對上海試題中三類邊界問題的探討

樓可飛

邊界問題，往往涉及函數(shù)的最值、參數(shù)的范圍， 試題情景具有開放性，富有探究性，這類試題要求考生根據(jù)點(diǎn)的邊界去尋找?guī)缀侮P(guān)系式，考查考生綜合分析邊界問題的能力.筆者看了近幾年的上海高考試題，幾乎每份試卷都涉及此類問題，尤其是一些選擇題、填空題，短小精悍，個別題目如果老老實(shí)實(shí)做，不僅有一定難度、而且耗時耗力，也影響到考試的心情，需要考生從邊界入手.

一、圓上、圓內(nèi)、圓外

例1 （2008上海試題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Ω是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)，若點(diǎn)P（x，y）、P′（x′，y′）滿足x≤x′且y≥y′，則稱P優(yōu)于P′，如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧 .

A.AB B.BC C.CD D.DA

分析 “不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”即為“Q優(yōu)于Ω中的任意點(diǎn)R”，xQ≤xR，

yQ≥yR，由xQ≤xR得點(diǎn)Q組成的集合是半圓ADC，由yQ≥xR得點(diǎn)Q組成的集合是半圓DAB，所以點(diǎn)Q組成的集合是劣弧DA，選擇（D）.

探討1 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≥x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧AB.

圖1 圖2探討2 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≤x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧DC.

探討3 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≥x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧BC.

探討4 若原題中“如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”改為“如果Ω外的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω外的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”，其它不變，則所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是如圖2所示的陰影區(qū)域Ⅱ（正方形內(nèi)、圓外，都含邊界）.

二、橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外

給定橢圓x2a2+y2b2<1（a>b>0）及點(diǎn)P（x0，y0），則

（1）點(diǎn)P在橢圓上x20a2+y20b2=1；

（2）點(diǎn)P在橢圓內(nèi)x20a2+y20b2<1；

（3）點(diǎn)P在橢圓外x20a2+y20b2>1.

例2 （2008年上海試題）某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓.已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點(diǎn)上.現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為θ1、θ2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .

圖3分析 如圖4，設(shè)甲、乙導(dǎo)航燈分別在點(diǎn)A、B，它們在海平面上的投影分別為F1、F2.在△AF1P中，仰角∠F1PA=θ1，得|PF1|=h1cotθ1.同理在△BF2P中，仰角∠F2PB=θ2，得|PF2|=h2cotθ2.若點(diǎn)P在橢圓邊界上，則由橢圓的第一定義得|PF1|+|PF2|=2a.

這時，我們聯(lián)想到：若點(diǎn)P在橢圓邊界外呢？|PF1|+|PF2|>2a. 若點(diǎn)P在橢圓邊界內(nèi)呢？|PF1|+|PF2|<2a.所以船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是h1cotθ1+h2cosθ2≤2a.

探討 “淺水區(qū)”改為“深水區(qū)”，其它不變，則判別條件是 .（h1cotθ1+h2cotθ2≥2a）

例3 （2012年上海試題）如圖4，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD體積的最大值是 .

圖4 圖5

分析 AD=2c說明線段AD的長度是定值，可以先固定線段AD.如何理解“AB+BD=AC+CD=2a”？說明：點(diǎn)B到兩定點(diǎn)A、D距離的和為定值2a，點(diǎn)C到兩定點(diǎn)A、D距離的和為定值2a，聯(lián)想到橢圓的定義，得動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的橢圓上，

不過動中有靜：BC=2.其實(shí)，這里涉及的是空間問題，應(yīng)理解為：動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的橢球上，如圖5.

由于AD⊥BC，則BC應(yīng)在與橢球中與軸AD垂直的圓周平面上，設(shè)此圓圓周平面AD與交于點(diǎn)O1，O1E⊥BC，垂足為E，則△BO1C的面積S△BO1C=12·BC·O1E=O1E.由AD⊥面BO1C得四面體ABCD的體積VABCD=13S△BO1C·AD=13O1E·2c，圖6而O1E長度隨著BC的位置變化而變化，當(dāng)然BC=2.下求O1E的最大值.

在線段BC所在的圓面上，弦心距O1E=O1C2-1.下求圓面半徑O1C的最大值.直觀地可以看到，與軸AD垂直的圓面有無數(shù)個，在這些相互平行的圓面中，存在半徑最大的圓面，即是橢球中過AD中點(diǎn)O1、且與軸AD垂直的圓面，這個最大圓面的半徑O1C=CD2-O1D2=a2-c2，O1E最大=a2-c2-1，如圖5，這時VABCD的最大值為2c3a2-c2-1.

探討 在例4中，若把“AB+BD=AC+CD=2a”改為“AB-BD=AC-CD=2a”，其它不變，則四面體ABCD體積的最大值是 、最小值是 .

分析 聯(lián)想到雙曲線的定義，得動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上，如圖6.建立空間坐標(biāo)系O-xyz，雙曲線

z2a2-x2b2=1

y=0繞z軸旋轉(zhuǎn)，得雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面

z2a2-x2b2-y2b2=1.設(shè)BC所在的垂直于軸AD的圓面O1半徑為R，BC=2m，則面積S△BOC1=R2-m2，體積VABCD=13S△BO1C·AD=

2c3·mR2-m2.

當(dāng)m=1時，VABCD=2c3·mR2-1.而圓O1半徑R無最大值、最小值，所以VABCD無最大值、最小值.

注 在圖6中，橢圓

z2a2+x2b2=1

y=0繞z軸旋轉(zhuǎn)，得橢球面z2a2+x2b2+y2b2=1，同理體積

VABCD=13S△BO1C·AD=2c3·mR2-m2.當(dāng)m=1時，VABCD=

2c3R2-1.而圓O1半徑R≤b，所以VABCD≤

2c3b2-1=2c3a2-c2-1.

邊界問題，往往涉及函數(shù)的最值、參數(shù)的范圍， 試題情景具有開放性，富有探究性，這類試題要求考生根據(jù)點(diǎn)的邊界去尋找?guī)缀侮P(guān)系式，考查考生綜合分析邊界問題的能力.筆者看了近幾年的上海高考試題，幾乎每份試卷都涉及此類問題，尤其是一些選擇題、填空題，短小精悍，個別題目如果老老實(shí)實(shí)做，不僅有一定難度、而且耗時耗力，也影響到考試的心情，需要考生從邊界入手.

一、圓上、圓內(nèi)、圓外

例1 （2008上海試題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Ω是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)，若點(diǎn)P（x，y）、P′（x′，y′）滿足x≤x′且y≥y′，則稱P優(yōu)于P′，如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧 .

A.AB B.BC C.CD D.DA

分析 “不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”即為“Q優(yōu)于Ω中的任意點(diǎn)R”，xQ≤xR，

yQ≥yR，由xQ≤xR得點(diǎn)Q組成的集合是半圓ADC，由yQ≥xR得點(diǎn)Q組成的集合是半圓DAB，所以點(diǎn)Q組成的集合是劣弧DA，選擇（D）.

探討1 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≥x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧AB.

圖1 圖2探討2 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≤x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧DC.

探討3 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≥x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧BC.

探討4 若原題中“如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”改為“如果Ω外的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω外的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”，其它不變，則所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是如圖2所示的陰影區(qū)域Ⅱ（正方形內(nèi)、圓外，都含邊界）.

二、橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外

給定橢圓x2a2+y2b2<1（a>b>0）及點(diǎn)P（x0，y0），則

（1）點(diǎn)P在橢圓上x20a2+y20b2=1；

（2）點(diǎn)P在橢圓內(nèi)x20a2+y20b2<1；

（3）點(diǎn)P在橢圓外x20a2+y20b2>1.

例2 （2008年上海試題）某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓.已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點(diǎn)上.現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為θ1、θ2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .

圖3分析 如圖4，設(shè)甲、乙導(dǎo)航燈分別在點(diǎn)A、B，它們在海平面上的投影分別為F1、F2.在△AF1P中，仰角∠F1PA=θ1，得|PF1|=h1cotθ1.同理在△BF2P中，仰角∠F2PB=θ2，得|PF2|=h2cotθ2.若點(diǎn)P在橢圓邊界上，則由橢圓的第一定義得|PF1|+|PF2|=2a.

這時，我們聯(lián)想到：若點(diǎn)P在橢圓邊界外呢？|PF1|+|PF2|>2a. 若點(diǎn)P在橢圓邊界內(nèi)呢？|PF1|+|PF2|<2a.所以船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是h1cotθ1+h2cosθ2≤2a.

探討 “淺水區(qū)”改為“深水區(qū)”，其它不變，則判別條件是 .（h1cotθ1+h2cotθ2≥2a）

例3 （2012年上海試題）如圖4，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD體積的最大值是 .

圖4 圖5

分析 AD=2c說明線段AD的長度是定值，可以先固定線段AD.如何理解“AB+BD=AC+CD=2a”？說明：點(diǎn)B到兩定點(diǎn)A、D距離的和為定值2a，點(diǎn)C到兩定點(diǎn)A、D距離的和為定值2a，聯(lián)想到橢圓的定義，得動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的橢圓上，

不過動中有靜：BC=2.其實(shí)，這里涉及的是空間問題，應(yīng)理解為：動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的橢球上，如圖5.

由于AD⊥BC，則BC應(yīng)在與橢球中與軸AD垂直的圓周平面上，設(shè)此圓圓周平面AD與交于點(diǎn)O1，O1E⊥BC，垂足為E，則△BO1C的面積S△BO1C=12·BC·O1E=O1E.由AD⊥面BO1C得四面體ABCD的體積VABCD=13S△BO1C·AD=13O1E·2c，圖6而O1E長度隨著BC的位置變化而變化，當(dāng)然BC=2.下求O1E的最大值.

在線段BC所在的圓面上，弦心距O1E=O1C2-1.下求圓面半徑O1C的最大值.直觀地可以看到，與軸AD垂直的圓面有無數(shù)個，在這些相互平行的圓面中，存在半徑最大的圓面，即是橢球中過AD中點(diǎn)O1、且與軸AD垂直的圓面，這個最大圓面的半徑O1C=CD2-O1D2=a2-c2，O1E最大=a2-c2-1，如圖5，這時VABCD的最大值為2c3a2-c2-1.

探討 在例4中，若把“AB+BD=AC+CD=2a”改為“AB-BD=AC-CD=2a”，其它不變，則四面體ABCD體積的最大值是 、最小值是 .

分析 聯(lián)想到雙曲線的定義，得動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上，如圖6.建立空間坐標(biāo)系O-xyz，雙曲線

z2a2-x2b2=1

y=0繞z軸旋轉(zhuǎn)，得雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面

z2a2-x2b2-y2b2=1.設(shè)BC所在的垂直于軸AD的圓面O1半徑為R，BC=2m，則面積S△BOC1=R2-m2，體積VABCD=13S△BO1C·AD=

2c3·mR2-m2.

當(dāng)m=1時，VABCD=2c3·mR2-1.而圓O1半徑R無最大值、最小值，所以VABCD無最大值、最小值.

注 在圖6中，橢圓

z2a2+x2b2=1

y=0繞z軸旋轉(zhuǎn)，得橢球面z2a2+x2b2+y2b2=1，同理體積

VABCD=13S△BO1C·AD=2c3·mR2-m2.當(dāng)m=1時，VABCD=

2c3R2-1.而圓O1半徑R≤b，所以VABCD≤

2c3b2-1=2c3a2-c2-1.

邊界問題，往往涉及函數(shù)的最值、參數(shù)的范圍， 試題情景具有開放性，富有探究性，這類試題要求考生根據(jù)點(diǎn)的邊界去尋找?guī)缀侮P(guān)系式，考查考生綜合分析邊界問題的能力.筆者看了近幾年的上海高考試題，幾乎每份試卷都涉及此類問題，尤其是一些選擇題、填空題，短小精悍，個別題目如果老老實(shí)實(shí)做，不僅有一定難度、而且耗時耗力，也影響到考試的心情，需要考生從邊界入手.

一、圓上、圓內(nèi)、圓外

例1 （2008上海試題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Ω是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)，若點(diǎn)P（x，y）、P′（x′，y′）滿足x≤x′且y≥y′，則稱P優(yōu)于P′，如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧 .

A.AB B.BC C.CD D.DA

分析 “不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”即為“Q優(yōu)于Ω中的任意點(diǎn)R”，xQ≤xR，

yQ≥yR，由xQ≤xR得點(diǎn)Q組成的集合是半圓ADC，由yQ≥xR得點(diǎn)Q組成的集合是半圓DAB，所以點(diǎn)Q組成的集合是劣弧DA，選擇（D）.

探討1 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≥x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧AB.

圖1 圖2探討2 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≤x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧DC.

探討3 若“x≤x′且y≥y′”改為“x≥x′且y≤y′”，其它不變，則點(diǎn)Q組成的集合是劣弧BC.

探討4 若原題中“如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”改為“如果Ω外的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω外的其它點(diǎn)優(yōu)于Q”，其它不變，則所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是如圖2所示的陰影區(qū)域Ⅱ（正方形內(nèi)、圓外，都含邊界）.

二、橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外

給定橢圓x2a2+y2b2<1（a>b>0）及點(diǎn)P（x0，y0），則

（1）點(diǎn)P在橢圓上x20a2+y20b2=1；

（2）點(diǎn)P在橢圓內(nèi)x20a2+y20b2<1；

（3）點(diǎn)P在橢圓外x20a2+y20b2>1.

例2 （2008年上海試題）某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓.已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點(diǎn)上.現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為θ1、θ2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .

圖3分析 如圖4，設(shè)甲、乙導(dǎo)航燈分別在點(diǎn)A、B，它們在海平面上的投影分別為F1、F2.在△AF1P中，仰角∠F1PA=θ1，得|PF1|=h1cotθ1.同理在△BF2P中，仰角∠F2PB=θ2，得|PF2|=h2cotθ2.若點(diǎn)P在橢圓邊界上，則由橢圓的第一定義得|PF1|+|PF2|=2a.

這時，我們聯(lián)想到：若點(diǎn)P在橢圓邊界外呢？|PF1|+|PF2|>2a. 若點(diǎn)P在橢圓邊界內(nèi)呢？|PF1|+|PF2|<2a.所以船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是h1cotθ1+h2cosθ2≤2a.

探討 “淺水區(qū)”改為“深水區(qū)”，其它不變，則判別條件是 .（h1cotθ1+h2cotθ2≥2a）

例3 （2012年上海試題）如圖4，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD體積的最大值是 .

圖4 圖5

分析 AD=2c說明線段AD的長度是定值，可以先固定線段AD.如何理解“AB+BD=AC+CD=2a”？說明：點(diǎn)B到兩定點(diǎn)A、D距離的和為定值2a，點(diǎn)C到兩定點(diǎn)A、D距離的和為定值2a，聯(lián)想到橢圓的定義，得動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的橢圓上，

不過動中有靜：BC=2.其實(shí)，這里涉及的是空間問題，應(yīng)理解為：動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的橢球上，如圖5.

由于AD⊥BC，則BC應(yīng)在與橢球中與軸AD垂直的圓周平面上，設(shè)此圓圓周平面AD與交于點(diǎn)O1，O1E⊥BC，垂足為E，則△BO1C的面積S△BO1C=12·BC·O1E=O1E.由AD⊥面BO1C得四面體ABCD的體積VABCD=13S△BO1C·AD=13O1E·2c，圖6而O1E長度隨著BC的位置變化而變化，當(dāng)然BC=2.下求O1E的最大值.

在線段BC所在的圓面上，弦心距O1E=O1C2-1.下求圓面半徑O1C的最大值.直觀地可以看到，與軸AD垂直的圓面有無數(shù)個，在這些相互平行的圓面中，存在半徑最大的圓面，即是橢球中過AD中點(diǎn)O1、且與軸AD垂直的圓面，這個最大圓面的半徑O1C=CD2-O1D2=a2-c2，O1E最大=a2-c2-1，如圖5，這時VABCD的最大值為2c3a2-c2-1.

探討 在例4中，若把“AB+BD=AC+CD=2a”改為“AB-BD=AC-CD=2a”，其它不變，則四面體ABCD體積的最大值是 、最小值是 .

分析 聯(lián)想到雙曲線的定義，得動點(diǎn)B、C在以A、D為焦點(diǎn)的雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上，如圖6.建立空間坐標(biāo)系O-xyz，雙曲線

z2a2-x2b2=1

y=0繞z軸旋轉(zhuǎn)，得雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面

z2a2-x2b2-y2b2=1.設(shè)BC所在的垂直于軸AD的圓面O1半徑為R，BC=2m，則面積S△BOC1=R2-m2，體積VABCD=13S△BO1C·AD=

2c3·mR2-m2.

當(dāng)m=1時，VABCD=2c3·mR2-1.而圓O1半徑R無最大值、最小值，所以VABCD無最大值、最小值.

注 在圖6中，橢圓

z2a2+x2b2=1

y=0繞z軸旋轉(zhuǎn)，得橢球面z2a2+x2b2+y2b2=1，同理體積

VABCD=13S△BO1C·AD=2c3·mR2-m2.當(dāng)m=1時，VABCD=

2c3R2-1.而圓O1半徑R≤b，所以VABCD≤

2c3b2-1=2c3a2-c2-1.