基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的時(shí)延估計(jì)算法性能分析

湯勇，熊興中

（四川理工學(xué)院自動化與電子信息學(xué)院，四川自貢643000）

基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的時(shí)延估計(jì)算法性能分析

湯勇，熊興中

（四川理工學(xué)院自動化與電子信息學(xué)院，四川自貢643000）

傳統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)算法大多建立在高斯模型的基礎(chǔ)上，利用信號的二階、高階估計(jì)量，可以得到理想的結(jié)果。然而，現(xiàn)實(shí)中的信號往往都處在非高斯環(huán)境下，如通信線路瞬間尖峰和環(huán)境噪聲等，這一類信號的時(shí)域波形中存在一個(gè)明顯的峰值，這時(shí)利用α穩(wěn)定分布模型可以較好地表述非高斯脈沖信號和噪聲。因此有必要對α穩(wěn)定分布模型下的，基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量（FLOS）的時(shí)延估計(jì)算法進(jìn)行研究。通過調(diào)整參數(shù)取值得到的仿真結(jié)果，證明了在非高斯情況下，基于FLOS的時(shí)延估計(jì)算法相對于傳統(tǒng)算法估計(jì)效果更好。

時(shí)延估計(jì)；分?jǐn)?shù)低階；非高斯噪聲；α穩(wěn)定分布

引言

時(shí)間延遲，是指由于同源帶噪信號到達(dá)各個(gè)接收端之間的傳輸距離不同而產(chǎn)生的時(shí)間差。時(shí)延估計(jì)則是指采用信號處理或者參數(shù)估計(jì)等方法，準(zhǔn)確地測量和估算時(shí)間延遲，從而確定信號來源的速度、方位、距離和運(yùn)動的方向等參數(shù)。因此，時(shí)延估計(jì)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各種定位系統(tǒng)中［1-3］。

時(shí)延估計(jì)首先要處理的問題，是如何快速準(zhǔn)確地將接收到的同源信號間的時(shí)間延遲測定出來。由于接收裝置有噪聲干擾，因而接收到的目標(biāo)信號，往往湮沒在噪聲、干擾之中。因此，在信號的時(shí)延估計(jì)中，必須首先去除噪聲、干擾的影響。

在眾多時(shí)延估計(jì)算法中，相關(guān)性方法是應(yīng)用最廣、最為經(jīng)典的估計(jì)法之一，它通過計(jì)算信號的自相關(guān)函數(shù)，然后比較它們峰值的滯后情況，從而估計(jì)信號之間延遲的時(shí)間差。這種方法既簡單易懂，又容易實(shí)現(xiàn)，因而被廣泛應(yīng)用于時(shí)延估計(jì)中［4］。本文主要討論的，正是這種采用相關(guān)法進(jìn)行估計(jì)的算法。相關(guān)分析，是在時(shí)間域上，比較兩個(gè)信號相似程度的基本方法。傳統(tǒng)的時(shí)延估計(jì)，很多情況下都是基于高斯模型假設(shè)的，也即是假定信號和噪聲，都是服從高斯分布的。在這種假定前提下，利用接收信號的二階或者高階累積量，通常就能得到更佳好的結(jié)果［5-6］。然而，在實(shí)際情況中，往往是非高斯噪聲，如水聲信號、環(huán)境噪聲、通信線路瞬間尖峰、大氣低頻雷電噪聲等。這一類信號的時(shí)域波形，有一個(gè)明顯的峰值，這時(shí)由α穩(wěn)定分布模型能較好地描述非高斯脈沖信號和噪聲。因此傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量及基于高階累積量的方法都不再適用，因而近年來出現(xiàn)了描述非高斯噪聲的基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量FLOS的時(shí)延估計(jì)算法，以及α穩(wěn)定分布模型［7-8］。

1 α穩(wěn)定分布和分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

1.1 α穩(wěn)定分布

高斯分布中，模型建立是依據(jù)中心極限定理，同樣地，α穩(wěn)定分布也是依據(jù)中心極限定理。根據(jù)中心極限

其中，參數(shù)α∈（0，2］為特征指數(shù)，表示α穩(wěn)定分布函數(shù)的拖尾，α的值更小，拖尾也就更寬，脈沖特性越顯著，反之，α值的更大，拖尾也就更窄，脈沖特性削弱。當(dāng)α＝2時(shí)，即為高斯分布；參數(shù)β∈（－1，1）為對稱參數(shù)，表征α穩(wěn)定分布對稱性。當(dāng)β＝0時(shí)，稱為對稱α穩(wěn)定分布，這樣的分布記為SαS；參數(shù)γ＞0為分散系數(shù)，表示α穩(wěn)定分布過程分散程度，與高斯分布中的方差性質(zhì)相似，在高斯情況下（即α＝2），γ的大小為方差的1／2；參數(shù)a∈［－∞，∞］為位置參數(shù)，對于SαS分布，a就是分布的均值（1＜α≤2時(shí)）或中值（0＜α＜1時(shí)）。當(dāng)參數(shù)a＝0，γ＝1時(shí)，α穩(wěn)定分布被稱為標(biāo)準(zhǔn)α穩(wěn)定分布。

在α＝2時(shí)，特征函數(shù)式（1）變?yōu)椋憾ɡ恚?dāng)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象由無窮多個(gè)、存在有限方差的獨(dú)立分量構(gòu)成，那么這種現(xiàn)象就近似看成服從高斯分布。相對于中心極限定理，存在著一個(gè)更加一般性的定理，即廣義中心極限定理。根據(jù)廣義中心極限定理可以知道，對于任意具有相同分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量，無論各個(gè)隨機(jī)變量存在有限方差與否，只要變量的數(shù)目無限增加，那么變量之和必將收斂于α穩(wěn)定分布簇。這樣，與高斯分布的形成相同，非高斯α穩(wěn)定分布同樣是來源于多個(gè)隨機(jī)變量之和。因此，如果對觀測信號或噪聲信號經(jīng)過一定的處理，能將它們變成獨(dú)立同分布之和，那么就可以根據(jù)廣義中心極限定理，將它們用α穩(wěn)定模型進(jìn)行表示。

α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)式不同于概率密度函數(shù)，有一致的封閉表達(dá)式：

其均值為a、方差為2σ2的高斯分布相同，因此α穩(wěn)定分布也被認(rèn)為是廣義上的高斯分布［9］，即高斯分布實(shí)際上就是α穩(wěn)定分布中的特殊情況。當(dāng)0＜α＜2時(shí)，SαS分布繼承了高斯分布一部分特性，但還是有顯著不同之處，特別是在它的統(tǒng)計(jì)分布上有比較寬的拖尾，即相當(dāng)一部分樣本數(shù)離中值或者均值較遠(yuǎn)，因而引起其時(shí)間域波形上出現(xiàn)許多尖峰脈沖。

通常把0＜α＜2情況下的非高斯穩(wěn)定分布定義成分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布，用來與α＝2情況下的高斯分布區(qū)別開。參數(shù)a＝0，γ＝1的α穩(wěn)定分布稱為標(biāo)準(zhǔn)α穩(wěn)定分布［10-11］。對于任意一個(gè)位置參數(shù)為a、分散系數(shù)為γ、特征指數(shù)為α、對稱參數(shù)為β的α穩(wěn)定分布X而言，有：

任意的對稱α穩(wěn)定分布均能通過式（3）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。因此，本文均假定β＝0，a＝0，γ＝1，即對稱標(biāo)準(zhǔn)α穩(wěn)定分布情況。

作為建模工具，穩(wěn)定α分布具有很高的變通性，這主要是由它的特征指數(shù)α決定的，在0＜α＜2范圍內(nèi)可以隨意的變換其分布的拖尾寬度。當(dāng)噪聲信號中含有明顯的尖峰時(shí)，α的值就較?。涣硪环矫?，當(dāng)α越接近于2，信號就偏向于具有高斯特性；特殊地，當(dāng)α＝2時(shí)，則服從高斯分布。

1.2 分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量FLOS

由廣義中心極限定理可以知道，α穩(wěn)定分布是僅有的一種能夠形成同分布獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布。對于服從α穩(wěn)定分布的這些隨機(jī)信號，它們并不具有二階或者高階統(tǒng)計(jì)量。因此，在對這種信號進(jìn)行處理時(shí)，如果還是沿用原有的基于二階或者是高階統(tǒng)計(jì)量的方法，就很有可能會得到錯(cuò)誤的結(jié)果。很多文獻(xiàn)都已經(jīng)表明，即使是數(shù)據(jù)中僅含有少量遠(yuǎn)離正常值的樣本時(shí)，原來使用最小二乘準(zhǔn)則也會顯著退化，不能正常工作。因此，在非高斯α穩(wěn)定分布信號噪聲的背景下，利用FLOS正在漸漸成為信號處理與分析的一個(gè)非常必要的方法［12-13］。

在高斯噪聲模型中，往往是以二階統(tǒng)計(jì)量為信號分析、處理的最佳準(zhǔn)則，像最小二乘準(zhǔn)則、最小均方誤差準(zhǔn)則等。在α穩(wěn)定分布下，信號或噪聲沒有有限的，諸如方差這類二階統(tǒng)計(jì)量，但信號或噪聲的低階統(tǒng)計(jì)量又是可以計(jì)算的。在這種情況下，就無法用二階的最佳準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定分布下的最佳。但是，盡管缺乏有限的方差仍然可以借用上述最佳準(zhǔn)則思想。在這種情況中，將線性穩(wěn)定分布中的最小均方誤差準(zhǔn)則思想推廣為最小分散系數(shù)準(zhǔn)則，這里，使用分散系數(shù)來替代原有的方差。分散系數(shù)達(dá)到最小化，就能使平均幅度最小化。許多研究表明，讓分散系數(shù)達(dá)到最小化與讓估計(jì)誤差概率到達(dá)最小化是等同的。因而，由最小均方誤差準(zhǔn)則引出的最小分散系數(shù)準(zhǔn)則，由于其計(jì)算量小，從而得到了廣泛的應(yīng)用。

在通常情況下，對于隨機(jī)變量X，將它的二階矩定義成E［X2］。對于α穩(wěn)定分布隨機(jī)變量，把它的分?jǐn)?shù)低階矩定義成，其中0＜p＜α≤2。

將FLOS應(yīng)用于具有脈沖特性的信號與噪聲的處理中，能夠得到很理想的效果。但是，F(xiàn)LOS算法還是有一些不足之處。首先，在代數(shù)拖尾方面，F(xiàn)LOS算法沒有給出一個(gè)都適用的框架。另外，因?yàn)榫氐碾A數(shù)p常常局限在（0，α）范圍里，然而p值的確定要根據(jù)于對隨機(jī)變量α值的估計(jì)，如果選擇p≥α，則FLOS算法不能正常工作。

2 基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的時(shí)延估計(jì)

2.1 基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的時(shí)間延遲估計(jì)法

類似協(xié)方差的定義，定義兩個(gè)隨機(jī)過程X1（n）和X2（n）之間的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差［14］為：

其中，0≤A＜α／2，0≤B＜α／2。則樣本分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的估計(jì)式定義為：由（6）式估計(jì)出時(shí)間延遲［15］。時(shí)延估計(jì)算法的性能與參數(shù)A、B的取值有很大的關(guān)系。

2.2 針對參數(shù)A、B的不同取值時(shí)的性能分析［16-17］

根據(jù)定義，參數(shù)A、B在0≤A＜α／2，0≤B＜α／2范圍內(nèi)。由于α∈（0，2］，因此，可以討論A、B在0≤A＜1，0≤B＜1范圍內(nèi)上述時(shí)延估計(jì)算法的性能。這里，在給定α以及固定時(shí)延D的情況下，先考慮A＝0，B＝0的情況。當(dāng)A＝0，B＝0時(shí)，樣本分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的估計(jì)式（4）變?yōu)椋?/p>

由于E｛Rd（m）｝＝Cdδ（m＋D），Cd為非常數(shù)，

3 仿真分析

這里，選取在α＝1.8的SαS噪聲分布環(huán)境下，給定時(shí)延D＝10，選擇參數(shù)A＝0，B＝0，通過Matlab仿真得到的結(jié)果如圖1所示。

從圖1可知，在D＝10處，波形的峰值區(qū)域較窄，其峭度也越大，因而時(shí)延估計(jì)函數(shù)argmax（）所取得的函數(shù)值越準(zhǔn)確，因而得到的時(shí)延估計(jì)值越接近給定的D＝10，所以這種情況下時(shí)延估計(jì)算法性能越好。

以圖1為基礎(chǔ)，在0≤A＜1，0≤B＜1范圍內(nèi)，逐漸增大A、B的值，依次取值0.1、0.2、0.4、0.6、0.8，如圖2所示，通過觀察時(shí)延估計(jì)信號的波形變化，觀察峰值區(qū)域的變化以及圖形的峭度，從而進(jìn)一步分析時(shí)延估計(jì)算法的性能。通過不同A、B的值的波形的對比，比較參數(shù)A、B對時(shí)延估計(jì)算法的性能的影響，以及比較一般相關(guān)性的時(shí)延估計(jì)算法和基于FLOS的時(shí)延估計(jì)算法的性能。

由圖2（a）～圖2（e）可知，隨著參數(shù)A、B的逐漸增大，時(shí)延估計(jì)在D＝10處的峰值區(qū)域在逐漸增大，因而估計(jì)函數(shù)argmax（）不能得到更準(zhǔn)確的值，此時(shí)可以看到算法性能明顯變差。當(dāng)A＝0.8，B＝0.8（圖2（e））時(shí)，在仿真中已經(jīng)無法準(zhǔn)確估計(jì)出給定時(shí)延值D＝10。這是由于A、B的取值越趨近與1，分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的估計(jì)式就越來越接近于原有的一般相關(guān)性的二階協(xié)方差的估計(jì)式，噪聲模型就愈加接近高斯噪聲模型。然而給定的噪聲是α＝1.8的SαS分布噪聲，不符合高斯噪聲的特性，不存在有限的二階統(tǒng)計(jì)量，因而基于傳統(tǒng)的二階統(tǒng)計(jì)量基礎(chǔ)上的時(shí)延估計(jì)算法，就不能有效地進(jìn)行估計(jì)時(shí)延。

特別是在A＝1，B＝1的特殊情況下，即原表達(dá)式變?yōu)橐话愕膮f(xié)方差矩陣的時(shí)候，此時(shí)，分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差估計(jì)的方法，就退化成了一般相關(guān)性法，可以看出，原有的一般相關(guān)性法已經(jīng)明顯不適合這種α＝1.8的SαS噪聲分布過程。這時(shí)，利用分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣，就能獲得更理想的時(shí)延估計(jì)結(jié)果。

4 結(jié)束語

在α∈（0，2）的SαS噪聲環(huán)境中，信號或噪聲不含有有限二階統(tǒng)計(jì)量，因而，傳統(tǒng)的所有基于二階統(tǒng)計(jì)量基礎(chǔ)上的算法就都不能準(zhǔn)確而有效的估計(jì)時(shí)延。這時(shí)，所有基于二階統(tǒng)計(jì)量的最佳準(zhǔn)則，均無法達(dá)到α穩(wěn)定分布的條件下的最佳。但是，依據(jù)基于α穩(wěn)定分布過程的線性理論，我們可以利用擴(kuò)展出來的最小均方誤差準(zhǔn)則的思想，將原算法中的方差替換為α穩(wěn)定分布信號的分散系數(shù)。這時(shí)，這一準(zhǔn)則的思想被推廣為最小分散系數(shù)準(zhǔn)則，于是就有了用FLOS來估計(jì)時(shí)延的研究。

然而，在目前基于FLOS的時(shí)延估計(jì)中，對于參數(shù)A、B對系統(tǒng)性能影響的分析還比較少，因此本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，通過改變基于FLOS的時(shí)延估計(jì)算法中參數(shù)A、B的取值，然后進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了這種FLOS基礎(chǔ)上的時(shí)延估計(jì)算法在α∈（0，2）的SαS噪聲環(huán)境下，仍然能夠準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。并且在此基礎(chǔ)上，通過不斷改變參數(shù)A、B的取值，并通過計(jì)算機(jī)仿真，分析比較了各種取值下估計(jì)法的性能，得出了這種時(shí)延估計(jì)算法在參數(shù)A、B趨近于0的情況下達(dá)到最佳的性能的結(jié)論。同時(shí)，在參數(shù)A、B趨近于1的情況下，即原有分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣，退化成為一般的協(xié)方差矩陣的時(shí)候，時(shí)延估計(jì)效果明顯變差。這也進(jìn)一步表明在α∈（0，2）的SαS噪聲環(huán)境下，原有的基于一般相關(guān)性的時(shí)延估計(jì)方法已經(jīng)不再適用。

［1］鄧平,范平志.蜂窩系統(tǒng)無線定位的原理及應(yīng)用［J］.移動通信,2000（5）：19-22.

［2］楊偉超.A lpha穩(wěn)定分布噪聲下通信信號調(diào)制識別研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué),2012.

［3］Drane C,Macnaughtan M,Scott C.Positioning GSM telephones［J］.Communications Magazine,IEEE,1998,36（4）：46-59.

［4］孟磊.α穩(wěn)定分布噪聲下的盲多用戶檢測算法研究［D］.成都：西南交通大學(xué),2013.

［5］邱天爽,魏東興,唐洪,等.通信中的自適應(yīng)信號處理［M］.北京：電子工業(yè)出版社,2005.

［6］邱天爽,張旭秀,李小兵,等.統(tǒng)計(jì)信號處理：非高斯信號處理及其應(yīng)用［M］.北京：電子工業(yè)出版社,2004.

［7］劉成材.基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的DOA和TDOA估計(jì)法研究［D］.長春：吉林大學(xué),2006.

［8］鄧平,李莉,范平志.一種TDOA/AOA混合定位算法及其性能分析［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào),2002,17（6）：633-636.

［9］呂澤均,肖先賜.在沖擊噪聲環(huán)境中基于子空間的測向算法研究［J］.航空學(xué)報(bào),2003,24（2）：174-177.

［10］Villier E,Lopes L,Ludden B.Performance of a handsetassisted positioningmethod for GSM［C］//Proceeding of IEEE 49th Vehicular Technology Conference on Moving Into a New M illenium（VTC 99）,Houston,May 16-20,1999：1967-1972.

［11］劉洋,邱天爽,李景春.脈沖噪聲環(huán)境下改進(jìn)的頑健循環(huán)時(shí)延估計(jì)算法［J］.通信學(xué)報(bào),2013,34（6）：184-190.

［12］Cedervall M.Mobile positioning for third generation WCDMA system［C］//Proceeding of IEEE 1998 International Conference on Universal Personal Communications,Florence,October 5-9,1998：1373-1377.

［13］QiY H,KobayashiH,Suda H.Analysis ofw ireless geolocation in a non-line-of-sight environment［J］.IEEE Transactions on W ireless Communications,2006,5（3）：672-681.

［14］Janaswamy R.Angle and time of arrival statistics for the Gaussian Scatter Density Model”［J］,IEEE Transactions on W ireless Communications,2002,1（3）：488-497.

［15］韋萌.蜂窩網(wǎng)絡(luò)TOA/TDOA定位技術(shù)研究［D］.西安：西安電子科技大學(xué),2010.

［16］單志明.α穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)及自適應(yīng)濾波算法研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué),2012.

［17］李森.穩(wěn)定分布噪聲下通信信號處理新算法及性能分析［D］.大連：大連理工大學(xué),2011.

Performance Analysis of Time-delay Estimation Algorithm Based on Fractional Lower-order Statistics

TANG Yong，XIONG Xingzhong
（School of Automation and Electronic Information，Sichuan University of Science＆Engineering，Zigong 643000，China）

Lots of traditional time-delay estimation algorithms are built based on Gaussianmodel.In this case，the use of second-order and higher-order estimator of signal can get the desired results.However，the actual signal is often under the situation of non-Gaussian，such as communications line instant spikes，ambient noise，and so on.These signs have significant spikes in the time-domain waveform.At thismoment，alpha stable distributionmodel can be a betterway to describe this type of non-Gaussian pulse signal and noise.Therefore，it is necessary to study the time-delay estimation algorithm based on fractional lower-order statistics（FLOS）in alpha stable distribution model.The simulation results obtained by adjusting the parameters values in this paper show that the estimated effect of time-delay estimation algorithm based on FLOS is better than that of traditional algorithms in the case of non-Gaussian.

time-delay estimation；fractional lower-order；non-Gaussian noise；alpha stable distribution

TN911

A

1673-1549（2014）04-0038-05

10.11863／j.suse.2014.04.10

2014-02-25

四川省杰出青年基金項(xiàng)目（2011JQ0034）；四川省省屬高校科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃基金項(xiàng)目（13TD0017）；人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目（2012RYJ05）

湯勇（1988-），男，四川自貢人，碩士生，主要從事現(xiàn)代信號處理方面的研究，（E-mail）346965751＠qq.com