探究性學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐

王波

我國(guó)現(xiàn)在的教育正在進(jìn)行著全面的改革之中.在國(guó)家教育部的關(guān)于基礎(chǔ)教育改革的文件當(dāng)中，就把學(xué)生的探究性自主學(xué)習(xí)的能力培養(yǎng)放在了第一位.高中數(shù)學(xué)的教學(xué)模式如果還是因循守舊，照著舊的模式進(jìn)行“填鴨式”的教育，那么很難培養(yǎng)出高質(zhì)量的數(shù)學(xué)人才.現(xiàn)在世界各地的基礎(chǔ)教育正在大力地倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)方法.

高中數(shù)學(xué)相對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，其教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)修養(yǎng).讓學(xué)生能夠自主地處理一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題.傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式一般是以“模、仿、練”為主.而這樣的教學(xué)模式很容易使得學(xué)生產(chǎn)生出慣性思維，不利于學(xué)生的自主創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，也很難讓學(xué)生發(fā)揮出自身的數(shù)學(xué)天賦.探究性學(xué)習(xí)和高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的有效結(jié)合，不僅能夠讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)世界中的美，培養(yǎng)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，還能夠鍛煉學(xué)生的自主創(chuàng)新能力.

一、我國(guó)目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀分析

高中數(shù)學(xué)的探究性學(xué)習(xí)方式改革在我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)體制改革中是具有里程碑意義的.探究即是探索、研究的意思.處于高中階段的學(xué)生，正是處于青春萌動(dòng)、朝氣蓬勃的年華之中，對(duì)于世界充滿探知的欲望，對(duì)于新事物的接受能力、理解能力也是最強(qiáng)的.在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，如果我們能夠培養(yǎng)起學(xué)生們探究性學(xué)習(xí)的能力，不但對(duì)于這個(gè)學(xué)生未來(lái)漫長(zhǎng)的人生方向有著重要的引導(dǎo)作用，對(duì)于學(xué)生的人格塑造也起著積極作用.但是就目前我國(guó)的高中數(shù)學(xué)教育在這方面所做的 努力工作來(lái)看，依然還是收效甚微，弊端叢生.

1.學(xué)生因素

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)課本中，數(shù)學(xué)的基本概念、定理、公理會(huì)占有很大的內(nèi)容.學(xué)生們進(jìn)行這些公式定理的學(xué)習(xí)時(shí)，總是靠著死記硬背為主.許多學(xué)生不明白公式定理出現(xiàn)的緣由.對(duì)于考試試卷中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)證明題，學(xué)生們也大多數(shù)地是以直接運(yùn)用公式定理為主，即使能夠完成證明，也不明白這么證明的意義在哪里，為什么要這么證明.而且，在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)的滿分為150，占有的比例頗大.高考數(shù)學(xué)的題型差不多年年固定，重要的知識(shí)點(diǎn)變來(lái)變?nèi)ヒ策€是那幾個(gè).學(xué)生們?cè)谧鲱}的時(shí)候，可能只會(huì)注重于如何來(lái)解題，如何來(lái)拿到分?jǐn)?shù).這樣的學(xué)習(xí)態(tài)度加大了老師進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)方法培養(yǎng)的難度.而且現(xiàn)今的高中學(xué)生們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)候，已經(jīng)普遍的存在著這樣的一種學(xué)習(xí)狀態(tài).面對(duì)于一個(gè)棘手的數(shù)學(xué)難題，一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生首要想到的便是參閱答案的解題思路和解題方法，不會(huì)自己去尋找解題的突破口，更不會(huì)自己靜下心來(lái)潛心去研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題，思索其中的奧妙所在.

2.老師因素

老師上課時(shí)，在講解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，為了能夠充分利用起課堂的時(shí)間，很少給學(xué)生們獨(dú)立思考的能力.在講解關(guān)于一些復(fù)雜的難題、例題時(shí)，大多數(shù)的老師會(huì)采用演示一遍即過的教學(xué)方式.重要的在于培養(yǎng)學(xué)生們解題拿分的能力，忽略了學(xué)生們學(xué)習(xí)過程中關(guān)于數(shù)學(xué)解題過程中的邏輯思維能力、發(fā)散能力的培養(yǎng).很少有老師，在講解完一個(gè)例題或者一些習(xí)題之后，將之與生活實(shí)際相聯(lián)系起來(lái).整個(gè)課堂的教學(xué)氣氛相當(dāng)?shù)目菰铮瑢W(xué)生上課少有學(xué)習(xí)的熱情，而老師一個(gè)人在講臺(tái)聒噪也甚沒意思.而且探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)模式，在我國(guó)興起的時(shí)間還不是特別的久.許多的老教師還是在延續(xù)著他們?cè)瓉?lái)的那種教學(xué)模式.這些已經(jīng)形成了教學(xué)思維定式的老教師們，要想著一下子就能夠讓他們轉(zhuǎn)變過來(lái)，也確實(shí)是為難了他們.不管是年輕的老師，還是那些經(jīng)驗(yàn)豐富的老師，面對(duì)于學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)都是力不從心、鞭長(zhǎng)莫及.

二、探究性數(shù)學(xué)教學(xué)模式改革途徑

1.設(shè)置趣味的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)景

興趣在學(xué)習(xí)過程中起著極大的推動(dòng)作用，在高中教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，數(shù)學(xué)教材和實(shí)際生活中有著密切的聯(lián)系，學(xué)生要從現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去.

如橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)片段：

師： 我們的日常生活中，橢圓隨處可見.你能舉出橢圓形的例子嗎？

生：斜著切出來(lái)的四色卷是橢圓的.

生：我媽項(xiàng)鏈中間的飾物是橢圓形的.

生：嫦娥二號(hào)繞月球運(yùn)行的軌道是橢圓形的.

創(chuàng)設(shè)情境：請(qǐng)拿出預(yù)先準(zhǔn)備的圓形紙片（ 圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)） ，將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過F點(diǎn)，將折痕用筆畫上顏色，繼續(xù)上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形.

探究1：多媒體演示.讓我們回到折紙活動(dòng)中，看看得到的橢圓究竟是怎樣形成的.我們不妨來(lái)分析其中的一個(gè)折疊過程.此時(shí)圓周上的點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，連接OA，交折痕BC 于點(diǎn)M，那么點(diǎn)M的軌跡是什么？

探究2：取一條定長(zhǎng)的細(xì)線，把它的兩端都固定在圖板的兩個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊細(xì)線，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？情境：用“幾何畫板”進(jìn)行動(dòng)畫演示，進(jìn)一步使學(xué)生從視覺上感受橢圓的形成過程及其幾何關(guān)系.

在這個(gè)案例中，教師充分發(fā)揮主動(dòng)性和創(chuàng)造性，從學(xué)生的年齡特征出發(fā)，對(duì)教材內(nèi)容做不同程度的處理，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，把學(xué)生引入一種迫切探究的狀態(tài)，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.教師發(fā)揮主導(dǎo)性，努力為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)的自由環(huán)境，誘發(fā)學(xué)生探究的主動(dòng)性.

2.培養(yǎng)學(xué)生從多角度看待問題的能力

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要關(guān)注學(xué)生的差異性，有效地實(shí)施有差異的教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都得到充分的發(fā)展，面對(duì)全體學(xué)生多元化的學(xué)習(xí)要求，多角度分析、看待問題能很好地達(dá)到這一要求.學(xué)生通過一系列分析，展開發(fā)散性思維，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)經(jīng)過推理，得出正確結(jié)論，充分顯示思維的多樣性，同時(shí)也體現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性化，從而全方位地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中通過多角度看待問題經(jīng)歷適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)交流活動(dòng)，讓他們感受到別人的思維方式和思維過程，以改變自己在認(rèn)識(shí)上的單一性，從而發(fā)展學(xué)生的求異思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮主體精神，培養(yǎng)學(xué)生達(dá)到個(gè)性良好發(fā)展的目的.從多角度看待問題，轉(zhuǎn)換思維的方法有很多：從一般到特殊的思維也在此列，如有些數(shù)學(xué)問題，所要求的結(jié)論在一般情況下不容易推出，但在特殊情況下，反倒易處理，因?yàn)橛行﹩栴}的普遍性經(jīng)常寓于特殊性之中，換個(gè)角度考慮，如果把要解決的問題化歸為某個(gè)特殊問題，再把解決特殊情況的方法或結(jié)論應(yīng)用到或推廣到一般問題上去，解決問題就易如反掌了.

例 點(diǎn)P在雙曲線2x2-y2=1上，定點(diǎn)A（0，4），求動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A距離 AP的最大值.對(duì)于此題學(xué)生很容易求解，解完這道題后，教師要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，同學(xué)們能不能仿照此題給出一個(gè)新的題目呢？通過學(xué)生的主動(dòng)參與，探究及分析，總結(jié)出以下幾種變題：

變式1：將求 AP的最大值改為求 AP的最小值.

變式2：將雙曲線改為橢圓：2x2+y2=1，結(jié)論改為求AP的最值.

變式3：將雙曲線改為拋物線y2=4x，結(jié)論改為求 AP的最小值.

變式4：已知點(diǎn)P在雙曲線2x2-y2=1上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

變式5：動(dòng)點(diǎn)Q在圓x2+y2-2y=1上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P

在雙曲線2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意聯(lián)系起生活實(shí)踐

重視數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，新編高中數(shù)學(xué)教材把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫穿在教材編寫的始終.書中的大部分章節(jié)的引入都是從實(shí)際中提出問題，并且在每節(jié)的例題、練習(xí)中增加了大量的聯(lián)系實(shí)際的內(nèi)容.在每章后開設(shè)有研究性課題和閱讀材料，其目的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).應(yīng)用性問題的考查把生活實(shí)際有關(guān)的具體情境與抽象的數(shù)學(xué)搭建起一座橋梁，幫助學(xué)生由生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，即學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的思想，這也要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，通過教學(xué)將數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用問題結(jié)合起來(lái)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)“應(yīng)用意識(shí)”和探究意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)關(guān)注身邊的實(shí)際問題，開辟了一條行之有效的途徑.

例 某同學(xué)生日，很多同學(xué)前來(lái)祝賀，買了一個(gè)大蛋糕并用刀分之，問切1刀最多分蛋糕幾部分？切2刀最多分幾部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指豎直方向 ）.同學(xué)們探究后紛紛得出結(jié)論：1 刀最多分兩部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨設(shè)第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.學(xué)生經(jīng)過探究后發(fā)現(xiàn)，第2刀分蛋糕數(shù)等于第一刀分蛋糕數(shù)加2，第3刀所分部分?jǐn)?shù)等于第2刀所分部分?jǐn)?shù)加3，第4刀所分部分?jǐn)?shù)等于第3刀所分部分?jǐn)?shù)加4，第5刀所分部分?jǐn)?shù)等于第4刀所分部分?jǐn)?shù)加5.那么以此類推猜想第n刀所分部分?jǐn)?shù)等于第（n-1）刀所分部分?jǐn)?shù)加 n，即：an=an-1+n.這種求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是數(shù)學(xué)中的歸納推理法.

例 點(diǎn)P在雙曲線2x2-y2=1上，定點(diǎn)A（0，4），求動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A距離 AP的最大值.對(duì)于此題學(xué)生很容易求解，解完這道題后，教師要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，同學(xué)們能不能仿照此題給出一個(gè)新的題目呢？通過學(xué)生的主動(dòng)參與，探究及分析，總結(jié)出以下幾種變題：

變式1：將求 AP的最大值改為求 AP的最小值.

變式2：將雙曲線改為橢圓：2x2+y2=1，結(jié)論改為求AP的最值.

變式3：將雙曲線改為拋物線y2=4x，結(jié)論改為求 AP的最小值.

變式4：已知點(diǎn)P在雙曲線2x2-y2=1上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

變式5：動(dòng)點(diǎn)Q在圓x2+y2-2y=1上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P

在雙曲線2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意聯(lián)系起生活實(shí)踐

重視數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，新編高中數(shù)學(xué)教材把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫穿在教材編寫的始終.書中的大部分章節(jié)的引入都是從實(shí)際中提出問題，并且在每節(jié)的例題、練習(xí)中增加了大量的聯(lián)系實(shí)際的內(nèi)容.在每章后開設(shè)有研究性課題和閱讀材料，其目的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).應(yīng)用性問題的考查把生活實(shí)際有關(guān)的具體情境與抽象的數(shù)學(xué)搭建起一座橋梁，幫助學(xué)生由生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，即學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的思想，這也要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，通過教學(xué)將數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用問題結(jié)合起來(lái)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)“應(yīng)用意識(shí)”和探究意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)關(guān)注身邊的實(shí)際問題，開辟了一條行之有效的途徑.

例 某同學(xué)生日，很多同學(xué)前來(lái)祝賀，買了一個(gè)大蛋糕并用刀分之，問切1刀最多分蛋糕幾部分？切2刀最多分幾部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指豎直方向 ）.同學(xué)們探究后紛紛得出結(jié)論：1 刀最多分兩部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨設(shè)第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.學(xué)生經(jīng)過探究后發(fā)現(xiàn)，第2刀分蛋糕數(shù)等于第一刀分蛋糕數(shù)加2，第3刀所分部分?jǐn)?shù)等于第2刀所分部分?jǐn)?shù)加3，第4刀所分部分?jǐn)?shù)等于第3刀所分部分?jǐn)?shù)加4，第5刀所分部分?jǐn)?shù)等于第4刀所分部分?jǐn)?shù)加5.那么以此類推猜想第n刀所分部分?jǐn)?shù)等于第（n-1）刀所分部分?jǐn)?shù)加 n，即：an=an-1+n.這種求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是數(shù)學(xué)中的歸納推理法.

例 點(diǎn)P在雙曲線2x2-y2=1上，定點(diǎn)A（0，4），求動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A距離 AP的最大值.對(duì)于此題學(xué)生很容易求解，解完這道題后，教師要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，同學(xué)們能不能仿照此題給出一個(gè)新的題目呢？通過學(xué)生的主動(dòng)參與，探究及分析，總結(jié)出以下幾種變題：

變式1：將求 AP的最大值改為求 AP的最小值.

變式2：將雙曲線改為橢圓：2x2+y2=1，結(jié)論改為求AP的最值.

變式3：將雙曲線改為拋物線y2=4x，結(jié)論改為求 AP的最小值.

變式4：已知點(diǎn)P在雙曲線2x2-y2=1上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)A（0，a）（a>0），求AP的最小值.

變式5：動(dòng)點(diǎn)Q在圓x2+y2-2y=1上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P

在雙曲線2x2-y2=1，求PQ的最小值.

3.注意聯(lián)系起生活實(shí)踐

重視數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，新編高中數(shù)學(xué)教材把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫穿在教材編寫的始終.書中的大部分章節(jié)的引入都是從實(shí)際中提出問題，并且在每節(jié)的例題、練習(xí)中增加了大量的聯(lián)系實(shí)際的內(nèi)容.在每章后開設(shè)有研究性課題和閱讀材料，其目的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).應(yīng)用性問題的考查把生活實(shí)際有關(guān)的具體情境與抽象的數(shù)學(xué)搭建起一座橋梁，幫助學(xué)生由生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，即學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的思想，這也要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，通過教學(xué)將數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用問題結(jié)合起來(lái)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)“應(yīng)用意識(shí)”和探究意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)關(guān)注身邊的實(shí)際問題，開辟了一條行之有效的途徑.

例 某同學(xué)生日，很多同學(xué)前來(lái)祝賀，買了一個(gè)大蛋糕并用刀分之，問切1刀最多分蛋糕幾部分？切2刀最多分幾部分？切3 刀、切4刀、切5刀呢？ （ 指豎直方向 ）.同學(xué)們探究后紛紛得出結(jié)論：1 刀最多分兩部分；2刀最多分四部分；3刀最多分七部分；4刀最多分十一部分；5刀最多分十六部分；那么第n刀把蛋糕最多分成多少部分呢？ 不妨設(shè)第1刀分a1部分，第2刀分a2部分，第n刀分an部分.學(xué)生經(jīng)過探究后發(fā)現(xiàn)，第2刀分蛋糕數(shù)等于第一刀分蛋糕數(shù)加2，第3刀所分部分?jǐn)?shù)等于第2刀所分部分?jǐn)?shù)加3，第4刀所分部分?jǐn)?shù)等于第3刀所分部分?jǐn)?shù)加4，第5刀所分部分?jǐn)?shù)等于第4刀所分部分?jǐn)?shù)加5.那么以此類推猜想第n刀所分部分?jǐn)?shù)等于第（n-1）刀所分部分?jǐn)?shù)加 n，即：an=an-1+n.這種求n刀最多分蛋糕多少部分的方法便是數(shù)學(xué)中的歸納推理法.