聚焦高考中導(dǎo)數(shù)的“交匯性”

岳亞軍

導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，作為解決數(shù)學(xué)問題的一種工具，它為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力.導(dǎo)數(shù)方法的基礎(chǔ)性、工具性作用，凸現(xiàn)了它在整個教材中的地位.在高考數(shù)學(xué)試卷中是必然要出現(xiàn)的題型.筆者在平時的教學(xué)過程中總結(jié)發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角、概率、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點.本文結(jié)合近幾年全國高考試題，解析導(dǎo)數(shù)與相關(guān)知識的“交匯性”，供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考.

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的交匯

例1 （2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，從而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f ′（x）>0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）單調(diào)遞減.

當x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

評注 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的切線方程、求函數(shù)的極值（最值），一直是高考的重點和熱點，且?？汲Ｐ?

二、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的交匯

例2 （2013年高考大綱版（理））已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，則當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，則當00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，則當x>0時，f ′（x）<0，所以當x>0時，f（x）<0.

綜上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）證明：令λ=12.由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，則2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

評注 本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)問題，再利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系證明數(shù)列問題的結(jié)論.

三、導(dǎo)數(shù)與概率的交匯

例3 （2011年全國卷理）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-2xx+2，證明：當x>0時，f（x）>0；（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）在R上為增函數(shù)，又f（0）=0，因此當x>0時，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 當x>0時，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，則19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

點評 導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，但用概率作為載體，求解數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生還不適應(yīng)，這也是難點之所在.

四、導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯

例4 （2013年高考遼寧卷（文）部分）證明：當x∈[0，1]時，22x≤sinx≤x；

解 記F（x）=sinx-22x，則F′（x）=cosx-22.

當x∈（0，π4）時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）在[0，π4]上為增函數(shù)；

當x∈（π4，1）時，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）在[π4，1]上為減函數(shù).

又F（0）=0，F(xiàn)（1）>0，所以當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上為減函數(shù)，則H（x）≤H（0），即sinx≤x.

綜上，當x∈[0，1]時， 22x≤sinx≤x.

評注 本題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的圖形性質(zhì)及運用比較法證明不等式的綜合問題，考查學(xué)生推理能力、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

五、導(dǎo)數(shù)與解析幾何的交匯

例5 （2012高考遼寧文12）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P點（4，8）、Q點（-2，2）.由y′=x得過P點的拋物線的切線為4x-y-8=0，

過Q點的拋物線的切線為2x+y+2=0，

所以A點的縱坐標為-4， 故選C.

評注 本題以函數(shù)與拋物線為載體，利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題.

導(dǎo)數(shù)與三角的交匯，導(dǎo)數(shù)與立體幾何的交匯命題考查也常有出現(xiàn)，這里不再例舉.

導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，作為解決數(shù)學(xué)問題的一種工具，它為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力.導(dǎo)數(shù)方法的基礎(chǔ)性、工具性作用，凸現(xiàn)了它在整個教材中的地位.在高考數(shù)學(xué)試卷中是必然要出現(xiàn)的題型.筆者在平時的教學(xué)過程中總結(jié)發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角、概率、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點.本文結(jié)合近幾年全國高考試題，解析導(dǎo)數(shù)與相關(guān)知識的“交匯性”，供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考.

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的交匯

例1 （2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，從而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f ′（x）>0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）單調(diào)遞減.

當x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

評注 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的切線方程、求函數(shù)的極值（最值），一直是高考的重點和熱點，且?？汲Ｐ?

二、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的交匯

例2 （2013年高考大綱版（理））已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，則當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，則當00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，則當x>0時，f ′（x）<0，所以當x>0時，f（x）<0.

綜上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）證明：令λ=12.由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，則2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

評注 本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)問題，再利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系證明數(shù)列問題的結(jié)論.

三、導(dǎo)數(shù)與概率的交匯

例3 （2011年全國卷理）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-2xx+2，證明：當x>0時，f（x）>0；（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）在R上為增函數(shù)，又f（0）=0，因此當x>0時，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 當x>0時，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，則19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

點評 導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，但用概率作為載體，求解數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生還不適應(yīng)，這也是難點之所在.

四、導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯

例4 （2013年高考遼寧卷（文）部分）證明：當x∈[0，1]時，22x≤sinx≤x；

解 記F（x）=sinx-22x，則F′（x）=cosx-22.

當x∈（0，π4）時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）在[0，π4]上為增函數(shù)；

當x∈（π4，1）時，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）在[π4，1]上為減函數(shù).

又F（0）=0，F(xiàn)（1）>0，所以當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上為減函數(shù)，則H（x）≤H（0），即sinx≤x.

綜上，當x∈[0，1]時， 22x≤sinx≤x.

評注 本題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的圖形性質(zhì)及運用比較法證明不等式的綜合問題，考查學(xué)生推理能力、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

五、導(dǎo)數(shù)與解析幾何的交匯

例5 （2012高考遼寧文12）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P點（4，8）、Q點（-2，2）.由y′=x得過P點的拋物線的切線為4x-y-8=0，

過Q點的拋物線的切線為2x+y+2=0，

所以A點的縱坐標為-4， 故選C.

評注 本題以函數(shù)與拋物線為載體，利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題.

導(dǎo)數(shù)與三角的交匯，導(dǎo)數(shù)與立體幾何的交匯命題考查也常有出現(xiàn)，這里不再例舉.

導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，作為解決數(shù)學(xué)問題的一種工具，它為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力.導(dǎo)數(shù)方法的基礎(chǔ)性、工具性作用，凸現(xiàn)了它在整個教材中的地位.在高考數(shù)學(xué)試卷中是必然要出現(xiàn)的題型.筆者在平時的教學(xué)過程中總結(jié)發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角、概率、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點.本文結(jié)合近幾年全國高考試題，解析導(dǎo)數(shù)與相關(guān)知識的“交匯性”，供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考.

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的交匯

例1 （2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，從而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f ′（x）>0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）單調(diào)遞減.

當x=-2時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

評注 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的切線方程、求函數(shù)的極值（最值），一直是高考的重點和熱點，且?？汲Ｐ?

二、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的交匯

例2 （2013年高考大綱版（理））已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的通項an=1+12+13+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，則當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，則當00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，則當x>0時，f ′（x）<0，所以當x>0時，f（x）<0.

綜上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）證明：令λ=12.由（Ⅰ）知，當x>0時，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，則2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

評注 本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)問題，再利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系證明數(shù)列問題的結(jié)論.

三、導(dǎo)數(shù)與概率的交匯

例3 （2011年全國卷理）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-2xx+2，證明：當x>0時，f（x）>0；（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

當x>0時，f ′（x）>0，所以f（x）在R上為增函數(shù)，又f（0）=0，因此當x>0時，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 當x>0時，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，則19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

點評 導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，但用概率作為載體，求解數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生還不適應(yīng)，這也是難點之所在.

四、導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯

例4 （2013年高考遼寧卷（文）部分）證明：當x∈[0，1]時，22x≤sinx≤x；

解 記F（x）=sinx-22x，則F′（x）=cosx-22.

當x∈（0，π4）時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）在[0，π4]上為增函數(shù)；

當x∈（π4，1）時，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）在[π4，1]上為減函數(shù).

又F（0）=0，F(xiàn)（1）>0，所以當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上為減函數(shù)，則H（x）≤H（0），即sinx≤x.

綜上，當x∈[0，1]時， 22x≤sinx≤x.

評注 本題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的圖形性質(zhì)及運用比較法證明不等式的綜合問題，考查學(xué)生推理能力、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

五、導(dǎo)數(shù)與解析幾何的交匯

例5 （2012高考遼寧文12）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P點（4，8）、Q點（-2，2）.由y′=x得過P點的拋物線的切線為4x-y-8=0，

過Q點的拋物線的切線為2x+y+2=0，

所以A點的縱坐標為-4， 故選C.

評注 本題以函數(shù)與拋物線為載體，利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題.

導(dǎo)數(shù)與三角的交匯，導(dǎo)數(shù)與立體幾何的交匯命題考查也常有出現(xiàn)，這里不再例舉.