試論高中物理求極值的思路和方法

唐斌

高中物理極值問題解決過程中，離不開數(shù)學(xué)知識，所以熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)推理能力是解決物理極值問題必備的能力，高中階段，學(xué)生一定要學(xué)會熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題.很多學(xué)生認(rèn)為高中物理求極值問題很難，解題時(shí)無從下手，其實(shí)物理求極值也有規(guī)律可循，只要掌握基本的解題技巧，與數(shù)學(xué)知識靈活整合，拓展解題思路，很多問題就迎刃而解了.以下對高中物理求極值的思路和方法進(jìn)行簡單介紹，以饗讀者.

一、關(guān)于極值問題的概述

高中物理試題中經(jīng)常出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語，這些詞語暗示了求極值的必要性.顧名思義，極值問題就是求某個(gè)物理量在某個(gè)過程中的極大值和極小值，物體在發(fā)展變化中，遵循一定的物理?xiàng)l件和物理規(guī)律，通常只有在一定范圍內(nèi)才符合物理問題的實(shí)際，而這個(gè)范圍正是我們所要求得的極值.通常求極值的方法有許多，如三角函數(shù)法、均值不等式法等，以下我們以題為例，介紹幾種最為常見的物理極值問題的解決方法.

二、高中求極值的基本思路和方法

1.運(yùn)用二次函數(shù)求極值

已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x=-b/2a時(shí)，若a>0，則y有極小值4ac-b2/4a；若a<0.則y有極大值：

4ac-b2/4a.

例 一輛汽車在公路上行駛，汽車啟動時(shí)以3 m/s2的加速度行駛，此時(shí)一輛自行車以6 m/s的速度勻速行駛，且剛好從后面追過汽車，問在汽車追上自行車之前，它們相距的最遠(yuǎn)距離是多少？此時(shí)經(jīng)過了多長時(shí)間？

解 設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t時(shí)兩車最大距離為Δs經(jīng)過時(shí)間t后，自行車位移s1=vt；

汽車位移s2=12at2.

則它們的距離為

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此時(shí)Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.數(shù)形結(jié)合求極值

利用數(shù)形結(jié)合求極值，既直觀又簡便，根據(jù)給定的已知條件，做出簡單的計(jì)算或作圖，易于理解.

例1 三個(gè)共點(diǎn)力分別為：3N、6N、8N，它們位于同一平面上，求合力的極大值和極小值.

分析 三個(gè)共面力只要能構(gòu)成一個(gè)三角形（既兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊），則合力最小值為0；

解 合力極小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一質(zhì)量均勻的小球置于光滑的斜面上，傾斜角為α，小球滑落一段距離后，用一塊木板擋住小球，使之停止（如圖1），現(xiàn)逐漸增大木板與斜面之間的夾角，小球?qū)δ景宓膲毫怎樣變化，求變化極值.（木板的厚度不計(jì)）

解 對小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1與擋板壓力N2的合力與小球的重力G等大反向，由圖可以看出，N1的方向不變，且隨著擋板與斜面夾角的增大，N1隨之增大，N2先減少后增大，N2的極小值為Gsinα，極大值為G，由于小球?qū)δ景宓膲毫εc木板對小球壓力是一對作用力與反作用力的關(guān)系，故小球?qū)δ景宓膲毫的極小值為Gsinα，極大值為G.

3.三角函數(shù)求極值

三角函數(shù)法是高中物理求極值是比較常用的一種方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果題中的物理量滿足y=sina或y=cosα的形式，則可用此方法來求極值.

例 一個(gè)重為G的木箱放在平面上，已知木箱與平面的摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用大小為F，與平面夾角為a的力拉木箱，使之沿水平面做勻速運(yùn)動，試問a多大時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值是多少.

解 對木箱進(jìn)行受力分析（如圖2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN(yùn)

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

當(dāng)sin（α+Φ）=1時(shí)，F(xiàn)min=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求極值

利用均值不等式求極值時(shí)需要掌握a+b≥2ab的應(yīng)用

例 如圖3所示，求電源輸出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根據(jù)均值不等式關(guān)系得R+RR≥2r

所以當(dāng)P≤ζ2（2r）2=ζ24r時(shí)，外電阻R=r

5.利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)法求極值

例 一艘帆船在海面行駛，已知風(fēng)對帆的外力為F=12aS（v0-v），S是帆的面積，a為系數(shù)，v0為風(fēng)速，v是船速，求船的速度最大時(shí)風(fēng)的功率是多少？

解 風(fēng)對帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，

高中物理極值問題解決過程中，離不開數(shù)學(xué)知識，所以熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)推理能力是解決物理極值問題必備的能力，高中階段，學(xué)生一定要學(xué)會熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題.很多學(xué)生認(rèn)為高中物理求極值問題很難，解題時(shí)無從下手，其實(shí)物理求極值也有規(guī)律可循，只要掌握基本的解題技巧，與數(shù)學(xué)知識靈活整合，拓展解題思路，很多問題就迎刃而解了.以下對高中物理求極值的思路和方法進(jìn)行簡單介紹，以饗讀者.

一、關(guān)于極值問題的概述

高中物理試題中經(jīng)常出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語，這些詞語暗示了求極值的必要性.顧名思義，極值問題就是求某個(gè)物理量在某個(gè)過程中的極大值和極小值，物體在發(fā)展變化中，遵循一定的物理?xiàng)l件和物理規(guī)律，通常只有在一定范圍內(nèi)才符合物理問題的實(shí)際，而這個(gè)范圍正是我們所要求得的極值.通常求極值的方法有許多，如三角函數(shù)法、均值不等式法等，以下我們以題為例，介紹幾種最為常見的物理極值問題的解決方法.

二、高中求極值的基本思路和方法

1.運(yùn)用二次函數(shù)求極值

已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x=-b/2a時(shí)，若a>0，則y有極小值4ac-b2/4a；若a<0.則y有極大值：

4ac-b2/4a.

例 一輛汽車在公路上行駛，汽車啟動時(shí)以3 m/s2的加速度行駛，此時(shí)一輛自行車以6 m/s的速度勻速行駛，且剛好從后面追過汽車，問在汽車追上自行車之前，它們相距的最遠(yuǎn)距離是多少？此時(shí)經(jīng)過了多長時(shí)間？

解 設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t時(shí)兩車最大距離為Δs經(jīng)過時(shí)間t后，自行車位移s1=vt；

汽車位移s2=12at2.

則它們的距離為

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此時(shí)Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.數(shù)形結(jié)合求極值

利用數(shù)形結(jié)合求極值，既直觀又簡便，根據(jù)給定的已知條件，做出簡單的計(jì)算或作圖，易于理解.

例1 三個(gè)共點(diǎn)力分別為：3N、6N、8N，它們位于同一平面上，求合力的極大值和極小值.

分析 三個(gè)共面力只要能構(gòu)成一個(gè)三角形（既兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊），則合力最小值為0；

解 合力極小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一質(zhì)量均勻的小球置于光滑的斜面上，傾斜角為α，小球滑落一段距離后，用一塊木板擋住小球，使之停止（如圖1），現(xiàn)逐漸增大木板與斜面之間的夾角，小球?qū)δ景宓膲毫怎樣變化，求變化極值.（木板的厚度不計(jì)）

解 對小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1與擋板壓力N2的合力與小球的重力G等大反向，由圖可以看出，N1的方向不變，且隨著擋板與斜面夾角的增大，N1隨之增大，N2先減少后增大，N2的極小值為Gsinα，極大值為G，由于小球?qū)δ景宓膲毫εc木板對小球壓力是一對作用力與反作用力的關(guān)系，故小球?qū)δ景宓膲毫的極小值為Gsinα，極大值為G.

3.三角函數(shù)求極值

三角函數(shù)法是高中物理求極值是比較常用的一種方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果題中的物理量滿足y=sina或y=cosα的形式，則可用此方法來求極值.

例 一個(gè)重為G的木箱放在平面上，已知木箱與平面的摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用大小為F，與平面夾角為a的力拉木箱，使之沿水平面做勻速運(yùn)動，試問a多大時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值是多少.

解 對木箱進(jìn)行受力分析（如圖2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN(yùn)

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

當(dāng)sin（α+Φ）=1時(shí)，F(xiàn)min=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求極值

利用均值不等式求極值時(shí)需要掌握a+b≥2ab的應(yīng)用

例 如圖3所示，求電源輸出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根據(jù)均值不等式關(guān)系得R+RR≥2r

所以當(dāng)P≤ζ2（2r）2=ζ24r時(shí)，外電阻R=r

5.利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)法求極值

例 一艘帆船在海面行駛，已知風(fēng)對帆的外力為F=12aS（v0-v），S是帆的面積，a為系數(shù)，v0為風(fēng)速，v是船速，求船的速度最大時(shí)風(fēng)的功率是多少？

解 風(fēng)對帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，

高中物理極值問題解決過程中，離不開數(shù)學(xué)知識，所以熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)推理能力是解決物理極值問題必備的能力，高中階段，學(xué)生一定要學(xué)會熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題.很多學(xué)生認(rèn)為高中物理求極值問題很難，解題時(shí)無從下手，其實(shí)物理求極值也有規(guī)律可循，只要掌握基本的解題技巧，與數(shù)學(xué)知識靈活整合，拓展解題思路，很多問題就迎刃而解了.以下對高中物理求極值的思路和方法進(jìn)行簡單介紹，以饗讀者.

一、關(guān)于極值問題的概述

高中物理試題中經(jīng)常出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語，這些詞語暗示了求極值的必要性.顧名思義，極值問題就是求某個(gè)物理量在某個(gè)過程中的極大值和極小值，物體在發(fā)展變化中，遵循一定的物理?xiàng)l件和物理規(guī)律，通常只有在一定范圍內(nèi)才符合物理問題的實(shí)際，而這個(gè)范圍正是我們所要求得的極值.通常求極值的方法有許多，如三角函數(shù)法、均值不等式法等，以下我們以題為例，介紹幾種最為常見的物理極值問題的解決方法.

二、高中求極值的基本思路和方法

1.運(yùn)用二次函數(shù)求極值

已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x=-b/2a時(shí)，若a>0，則y有極小值4ac-b2/4a；若a<0.則y有極大值：

4ac-b2/4a.

例 一輛汽車在公路上行駛，汽車啟動時(shí)以3 m/s2的加速度行駛，此時(shí)一輛自行車以6 m/s的速度勻速行駛，且剛好從后面追過汽車，問在汽車追上自行車之前，它們相距的最遠(yuǎn)距離是多少？此時(shí)經(jīng)過了多長時(shí)間？

解 設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t時(shí)兩車最大距離為Δs經(jīng)過時(shí)間t后，自行車位移s1=vt；

汽車位移s2=12at2.

則它們的距離為

Δs=s1-s2=vt-12at2

故t=-b2a=-62v（-82）=2（s）

此時(shí)Δs=4ac-b2/4a=6（m）

2.數(shù)形結(jié)合求極值

利用數(shù)形結(jié)合求極值，既直觀又簡便，根據(jù)給定的已知條件，做出簡單的計(jì)算或作圖，易于理解.

例1 三個(gè)共點(diǎn)力分別為：3N、6N、8N，它們位于同一平面上，求合力的極大值和極小值.

分析 三個(gè)共面力只要能構(gòu)成一個(gè)三角形（既兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊），則合力最小值為0；

解 合力極小值Fmin=0；Fmax=F1+F2+F3=17N

例2 一質(zhì)量均勻的小球置于光滑的斜面上，傾斜角為α，小球滑落一段距離后，用一塊木板擋住小球，使之停止（如圖1），現(xiàn)逐漸增大木板與斜面之間的夾角，小球?qū)δ景宓膲毫怎樣變化，求變化極值.（木板的厚度不計(jì)）

解 對小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)力的平衡可得出，小球所受斜面支持力N1與擋板壓力N2的合力與小球的重力G等大反向，由圖可以看出，N1的方向不變，且隨著擋板與斜面夾角的增大，N1隨之增大，N2先減少后增大，N2的極小值為Gsinα，極大值為G，由于小球?qū)δ景宓膲毫εc木板對小球壓力是一對作用力與反作用力的關(guān)系，故小球?qū)δ景宓膲毫的極小值為Gsinα，極大值為G.

3.三角函數(shù)求極值

三角函數(shù)法是高中物理求極值是比較常用的一種方法，由于-1≤sina≤1，-1≤cosa≤1，如果題中的物理量滿足y=sina或y=cosα的形式，則可用此方法來求極值.

例 一個(gè)重為G的木箱放在平面上，已知木箱與平面的摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用大小為F，與平面夾角為a的力拉木箱，使之沿水平面做勻速運(yùn)動，試問a多大時(shí)，F(xiàn)的值最小，最小值是多少.

解 對木箱進(jìn)行受力分析（如圖2所示）

①Fsinα+N=G ②Fcosα=f

③f=μN(yùn)

解得F=μGcosα+μsinα=μC1+μ2sin（α+φ） 其中tgΦ=μ

當(dāng)sin（α+Φ）=1時(shí)，F(xiàn)min=μG1+μ2，即α+Φ=π2，故α=

arctgμ

4.利用均值不等式求極值

利用均值不等式求極值時(shí)需要掌握a+b≥2ab的應(yīng)用

例 如圖3所示，求電源輸出功率的最大值

解 P=（ε2R+r）2R=R（R+r）2ζ2=1（R+rR）2ζ2

根據(jù)均值不等式關(guān)系得R+RR≥2r

所以當(dāng)P≤ζ2（2r）2=ζ24r時(shí)，外電阻R=r

5.利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)法求極值

例 一艘帆船在海面行駛，已知風(fēng)對帆的外力為F=12aS（v0-v），S是帆的面積，a為系數(shù)，v0為風(fēng)速，v是船速，求船的速度最大時(shí)風(fēng)的功率是多少？

解 風(fēng)對帆所做功的功率

N=Fv=12aS（v0-v）2V，