圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

毛芹

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，重要的一部分內(nèi)容就是圓錐曲線.圓錐曲線方程的解析方法、代數(shù)方法在平面曲線等方面發(fā)揮著強大的作用，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.只要是和圓錐曲線相關(guān)的問題，都可以使用圓錐曲線方程進行解題.我們在本文中對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行研究分析.

我們知道高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及到的圓錐曲線參數(shù)方程分為5類：直線參數(shù)方程、圓參數(shù)方程、橢圓參數(shù)方程、雙曲線參數(shù)方程、拋物線參數(shù)方程.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所占的比重較大，通過圓錐曲線參數(shù)方

程可以解決常見的問題，例如定值、最值、范圍、軌跡等問題.這些是高中數(shù)學(xué)中最常見的問題，也是在數(shù)學(xué)題中占據(jù)比例較大的問題.我們以示例作為探究基礎(chǔ)，對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行研究.

1.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的最值問題

例1 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓一個內(nèi)接四邊形ABCD，其各邊和坐標(biāo)軸平行，求這個四邊形的最大面積和最大周長.

解析 根據(jù)題意設(shè)A（acosθ，bsinθ），由四邊形的各邊和坐標(biāo)軸平行，我們可以得知四邊形ABCD是一個矩形，則其面積為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S為最大值時，sin2θ為最大值，sin2θ為最大值，其最大值為1，當(dāng)sin2θ=1時，S=2ab.四邊形ABCD的周長為L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.當(dāng)sin（θ+β）最大時，四邊形的周長最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

從這題的解析中我們不難發(fā)現(xiàn)其中使用到的圓錐曲線參數(shù)方程是橢圓參數(shù)方程，圓錐曲線參數(shù)方程在這個例題中的使用，主要是解決最值問題.

2.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的定值問題

例2 證明雙曲線上的任意一點到兩條漸近線的距離是一個定值.雙曲線方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

證明 將雙曲線上一點坐標(biāo)設(shè)置為Q（asecθ，btanθ），雙曲線的兩條漸近線方程分別為：

bx+ay=0； bx-ay=0.則雙曲線上的Q點到兩條漸近線的距離為d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）為定值.

從這個例題中我們看出使用的是圓錐曲線參數(shù)方程中的雙曲線參數(shù)方程，從這個問題中我們可以看出，圓錐曲線參數(shù)方程可以解決高中數(shù)學(xué)中遇到的定值問題.

3.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的軌跡問題

例3 在拋物線y2=2px（p>0）上的兩個動點A，B滿足OA ⊥OB，求弦AB中點M的軌跡方程.

解析 從題中的方程式進行分析，我們可以知道該方程為拋物線方程，所以我們將A的坐

標(biāo)設(shè)為（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B點坐標(biāo)為（2pt2，-2pt），將弦AB上的中點M坐標(biāo)設(shè)置為（x，y），由此可以得出M點的運動軌跡方程.

M點的軌跡方程為x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

從該題進行分析，其中運用到的圓錐曲線參數(shù)方程為拋物線參數(shù)方程.想要將動點軌跡方程進行求解，需要使用參數(shù)方程，例題3中得出的M點運動軌跡方程為參數(shù)方程.

4.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的范圍問題

例4 橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐標(biāo)軸的x正半軸相交，交點為A，

假設(shè)橢圓方程上始終有一點P，使得OP⊥PA，求橢圓離心率的范圍.

解析 由題意可知A點的坐標(biāo)為（a，0）.設(shè)橢圓上的點P坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ）.根據(jù)OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，進一步將上式化簡得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因為OP⊥PA，進而得知0

b2=a2-c2，所以得出橢圓離心率e的取值范圍為

21/22

例題4中涉及到的問題是范圍問題，應(yīng)用到的圓錐曲線參數(shù)方程是橢圓參數(shù)方程.

在高中數(shù)學(xué)中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數(shù)方程在5種參數(shù)方程的哪一種，在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中屬于重點，也屬于難點，需要學(xué)生認真的學(xué)習(xí)，針對相應(yīng)的問題，深入的思考，采用合適的參數(shù)方程，才可以快速地解決數(shù)學(xué)問題，節(jié)約解題時間.在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題，需要鍛煉解題思維，鍛煉數(shù)學(xué)思維，在遇到數(shù)學(xué)問題時，就會沉著應(yīng)對.通過將曲線方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，將題的難度降低，運用數(shù)學(xué)思維解決問題，提高解題效率.

的優(yōu)缺點，提升思維水平，這也從另一個方面強化了知識結(jié)構(gòu).

2.注重培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的習(xí)慣

對于規(guī)范書寫，怎么強調(diào)都不過分.教師在平時的教學(xué)過程中，花點時間讓學(xué)生練習(xí)規(guī)范書寫也是值得的， 對于一道題， 可以嘗試讓學(xué)生多寫幾遍，最終再與比較規(guī)范的書寫對照， 找出問題所在， 反復(fù)練習(xí)，最終使學(xué)生潛移默化地養(yǎng)成規(guī)范書寫的習(xí)慣.筆者在二輪復(fù)習(xí)中，對于立體幾何題目，一般都是讓學(xué)生先獨立完成，之后同桌互評，了解不同的方法.然后挑幾個典型供大家分析、學(xué)習(xí)、欣賞，讓學(xué)生來點評，找出其中的優(yōu)缺點，最后假設(shè)自己是閱卷老師進行打分，從而促進學(xué)生眼中有圖，腦中有路，心中有數(shù).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，重要的一部分內(nèi)容就是圓錐曲線.圓錐曲線方程的解析方法、代數(shù)方法在平面曲線等方面發(fā)揮著強大的作用，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.只要是和圓錐曲線相關(guān)的問題，都可以使用圓錐曲線方程進行解題.我們在本文中對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行研究分析.

我們知道高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及到的圓錐曲線參數(shù)方程分為5類：直線參數(shù)方程、圓參數(shù)方程、橢圓參數(shù)方程、雙曲線參數(shù)方程、拋物線參數(shù)方程.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所占的比重較大，通過圓錐曲線參數(shù)方

程可以解決常見的問題，例如定值、最值、范圍、軌跡等問題.這些是高中數(shù)學(xué)中最常見的問題，也是在數(shù)學(xué)題中占據(jù)比例較大的問題.我們以示例作為探究基礎(chǔ)，對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行研究.

1.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的最值問題

例1 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓一個內(nèi)接四邊形ABCD，其各邊和坐標(biāo)軸平行，求這個四邊形的最大面積和最大周長.

解析 根據(jù)題意設(shè)A（acosθ，bsinθ），由四邊形的各邊和坐標(biāo)軸平行，我們可以得知四邊形ABCD是一個矩形，則其面積為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S為最大值時，sin2θ為最大值，sin2θ為最大值，其最大值為1，當(dāng)sin2θ=1時，S=2ab.四邊形ABCD的周長為L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.當(dāng)sin（θ+β）最大時，四邊形的周長最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

從這題的解析中我們不難發(fā)現(xiàn)其中使用到的圓錐曲線參數(shù)方程是橢圓參數(shù)方程，圓錐曲線參數(shù)方程在這個例題中的使用，主要是解決最值問題.

2.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的定值問題

例2 證明雙曲線上的任意一點到兩條漸近線的距離是一個定值.雙曲線方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

證明 將雙曲線上一點坐標(biāo)設(shè)置為Q（asecθ，btanθ），雙曲線的兩條漸近線方程分別為：

bx+ay=0； bx-ay=0.則雙曲線上的Q點到兩條漸近線的距離為d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）為定值.

從這個例題中我們看出使用的是圓錐曲線參數(shù)方程中的雙曲線參數(shù)方程，從這個問題中我們可以看出，圓錐曲線參數(shù)方程可以解決高中數(shù)學(xué)中遇到的定值問題.

3.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的軌跡問題

例3 在拋物線y2=2px（p>0）上的兩個動點A，B滿足OA ⊥OB，求弦AB中點M的軌跡方程.

解析 從題中的方程式進行分析，我們可以知道該方程為拋物線方程，所以我們將A的坐

標(biāo)設(shè)為（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B點坐標(biāo)為（2pt2，-2pt），將弦AB上的中點M坐標(biāo)設(shè)置為（x，y），由此可以得出M點的運動軌跡方程.

M點的軌跡方程為x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

從該題進行分析，其中運用到的圓錐曲線參數(shù)方程為拋物線參數(shù)方程.想要將動點軌跡方程進行求解，需要使用參數(shù)方程，例題3中得出的M點運動軌跡方程為參數(shù)方程.

4.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的范圍問題

例4 橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐標(biāo)軸的x正半軸相交，交點為A，

假設(shè)橢圓方程上始終有一點P，使得OP⊥PA，求橢圓離心率的范圍.

解析 由題意可知A點的坐標(biāo)為（a，0）.設(shè)橢圓上的點P坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ）.根據(jù)OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，進一步將上式化簡得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因為OP⊥PA，進而得知0

b2=a2-c2，所以得出橢圓離心率e的取值范圍為

21/22

例題4中涉及到的問題是范圍問題，應(yīng)用到的圓錐曲線參數(shù)方程是橢圓參數(shù)方程.

在高中數(shù)學(xué)中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數(shù)方程在5種參數(shù)方程的哪一種，在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中屬于重點，也屬于難點，需要學(xué)生認真的學(xué)習(xí)，針對相應(yīng)的問題，深入的思考，采用合適的參數(shù)方程，才可以快速地解決數(shù)學(xué)問題，節(jié)約解題時間.在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題，需要鍛煉解題思維，鍛煉數(shù)學(xué)思維，在遇到數(shù)學(xué)問題時，就會沉著應(yīng)對.通過將曲線方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，將題的難度降低，運用數(shù)學(xué)思維解決問題，提高解題效率.

的優(yōu)缺點，提升思維水平，這也從另一個方面強化了知識結(jié)構(gòu).

2.注重培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的習(xí)慣

對于規(guī)范書寫，怎么強調(diào)都不過分.教師在平時的教學(xué)過程中，花點時間讓學(xué)生練習(xí)規(guī)范書寫也是值得的， 對于一道題， 可以嘗試讓學(xué)生多寫幾遍，最終再與比較規(guī)范的書寫對照， 找出問題所在， 反復(fù)練習(xí)，最終使學(xué)生潛移默化地養(yǎng)成規(guī)范書寫的習(xí)慣.筆者在二輪復(fù)習(xí)中，對于立體幾何題目，一般都是讓學(xué)生先獨立完成，之后同桌互評，了解不同的方法.然后挑幾個典型供大家分析、學(xué)習(xí)、欣賞，讓學(xué)生來點評，找出其中的優(yōu)缺點，最后假設(shè)自己是閱卷老師進行打分，從而促進學(xué)生眼中有圖，腦中有路，心中有數(shù).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，重要的一部分內(nèi)容就是圓錐曲線.圓錐曲線方程的解析方法、代數(shù)方法在平面曲線等方面發(fā)揮著強大的作用，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.只要是和圓錐曲線相關(guān)的問題，都可以使用圓錐曲線方程進行解題.我們在本文中對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行研究分析.

我們知道高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及到的圓錐曲線參數(shù)方程分為5類：直線參數(shù)方程、圓參數(shù)方程、橢圓參數(shù)方程、雙曲線參數(shù)方程、拋物線參數(shù)方程.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所占的比重較大，通過圓錐曲線參數(shù)方

程可以解決常見的問題，例如定值、最值、范圍、軌跡等問題.這些是高中數(shù)學(xué)中最常見的問題，也是在數(shù)學(xué)題中占據(jù)比例較大的問題.我們以示例作為探究基礎(chǔ)，對圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行研究.

1.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的最值問題

例1 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），橢圓一個內(nèi)接四邊形ABCD，其各邊和坐標(biāo)軸平行，求這個四邊形的最大面積和最大周長.

解析 根據(jù)題意設(shè)A（acosθ，bsinθ），由四邊形的各邊和坐標(biāo)軸平行，我們可以得知四邊形ABCD是一個矩形，則其面積為S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S為最大值時，sin2θ為最大值，sin2θ為最大值，其最大值為1，當(dāng)sin2θ=1時，S=2ab.四邊形ABCD的周長為L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.當(dāng)sin（θ+β）最大時，四邊形的周長最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

從這題的解析中我們不難發(fā)現(xiàn)其中使用到的圓錐曲線參數(shù)方程是橢圓參數(shù)方程，圓錐曲線參數(shù)方程在這個例題中的使用，主要是解決最值問題.

2.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的定值問題

例2 證明雙曲線上的任意一點到兩條漸近線的距離是一個定值.雙曲線方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

證明 將雙曲線上一點坐標(biāo)設(shè)置為Q（asecθ，btanθ），雙曲線的兩條漸近線方程分別為：

bx+ay=0； bx-ay=0.則雙曲線上的Q點到兩條漸近線的距離為d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）為定值.

從這個例題中我們看出使用的是圓錐曲線參數(shù)方程中的雙曲線參數(shù)方程，從這個問題中我們可以看出，圓錐曲線參數(shù)方程可以解決高中數(shù)學(xué)中遇到的定值問題.

3.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的軌跡問題

例3 在拋物線y2=2px（p>0）上的兩個動點A，B滿足OA ⊥OB，求弦AB中點M的軌跡方程.

解析 從題中的方程式進行分析，我們可以知道該方程為拋物線方程，所以我們將A的坐

標(biāo)設(shè)為（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B點坐標(biāo)為（2pt2，-2pt），將弦AB上的中點M坐標(biāo)設(shè)置為（x，y），由此可以得出M點的運動軌跡方程.

M點的軌跡方程為x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中點M的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

從該題進行分析，其中運用到的圓錐曲線參數(shù)方程為拋物線參數(shù)方程.想要將動點軌跡方程進行求解，需要使用參數(shù)方程，例題3中得出的M點運動軌跡方程為參數(shù)方程.

4.利用圓錐曲線參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)中遇到的范圍問題

例4 橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐標(biāo)軸的x正半軸相交，交點為A，

假設(shè)橢圓方程上始終有一點P，使得OP⊥PA，求橢圓離心率的范圍.

解析 由題意可知A點的坐標(biāo)為（a，0）.設(shè)橢圓上的點P坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ）.根據(jù)OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，進一步將上式化簡得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因為OP⊥PA，進而得知0

b2=a2-c2，所以得出橢圓離心率e的取值范圍為

21/22

例題4中涉及到的問題是范圍問題，應(yīng)用到的圓錐曲線參數(shù)方程是橢圓參數(shù)方程.

在高中數(shù)學(xué)中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數(shù)方程在5種參數(shù)方程的哪一種，在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中屬于重點，也屬于難點，需要學(xué)生認真的學(xué)習(xí)，針對相應(yīng)的問題，深入的思考，采用合適的參數(shù)方程，才可以快速地解決數(shù)學(xué)問題，節(jié)約解題時間.在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題，需要鍛煉解題思維，鍛煉數(shù)學(xué)思維，在遇到數(shù)學(xué)問題時，就會沉著應(yīng)對.通過將曲線方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，將題的難度降低，運用數(shù)學(xué)思維解決問題，提高解題效率.

的優(yōu)缺點，提升思維水平，這也從另一個方面強化了知識結(jié)構(gòu).

2.注重培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的習(xí)慣

對于規(guī)范書寫，怎么強調(diào)都不過分.教師在平時的教學(xué)過程中，花點時間讓學(xué)生練習(xí)規(guī)范書寫也是值得的， 對于一道題， 可以嘗試讓學(xué)生多寫幾遍，最終再與比較規(guī)范的書寫對照， 找出問題所在， 反復(fù)練習(xí)，最終使學(xué)生潛移默化地養(yǎng)成規(guī)范書寫的習(xí)慣.筆者在二輪復(fù)習(xí)中，對于立體幾何題目，一般都是讓學(xué)生先獨立完成，之后同桌互評，了解不同的方法.然后挑幾個典型供大家分析、學(xué)習(xí)、欣賞，讓學(xué)生來點評，找出其中的優(yōu)缺點，最后假設(shè)自己是閱卷老師進行打分，從而促進學(xué)生眼中有圖，腦中有路，心中有數(shù).