性質(zhì)，它強(qiáng)調(diào)了代數(shù)對(duì)象的起源．而反對(duì)者則認(rèn)為算術(shù)方法，如“逆向運(yùn)算”能夠解決像只在一邊含有一個(gè)未知量的方程的過(guò)程，代數(shù)不是算術(shù)的一般化，代數(shù)是一個(gè)純符號(hào)的體系，它可以按照任意規(guī)則，在系統(tǒng)中處理任意的符號(hào)及其關(guān)系，如解決兩邊都含有未知量的方程就得使用代數(shù)的方法．

從早期代數(shù)的研究視角看，豪（Howe, 2005）[17]給代數(shù)所下的描述性定義或許對(duì)兩者的關(guān)系能給人們更深刻的啟示．他認(rèn)為代數(shù)涉及以下內(nèi)容：

1）使用變量，尤其是帶有變量的算術(shù)，以及用變量表示的多項(xiàng)式和有理式的構(gòu)成．也包括用表達(dá)式表示和“建?！钡木唧w情境，建立方程．也常推廣至包含開(kāi)方（求根）．……也包括操作表達(dá)式和方程以化簡(jiǎn)、求解并作出解釋．

2）代數(shù)結(jié)構(gòu)，主要體現(xiàn)在算術(shù)規(guī)則中（亦即，原理的領(lǐng)域）．……這些規(guī)則，連同方程變形的原則（最原始的技巧產(chǎn)生了人們稱之為“代數(shù)”的學(xué)科），總結(jié)了 1）所描述的代數(shù)表達(dá)式以及方程的代數(shù)技巧實(shí)施的基礎(chǔ)．

“帶有變量的算術(shù)”“建?！薄八阈g(shù)規(guī)則”等反應(yīng)了“代數(shù)對(duì)于算術(shù)是固有的”思想，或者說(shuō)，算術(shù)有著“代數(shù)”的固有特征，算術(shù)與代數(shù)是發(fā)展代數(shù)思維連貫的、一致的整體．早期代數(shù)方式關(guān)注“代數(shù)困難病源學(xué)”，他們認(rèn)為成年時(shí)的代數(shù)困難主要原因在于小學(xué)的數(shù)學(xué)（算術(shù)）學(xué)習(xí)時(shí)的欠缺[2]．如，布斯（Booth, 1988）[18]認(rèn)為“學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)中的困難在于代數(shù)自身的困難并不比算術(shù)中未被修正的問(wèn)題那樣多”．

（2）早期代數(shù)與“預(yù)代數(shù)”的關(guān)系．

預(yù)代數(shù)（Pre-algebra）方式[17，19]意在緩和由算術(shù)向代數(shù)的突然過(guò)渡．他們?cè)黾踊蛑匦露x數(shù)學(xué)符號(hào)的意義與使用．為減輕初學(xué)代數(shù)學(xué)生的困難，其合理性是在正式代數(shù)教學(xué)前的謹(jǐn)慎干預(yù)．

早期代數(shù)與“預(yù)代數(shù)”兩者具有某些共同的性質(zhì)：都是為代數(shù)的正式學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，兩者也是不易區(qū)分界限的兩個(gè)概念．然而，進(jìn)一步比較會(huì)發(fā)現(xiàn)，早期代數(shù)重在借助算術(shù)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)、關(guān)系等，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，它貫穿在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中；而“預(yù)代數(shù)”往往就具體的內(nèi)容，如簡(jiǎn)易方程，通過(guò)算術(shù)與代數(shù)多種表征方式[20]，在發(fā)展算術(shù)思維的同時(shí)，發(fā)展學(xué)習(xí)用代數(shù)思想和方法解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)并努力實(shí)現(xiàn)的是“由算術(shù)向代數(shù)的過(guò)渡”[21～22]，但他們也承認(rèn)學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)中的問(wèn)題部分源自學(xué)生以前算術(shù)的經(jīng)驗(yàn)，而且他們通常并不質(zhì)疑算術(shù)在先、代數(shù)在后的順序．

“早期代數(shù)”研究的一些卓越貢獻(xiàn)是來(lái)自于沒(méi)有作為“早期代數(shù)”研究者的一些人，如凱若（Kieran C）[23～24]已經(jīng)給出了對(duì)后續(xù)研究有著重大影響的“早期代數(shù)”研究．再如菲勞艾和若扎諾（Filoy & Rojano）[17]認(rèn)為對(duì)于一元一次方程一邊出現(xiàn)變量和兩邊出現(xiàn)變量，兩者之間有著斷層，但是有很多中介可以架接橋梁．

（3）代數(shù)是從學(xué)前教育開(kāi)始的課程鏈．

全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)對(duì)美國(guó)“學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)”（NCTM，2000）[8]對(duì)“代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)”規(guī)定：從學(xué)前期至十二年級(jí)的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)能使所有的學(xué)生們都能夠：① 理解模式、關(guān)系和函數(shù)；② 用代數(shù)符號(hào)表征和分析數(shù)學(xué)情境和結(jié)構(gòu)；③ 用數(shù)學(xué)模型表征和理解數(shù)量關(guān)系；④ 分析各種情境中的變化關(guān)系．由此不難看出，學(xué)校代數(shù)不僅是一門課程，而且是一個(gè)“從學(xué)前教育就開(kāi)始的課程鏈”[8]．將代數(shù)作為課程鏈，體現(xiàn)了將“數(shù)與代數(shù)”作為一個(gè)整體的思想，避免了以往因?qū)⑺阈g(shù)與中學(xué)代數(shù)割裂開(kāi)來(lái)而造成的代數(shù)思維準(zhǔn)備不足導(dǎo)致的代數(shù)學(xué)習(xí)困難．

在從課程到課程鏈的認(rèn)識(shí)變化過(guò)程中，體現(xiàn)了課程意識(shí)的改變．在此基礎(chǔ)上，代數(shù)成為：“不僅僅是簡(jiǎn)單的符號(hào)運(yùn)算．學(xué)生需要理解代數(shù)概念、支配符號(hào)運(yùn)算的結(jié)構(gòu)和原理以及符號(hào)是怎樣用于表達(dá)觀點(diǎn)和洞察情境的．”[8]它體現(xiàn)了兩個(gè)改變：從將代數(shù)當(dāng)作課程到當(dāng)作一個(gè)課程鏈，從將代數(shù)看作符號(hào)操作到看作概念結(jié)構(gòu)和表征系統(tǒng)．

中國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也將“數(shù)與代數(shù)”作為一個(gè)整體看待，分為3個(gè)學(xué)段逐步發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維能力．

2.2 教學(xué)角度

（1）“早期代數(shù)”是否等同于“早教（學(xué)）代數(shù)”．

早期代數(shù)的英文寫法為：Early Algebra，故而有時(shí)簡(jiǎn)寫作：EA．對(duì)于“早期代數(shù)”是否等同于“早教（學(xué)）代數(shù)”的問(wèn)題，卡雷赫（David Carraher）等人明確以Early Algebra Is Not the Same As Algebra Early（早期代數(shù)和早教（學(xué)）代數(shù)不同）為標(biāo)題作出了回答，清晰地指明不要將早期代數(shù)與通常所了解的代數(shù)課程1混淆起來(lái)．在低年級(jí)發(fā)展代數(shù)思維的手段不是簡(jiǎn)單地將傳統(tǒng)的中學(xué)代數(shù)課程壓進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課程中．而是，在低年級(jí)發(fā)展代數(shù)思維需要根本的變革，怎樣看待并教學(xué)算術(shù)以及更好地理解各種對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)困難的因素使得由算術(shù)向代數(shù)遷移[1]．

（2）早期代數(shù)與算術(shù)教學(xué)．

早期代數(shù)思維，也即“低年級(jí)的代數(shù)思維”是指：超越熟練掌握計(jì)算和流利的計(jì)算，注意數(shù)學(xué)深層次的結(jié)構(gòu)”[1]．在教學(xué)中，教師應(yīng)意識(shí)到在低年級(jí)發(fā)展代數(shù)思維需要特殊思維方式的發(fā)展，包括分析量之間的關(guān)系，注意結(jié)構(gòu)、研究變化，一般化、問(wèn)題解決、建模，判斷，證明以及預(yù)測(cè)．也即，早期代數(shù)學(xué)習(xí)不僅發(fā)展理解數(shù)學(xué)關(guān)系的新工具，也發(fā)展新的思維習(xí)慣．

早期代數(shù)教學(xué)必須采取一些不同于傳統(tǒng)代數(shù)教學(xué)采取的方法：① 常規(guī)的代數(shù)符號(hào)不是表達(dá)代數(shù)思想和關(guān)系的唯一手段．表格、數(shù)字語(yǔ)句、圖表和專門化的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)也能表達(dá)代數(shù)思想；② 物理量的背景和基礎(chǔ)在EA教育中或許是需要的，盡管在后面的教育中會(huì)合乎情理地縮減或者不再重視；③ 函數(shù)為引出現(xiàn)有的許多早期數(shù)學(xué)主題與活動(dòng)的代數(shù)特征提供了機(jī)會(huì)[2]．

2.3 認(rèn)知角度

（1）小學(xué)生能否學(xué)習(xí)“代數(shù)”？

Algebra in the Early Grades一書的序言冠以“對(duì)早期代數(shù)懷疑者的向?qū)А钡念}目，其目的在于“幫助讀者理解為什么引入早期代數(shù)的思想常激起教育者和家長(zhǎng)的強(qiáng)烈的情緒[12]．“小學(xué)生能否學(xué)習(xí)‘代數(shù)’”始終是困擾家長(zhǎng)和對(duì)早期代數(shù)領(lǐng)域缺乏理解的教育者的問(wèn)題．對(duì)此，已有很多關(guān)于學(xué)習(xí)研究證實(shí)：有許多明顯的、廣為接受的理由在小學(xué)低年級(jí)發(fā)展代數(shù)思想[11～12]．卡朋特和列維（Thomas Carpenter &Linda Levi）領(lǐng)銜的 NCISLA（the National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science）研究項(xiàng)目“在小學(xué)發(fā)展代數(shù)推理的概念”[25]，是其中最具有代表性的，也是得自長(zhǎng)期試驗(yàn)的、對(duì)小學(xué)生能夠接受代數(shù)思維訓(xùn)練最有說(shuō)服力的證據(jù)結(jié)果．該研究對(duì)威斯康星洲麥迪遜市的240名小學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期觀察研究，發(fā)現(xiàn)小學(xué)生具有以建構(gòu)代數(shù)推理能力的方式進(jìn)行算術(shù)推理的能力．同時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)在算術(shù)教學(xué)中融入早期代數(shù)思想，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般化、結(jié)構(gòu)化及數(shù)量關(guān)系的更深刻理解，在增強(qiáng)小學(xué)生算術(shù)學(xué)習(xí)能力的同時(shí)發(fā)展他們的代數(shù)思維，緩解了學(xué)生因小學(xué)階段代數(shù)思維的訓(xùn)練準(zhǔn)備不足而造成的中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的種種困難與障礙，為高年級(jí)的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

（2）發(fā)展早期代數(shù)思維，對(duì)高年級(jí)的代數(shù)學(xué)習(xí)有用嗎？

已有研究表明[1]，經(jīng)過(guò)早期代數(shù)思維訓(xùn)練的學(xué)生，比之沒(méi)有經(jīng)過(guò)早期代數(shù)思維訓(xùn)練的學(xué)生，更能勝任中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)．

盡管此類研究并不多，需要有更多人從事這方面研究，還需進(jìn)一步驗(yàn)證、并在驗(yàn)證反饋的基礎(chǔ)上對(duì)早期代數(shù)教學(xué)做出調(diào)整、改進(jìn)，但是這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)疑是令人振奮的消息．

總結(jié)來(lái)看，“早期代數(shù)”并不是一門學(xué)科，更確切地說(shuō)，“早期代數(shù)”是一種思想、一種做法．它主要是指在小學(xué)的算術(shù)教學(xué)中，融入代數(shù)思維培養(yǎng)的做法，體現(xiàn)了將“數(shù)與代數(shù)”當(dāng)作一個(gè)整體看待，連貫地進(jìn)行代數(shù)思維訓(xùn)練，以改善以往算術(shù)與代數(shù)割裂的狀態(tài)，以及由此造成的由算術(shù)思維向代數(shù)思維過(guò)渡存在的困難與障礙的思想與做法．卡雷赫與史列曼（Carraher & Schliemann）[24]總結(jié)了作為早期代數(shù)的數(shù)字算術(shù)主要特點(diǎn)：① 算術(shù)有著固有的代數(shù)特征，可被看作代數(shù)的一部分而不是與代數(shù)不同的領(lǐng)域；② 兒童有時(shí)進(jìn)行代數(shù)的一般化并不通過(guò)代數(shù)符號(hào)（盡管自然語(yǔ)言常常不適合表達(dá)代數(shù)關(guān)系）；③ 盡管許多問(wèn)題有待厘清，但算術(shù)作為代數(shù)切入點(diǎn)的研究前景廣闊．

3 相關(guān)研究進(jìn)展與成果

已有的早期代數(shù)研究主要涉及3個(gè)方面：課程、教學(xué)與認(rèn)知．課程方面主要解決教學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題；認(rèn)知方面主要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；教學(xué)層面則主要關(guān)注教師的意識(shí)、能力、策略等和早期代數(shù)教學(xué)有關(guān)的問(wèn)題．已有的成功案例及經(jīng)驗(yàn)或可為中國(guó)的早期代數(shù)教學(xué)提供借鑒．

3.1 課程內(nèi)容選取——尋找早期代數(shù)思維的切入點(diǎn)

課程內(nèi)容對(duì)于學(xué)生所學(xué)的東西有顯著的影響[8]，并已通過(guò)跨國(guó)比較研究發(fā)現(xiàn)課程對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)有重要影響[26]．如何在低年級(jí)發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維？就課程內(nèi)容而言，早期代數(shù)教學(xué)面臨著對(duì)傳統(tǒng)算術(shù)內(nèi)容合理選取以及從新的視角、用新的策略設(shè)計(jì)教學(xué)的問(wèn)題．

坎普特（Kaput, J.）是早期代數(shù)領(lǐng)域的創(chuàng)始者之一，他長(zhǎng)期致力于早期代數(shù)與學(xué)校代數(shù)的研究．他認(rèn)為將代數(shù)與代數(shù)思維以一種一般化的方法組織起來(lái)有3種方式：

（1）將代數(shù)看作從計(jì)算和關(guān)系，包括那些產(chǎn)生自算術(shù)數(shù)量推理中，提取出來(lái)的結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)研究；（2）作為函數(shù)、關(guān)系、協(xié)同變化的代數(shù)；（3）作為表達(dá)和輔助對(duì)模型化的情境的推理特定模型語(yǔ)言集結(jié)的代數(shù)[27]．

第一種方式重在抓住代數(shù)的結(jié)構(gòu)，第三個(gè)方式是外部數(shù)學(xué)模型，第二種方式提供了進(jìn)入代數(shù)的切入點(diǎn)．

在具體內(nèi)容和材料的選取使用上，研究[2]呈現(xiàn)了幾個(gè)帶有導(dǎo)向性質(zhì)的進(jìn)入代數(shù)的切入點(diǎn)：關(guān)于加法和乘法的公理：交換律、結(jié)合律、分配率、等式（a+0=a=0+a，a×1=1×a）、逆元（相反數(shù)）（a+(-a)=0=(-a)+a，a×a-1=1=a-1×a，若a≠0）．其中的a，b可看作特殊的占位符，但是它們卻能夠代表任意的、或者所有的數(shù)字．表達(dá)這些公理用的是形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這與代數(shù)概念本身有很多共性．但是4種運(yùn)算卻需要特定的符號(hào)系統(tǒng)的形式化“語(yǔ)法”．再如，除法等式，a=bq+r（a非負(fù)整數(shù)，b為正數(shù)，0≤r≤b）是尋找兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)的歐幾里得算法的基礎(chǔ)等思想突出了算術(shù)和代數(shù)之間的聯(lián)系，是發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維的極好素材．

卡彭特（Carpenter）等[28]，巴斯特布爾（Bastable）等[12]給出了利用數(shù)字的一般化滲透代數(shù)思維的具體例子．日本的藤井（Fujii）和澳大利亞的史蒂芬（Stephen）[6]給出了有關(guān)“準(zhǔn)變量”的研究，這一術(shù)語(yǔ)用于算術(shù)背景下的隱含變量，如算式：71-13=71-(10+(10-7))=71-(20-7)=(71-20)+7=51+7=58．其中，13可被表達(dá)成 10+(10-7)的過(guò)程能讓學(xué)生重新審視數(shù)系的結(jié)構(gòu)．“準(zhǔn)變量”可為算術(shù)和代數(shù)之間架接起橋梁，這也引起中國(guó)早期代數(shù)研究人員的關(guān)注[29]．再如，恩普森（Empson）等人建議將分?jǐn)?shù)的教學(xué)用作增強(qiáng)學(xué)生代數(shù)結(jié)構(gòu)理解的時(shí)機(jī)[1]．

另外，數(shù)值的相等、變化和模式，算術(shù)與數(shù)值推理，量的推理等也是滲透代數(shù)思維的極好切入點(diǎn)．作為數(shù)學(xué)對(duì)象的量和大小的推理依賴于模型化．模型化在小學(xué)數(shù)學(xué)中起著十分重要的作用．

3.2 如何教才能滲透早期代數(shù)思想

滲透早期代數(shù)思維最為重要的環(huán)節(jié)體現(xiàn)在教學(xué)上，傳統(tǒng)算術(shù)內(nèi)容面臨著如何教的問(wèn)題．全球范圍的學(xué)習(xí)借鑒、交流溝通不失為一條快捷有效的途徑．《早期代數(shù)化—來(lái)自多元觀點(diǎn)的全球?qū)υ挕芬粫鳾1]正是基于此目的，將 2005年以后各國(guó)早期代數(shù)研究匯編而成．此處擷取書中來(lái)自世界不同國(guó)家：美國(guó)、俄羅斯、日本和印度的4個(gè)案例，展示4國(guó)就課程途徑將代數(shù)思維融進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)的思路與做法，希望能為中國(guó)早期代數(shù)教學(xué)提供課程內(nèi)容、教學(xué)方式的素材與思路．

美國(guó)案例中，研究者認(rèn)為“應(yīng)將函數(shù)思維融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)”，“改變教師的資源基礎(chǔ)幫助發(fā)展學(xué)生的函數(shù)思維”，“變化任務(wù)特征將代數(shù)思維引入課程”才能將代數(shù)思維融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，為學(xué)生在高年級(jí)更好地學(xué)習(xí)代數(shù)做好準(zhǔn)備．

史密托（Schmittau）介紹了俄羅斯的做法．他們的研究基于俄國(guó)心理學(xué)家維果茨基（Lev Vygotsky）和戴維多夫（V.V. Davydov）的研究基礎(chǔ)之上．就像史密托所指出的，“這種方法與新近尋求將代數(shù)的成分融進(jìn)算術(shù)學(xué)習(xí)的做法不同”．他們一反以往將數(shù)作為學(xué)生早期代數(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，而是將代數(shù)的結(jié)構(gòu)當(dāng)作基礎(chǔ)．用這種方法，學(xué)生能將他們的代數(shù)理解應(yīng)用于算術(shù)，對(duì)傳統(tǒng)的算術(shù)有更深的理解．

渡邊（Watanabe）給出了日本小學(xué)1—6年級(jí)數(shù)學(xué)課程的材料，指出函數(shù)關(guān)系（模式）的學(xué)習(xí)在日本小學(xué)數(shù)學(xué)課程里是核心重點(diǎn)．日本課程認(rèn)為與數(shù)學(xué)表達(dá)式有關(guān)的思想是學(xué)校初等代數(shù)的支柱．

在印度的案例中，他們從印度悠久數(shù)學(xué)歷史中獲得啟示，呈現(xiàn)了一個(gè)揭示算術(shù)與代數(shù)關(guān)系的教學(xué)框架，展示了如何借鑒數(shù)學(xué)史向小學(xué)生滲透結(jié)構(gòu)、關(guān)系等代數(shù)思想的做法．他們也將代數(shù)看作算術(shù)的基礎(chǔ)，而不是算術(shù)的一般化，這與俄羅斯的做法有些相似之處．然而就關(guān)注的側(cè)面來(lái)說(shuō)，前者關(guān)注學(xué)習(xí)心理，后者更關(guān)注史學(xué)價(jià)值的發(fā)揮．

以上案例從課程角度展示了如何在小學(xué)在低年級(jí)為發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維做好準(zhǔn)備．美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家基爾帕特里克（Kilpatrick, J.）認(rèn)為，關(guān)于早期代數(shù)學(xué)習(xí)案例給出的課程視角是：“代數(shù)不是延遲到掌握算術(shù)之后，而是應(yīng)該從開(kāi)始學(xué)習(xí)算術(shù)起就應(yīng)在課程中呈現(xiàn)”“在所有例子中算術(shù)都不僅是當(dāng)作學(xué)、做計(jì)算的場(chǎng)所，而是當(dāng)作發(fā)展兒童關(guān)于量的思想以及它們之間相互關(guān)系表征和使用的競(jìng)技場(chǎng)”[1]．

3.3 學(xué)生的認(rèn)知

早期代數(shù)思維教學(xué)實(shí)踐能否成功實(shí)施，在很大程度上依賴于教師對(duì)于學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展所掌握的信息．為使早期代數(shù)教學(xué)與研究朝著卓有成效的方向發(fā)展，需做好材料上和實(shí)證數(shù)據(jù)上的準(zhǔn)備．多數(shù)的實(shí)證研究都在尋找適合發(fā)展學(xué)生早期代數(shù)素材的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知狀況．他們從心理的、歷史的、認(rèn)識(shí)論的等側(cè)面分析學(xué)生早期代數(shù)認(rèn)知狀況，揭示學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)代數(shù)思維成分的理解與把握．

澳大利亞的研究案例主要針對(duì)學(xué)生對(duì)各種各樣的基于算術(shù)情境和表征形式的一般化能力，研究結(jié)果顯示理解與表征形式的特征在學(xué)生一般化能力中的重要性．加拿大的研究描述了學(xué)生線性函數(shù)和協(xié)同變化的思維發(fā)展，對(duì)于理解傳統(tǒng)算術(shù)課程中的乘法有著積極的作用．拉德福（Radford）在加拿大南部城市做了研究，從認(rèn)識(shí)論的視角分析了算術(shù)思維和代數(shù)思維的關(guān)系，并在兒童第一次遇到代數(shù)概念的背景下討論了在低年級(jí)引入代數(shù)思維的可能性與局限性[1]．

對(duì)于發(fā)展學(xué)生的早期代數(shù)思維，以上研究盡管視角不同，卻向人們傳達(dá)了一個(gè)共同的信息：學(xué)生在低年級(jí)（先于形式化代數(shù)）能夠?qū)W會(huì)代數(shù)地推理，課程與教學(xué)需建立在這樣的能力基礎(chǔ)之上．

3.4 針對(duì)早期代數(shù)教學(xué)的教師培訓(xùn)

盡管，課程可提供早期代數(shù)教學(xué)的素材，教師對(duì)于學(xué)生實(shí)際所學(xué)才是最重要的因素．教師的代數(shù)教學(xué)知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的能力在很大程度上影響著學(xué)生代數(shù)地學(xué)習(xí)算術(shù)的能力．為在低年級(jí)發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，教師需做出巨大努力以確保學(xué)生擁有進(jìn)行代數(shù)推理的機(jī)會(huì)．正如布蘭頓（Blanto）和坎普特（Kaput）所強(qiáng)調(diào)的：為了理解和運(yùn)用算術(shù)中的這些代數(shù)思維機(jī)會(huì)，小學(xué)教師尤其需要培養(yǎng)“代數(shù)的眼睛和耳朵”[60]．有針對(duì)性地進(jìn)行培訓(xùn)是增強(qiáng)教師在早期代數(shù)教學(xué)能力的基礎(chǔ)與保障．已有案例或可為早期代數(shù)的教師培訓(xùn)提供思路和視角．

美國(guó)的“認(rèn)知引導(dǎo)的教學(xué)項(xiàng)目”（Cognitively Guided Instruction，CGI）[30]，對(duì)12位教師進(jìn)行長(zhǎng)達(dá)15年的研究，系統(tǒng)幫助他們致力于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，尤其是對(duì)基本結(jié)構(gòu)和算術(shù)性質(zhì)的表達(dá)、表征并說(shuō)明一般化的能力．研究者與教師一起分析了算術(shù)的結(jié)構(gòu)、基本性質(zhì)，思考了能促進(jìn)學(xué)生清晰表達(dá)這些性質(zhì)的一般化學(xué)習(xí)的環(huán)境，以及學(xué)生怎樣思考具體問(wèn)題并試圖證明所給出的一般化是正確的等等，實(shí)現(xiàn)幫助教師專業(yè)發(fā)展的目的．

弗蘭克（Franke）等人的研究[12]設(shè)計(jì)和實(shí)施了聚焦教師專業(yè)發(fā)展“內(nèi)容所涉及的問(wèn)題”，從算術(shù)與代數(shù)兩個(gè)領(lǐng)域自身之間的不同，強(qiáng)調(diào)在數(shù)及運(yùn)算上所做的，與在代數(shù)中所做的兩者之間的不同．他們認(rèn)為與代數(shù)相聯(lián)系的文化與學(xué)校實(shí)踐規(guī)劃了教師參與專業(yè)發(fā)展的方式．布蘭頓（Blanto）和坎普特（Kaput）考察了教師學(xué)習(xí)與能夠幫助或約束那種學(xué)習(xí)的學(xué)校或地區(qū)環(huán)境之間的互惠關(guān)系．他們將教師的學(xué)習(xí)“看作存在于由來(lái)已久的背景中的過(guò)程”．為期5年的小學(xué)教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目幫助教師將實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)代數(shù)化[12]．

4 需進(jìn)一步加強(qiáng)研究的方面

4.1 教師早期代數(shù)教學(xué)能力研究

已有研究對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知關(guān)注較多，但對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)早期代數(shù)的相關(guān)研究相對(duì)缺乏，而小學(xué)教師發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維的能力參差不齊，如何提高小學(xué)教師在早期代數(shù)方面的教學(xué)能力，是早期代數(shù)研究應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題．如，教師進(jìn)行早期代數(shù)教學(xué)所需的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)、教師為培養(yǎng)代數(shù)思維所使用的課堂機(jī)會(huì)、與代數(shù)有關(guān)的教學(xué)方式、教師對(duì)某種文化適應(yīng)的重要性等都需加強(qiáng)研究．

4.2 “數(shù)與代數(shù)”課程鏈實(shí)施的連貫性與一致性研究

目前，在政策文件中，世界各國(guó)幾乎都把算術(shù)和代數(shù)合并為一個(gè)名稱“數(shù)與代數(shù)”．在教學(xué)實(shí)施中，如何將這條課程鏈前后連貫、一致起來(lái)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維是至關(guān)重要的．2006年9月NCTM公布了一份文件：《學(xué)前期到8年級(jí)的數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)：追求一致性》，此文件作為對(duì)《原則和標(biāo)準(zhǔn)》的補(bǔ)充，它確定了每個(gè)年級(jí)有3個(gè)焦點(diǎn)，以及“與焦點(diǎn)內(nèi)容連接”的要點(diǎn)．反映出NCTM制定課程焦點(diǎn)的核心理念，“確定這些年級(jí)課程焦點(diǎn)的目的是使學(xué)生能夠?qū)W習(xí)集中和連貫的課程，以此作為分析與解決問(wèn)題、邏輯推理并進(jìn)行批判性思考的基礎(chǔ)”[31]．要將文件的思想貫徹實(shí)施好，還需做大量的實(shí)踐研究．

4.3 早期代數(shù)對(duì)代數(shù)教學(xué)的作用與影響研究

早期代數(shù)教學(xué)的主要目的在于為代數(shù)的正式學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備．其效果如何，需要及時(shí)進(jìn)行總結(jié)．這包括對(duì)早期代數(shù)教學(xué)本身效果的研究，也包括早期代數(shù)教學(xué)后的初、高中學(xué)生代數(shù)思維能力的跟蹤研究與調(diào)查．教學(xué)效果的研究用以反饋教學(xué)，為及時(shí)地、有針對(duì)性地調(diào)整早期代數(shù)教學(xué)的方方面面等都是極為重要的．

5 早期代數(shù)的國(guó)際研究對(duì)中國(guó)教學(xué)的啟示

應(yīng)該看到，在中國(guó)，早期代數(shù)的相關(guān)研究還很少．早期代數(shù)的思想與做法似乎并未深入人心．研究者分別以“代數(shù)思維”“早期代數(shù)”等為關(guān)鍵詞或主題查閱中國(guó)學(xué)術(shù)期刊網(wǎng)，發(fā)現(xiàn)此類文章數(shù)量極少．相關(guān)的研究專著在中國(guó)更是無(wú)從尋找．與國(guó)外正在蓬勃開(kāi)展的大量相關(guān)研究相比，使研究者感到在中國(guó)開(kāi)展早期代數(shù)研究的必要性與迫切性．或許學(xué)習(xí)借鑒應(yīng)是目前中國(guó)開(kāi)展早期代數(shù)研究的一條思路．早期代數(shù)國(guó)際研究給予人們的啟示是：

5.1 需要對(duì)算術(shù)教學(xué)的本質(zhì)和目的及方法進(jìn)行深入探討

實(shí)施早期代數(shù)的思想與做法，首先需要對(duì)算術(shù)教學(xué)的本質(zhì)、目的和方法進(jìn)行重新探討與定位．

早期代數(shù)視角下，算術(shù)教學(xué)必須要“超越熟練掌握計(jì)算和流利的計(jì)算，注意數(shù)學(xué)深層次的結(jié)構(gòu)”[1]．在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地采取相應(yīng)的策略發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維，包括分析量之間的關(guān)系，注意結(jié)構(gòu)、研究變化，一般化、問(wèn)題解決、建模，判斷，證明以及預(yù)測(cè)等．算術(shù)教學(xué)的目標(biāo)不再局限于熟練、準(zhǔn)確的計(jì)算能力培養(yǎng)這一淺層目標(biāo)，它同時(shí)發(fā)展理解數(shù)學(xué)關(guān)系的新工具，也發(fā)展新的思維習(xí)慣[32]．

早期代數(shù)教學(xué)必須采取一些不同于傳統(tǒng)代數(shù)教學(xué)的方法：（1）常規(guī)的代數(shù)符號(hào)不是表達(dá)代數(shù)思想和關(guān)系的唯一手段．表格、數(shù)字語(yǔ)句、圖表和專門化的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)也能表達(dá)代數(shù)思想；（2）物理量的背景和基礎(chǔ)在早期代數(shù)教育中或許是需要的，盡管在后面的教育中會(huì)合乎情理地縮減或者不再重視；（3）函數(shù)為引出現(xiàn)有的許多早期數(shù)學(xué)主題與活動(dòng)的代數(shù)特征提供了機(jī)會(huì)[2]．

5.2 要研究“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)的一致性與連貫性的方法與途徑

如同世界多數(shù)國(guó)家的課程表述一樣，中國(guó)也將“數(shù)與代數(shù)”作為課程內(nèi)容的一個(gè)整體對(duì)待．然而，在中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，甚至“課程標(biāo)準(zhǔn)”中卻并沒(méi)有“有機(jī)地”將“數(shù)與代數(shù)”聯(lián)系起來(lái)，在數(shù)與代數(shù)之間沒(méi)有“實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系”，二者仍處于相對(duì)分離的狀態(tài)．尤其學(xué)段 1（即1～3年級(jí)）中仍以“數(shù)”為主，很難找到“代數(shù)”的成分[33]．加強(qiáng)“數(shù)與代數(shù)”的有機(jī)聯(lián)系，探討將其作為一個(gè)連貫的課程鏈設(shè)計(jì)課程內(nèi)容與教學(xué)，實(shí)現(xiàn)代數(shù)思維培養(yǎng)的一致性應(yīng)成為“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)的目標(biāo)．

5.3 學(xué)習(xí)借鑒并增加教師早期代數(shù)教學(xué)能力的培訓(xùn)

盡管中國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著滲透代數(shù)思維的良好傳統(tǒng)[5]，但要系統(tǒng)地進(jìn)行早期代數(shù)教學(xué)，教師的教學(xué)能力尚有很大的提高空間．在學(xué)習(xí)借鑒他國(guó)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合中國(guó)數(shù)學(xué)教育自身特點(diǎn)，對(duì)教師進(jìn)行早期代數(shù)教學(xué)的培訓(xùn)，不斷提高中國(guó)小學(xué)教師進(jìn)行早期代數(shù)教學(xué)能力與水平．

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