電磁彈性薄板振動力學研究進展

朱為國，白象忠

(1.淮陰工學院 數字化制造技術重點建設實驗室，江蘇 淮安 223003； 2.燕山大學 建筑工程與力學學院， 河北 秦皇島 066004)

0 引言

電磁效應是變形場同電磁場、溫度場在彈性固體內外產生相互作用的一種效應。在線性狀態(tài)的范圍內，此效應無論是對電介質，還是對導電物體均具各式各樣的數學模型。最近幾年，把研究此效應的新興學科稱為耦合場理論。其中，磁彈性理論將專門研究電磁場同變形場的耦合，即研究在彈性固態(tài)物體中電磁場同變形場的相互作用。這個理論基本是線彈性理論和在自由運動介質中線性電動力學理論的耦合。如果所研究的彈性體位于初始強大的磁場中，機械荷載、熱荷載在引起變形場的同時，將要產生電磁場。兩個場將發(fā)生相互作用和相互影響，出現耦合機制。電磁場對變形場的作用是由運動方程中的洛侖茲力引起。變形場會影響磁場的強度、磁彈性波和電磁波的傳播速度與位相，具體表現在歐姆定律中多了電流密度增長項，而且該項取決于變形物體在磁場中的位移速度[1-2]。

電磁結構的磁彈性非線性問題理論的廣泛研究對于處在高溫、高壓和強電磁場作用下的結構元件的設計、制造及可靠性分析都具有非常重要的意義。當電磁結構處在外加電磁場環(huán)境中時，一方面電磁結構受到電磁力作用而變形；另一方面結構的變形又導致電磁場發(fā)生改變進而使電磁力的分布發(fā)生變化。對于載流導電體，其電磁力為Lorentz力；對于可極化或可磁化的電磁介質材料，電磁力是通過電極化或磁化與外界電磁場相互作用而產生的。這種電磁場與力學場相互耦合的一個基本特征就是非線性，即使將電磁場與力學場分別處理為線性的，經耦合后的電磁彈性力學邊值方程仍呈非線性，這無疑給磁彈性理論的力學行為的定量分析帶來難度，使它成為近代力學研究中的一個極富挑戰(zhàn)性的課題。

1 薄板磁彈性振動問題的研究

國內外學者對電磁彈性振動問題已經做了大量的研究，取得了很多成果。

Pan E等研究了支持多層板的電磁彈性振動解。C.L. Zhang等研究了多鐵疊層板殼的電磁影響。Yang Gao等總結了研究磁彈性板殼結構的精細理論[3-5]。A. Dorfmann和R. W. Ogden等學者對非線性磁彈性體的變形作了大量的研究工作，得到一些有益的結論[6-7]。

胡宇達和白象忠以磁彈性基本假設為出發(fā)點，給出了傾斜磁場中無限長條形薄板的磁彈性運動方程及電動力學方程，并推得了兩長邊簡支薄板的磁彈性振動特征方程式[8]。算例表明，磁場因素的存在，將不同程度地影響著傳導薄板的振動情況，從而可達到控制該磁場環(huán)境中薄板振動的目的。

戴宏亮等給出了在橫向磁場作用下，各向異性厚壁圓筒磁彈性動力學問題的解析解[9]。磁彈性運動平衡方程中考慮了慣性效應和橫向磁場中的Lorentz力的影響。利用相應的有限Hankel變換和Laplace變換，求得在橫向磁場作用下，各向異性厚壁圓筒的動應力響應歷程及筒體內磁場矢量擾動響應規(guī)律。

胡宇達由虛功原理給出了磁場中薄板的磁彈性耦合運動方程，采用多尺度法求出了橫向磁場中條形板非線性振動的近似解，通過算例分析了磁場環(huán)境對振動周期和幅值的影響[10]。

茍興華和張發(fā)祥給出了多層彈性導電層合板在恒定磁場中的彎曲、穩(wěn)定和振動的基本方程[11]。Амбарцумян等給出的均勻、各向同性、彈性導電扳的著名方程是此文的特殊情形。

Hasanyan等研究了橫向磁場中幾何非線性、有限導電、各向同性彈性板帶的振動行為[12]。用基爾霍夫假設與馮卡門應變概念來建立機械模型，而通過Ambartsumyan等提出的假設建立電場和磁場干擾沿板帶的厚度方向分布模型。研究了磁場和電導率對板帶振動的影響，并在弱磁場和高電導率兩個特殊情況下，通過多重尺度法求的了系統(tǒng)振動的非線性固有頻率。最后，得出了一些有關的結論。

Hu YD等研究了薄板受到機械載荷作用兩邊簡支薄板的非線性主共振和組合共振及其解的穩(wěn)定性問題。采用多尺度法和平均法進行求解，得到了穩(wěn)態(tài)運動下的幅頻響應方程.最后，通過算例，給出了相應的幅頻響應曲線圖和時間歷程圖，分析了板厚、磁場及激勵幅值對系統(tǒng)振動的影響[13]。

2 薄板熱彈耦合振動研究

熱彈耦合振動是以熱彈耦合和振動理論為基礎發(fā)展起來的一個新興的研究方向。熱效應對結構振動的影響已經成為科技和工程界日益關注的重大課題。溫度的改變經常會導致工程構件的破壞。國內外學者在板的熱彈耦合振動方面也作了大量的研究,并取得了許多成果。

李忠學和嚴宗達研究了周邊固支的矩形板上表面受均勻分布熱流沖擊的熱彈耦合問題[14]。首先利用算子法將熱傳導方程由三維降為二維，和二維的熱彈性運動方程相協(xié)調，然后利用雙重傅里葉級數和拉普拉斯變換的方法消去方程中對時間的微分相，最后利用正交奇異法求解方程。

蔣嘉俊和顧皓中研究了矩形板耦合熱沖擊問題的攝動解。通過對薄板耦合熱彎曲問題的完備方程的無量綱化，引出了關于薄板的無量綱熱彈性耦合系數，并以此系數為攝動參數，運用奇異攝動方法，導出了其攝動方程，得到了關于矩形薄板耦合熱沖擊問題的一致有效的漸近解[15]。

吳曉在考慮溫度對傾斜矩形板材料彈性模量影響的基礎上,采用Galerkin 法、M elnikov-Ho lmes及Melnikov 原理研究了傾斜矩形板在熱狀態(tài)下的振動分岔，并討論分析了溫度、長寬比、板厚、傾斜角對矩形板發(fā)生混沌運動區(qū)域的影響[16]。

樹學鋒等人研究了圓板的非線性熱彈耦合振動問題，采用Galerkin法進行求解，他們認為：熱彈耦合效應對非線性振動的影響主要是引起振幅衰減，熱彈耦合效應越大，振幅衰減的越快。當圓板的初始撓度較小時，耦合效應使板的振動頻率加快，反之，則耦合效應使板的振動頻率減小。邊界條件對耦合效應有較大的影響，較強的邊界條件使熱彈耦合自由振動的頻率變低但振蕩幅度增大[17]。

尹益輝等利用有限Hankel變換法，導出了周界等溫彈性支撐圓薄板在激光束輻照下的軸對稱耦合熱彈性彎曲振動近似解；針對具有不同彈性模量和熱膨脹系數的薄板進行了熱力耦合和非耦合彎曲振動的解析和有限元計算與分析[18]。

Yen-Liang Yeh對大變形簡支正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動作了研究。導出了大撓度正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動的偏微分方程并用遼金法簡化為三階非線性常微分方程的。建模結果的數值模擬表明，簡支正交異性矩形薄板振幅隨著正交異性材料各種參數衰變的[19]。

李世榮等研究了薄板在周期熱流作用下的溫度響應。首先采用分離變量法，求解了以熱流矢量為基本未知量的熱傳導方程，得到了板內熱流場分布，然后再利用能量守恒方程，獲得了板內溫度響應的解析表達式[20]。通過計算，分析了板內溫度響應隨不同熱流矢量延遲相以及邊界熱流頻率的變化趨勢，并與經典的Fourier熱傳導方程所得到的結果進行了比較。

侯鵬飛等對表面熱力耦合均載作用下的簡支圓板應力作了研究[21]。針對表面熱力耦合均載作用下的簡支空心和實心圓板，構造了3個含有待定常數的單調和函數，將其代入用單調和函數表示的橫觀各向同性熱彈性材料的通解，獲得了表面熱力耦合均載作用下的簡支空心圓板內熱彈性場的解，再將所得解代入邊界條件獲得了確定待定常數和組合待定常數的線性方程組。經過合理退化進一步得到了實心圓板對應問題的解，所得各解都是用初等函數表示，非常方便工程應用。算例給出了在熱力耦合載荷作用下的簡支空心圓板內熱彈性場的分布。

N.S. Al-Huniti和M.A. Al-Nimr采用雙曲熱傳導模式集中分析了加熱下的復合薄板的熱彈性響應[22]。P. Ram等研究了具有調諧的弛豫時間下廣義熱彈性擴散問題的熱力響應[23]。

3 板殼熱磁彈性理論研究

熱磁彈性理論是專門研究電磁場、溫度場同變形場的耦合效應。熱磁彈性理論的產生，對于處在高溫、高壓和強電場作用下的結構及結構元件的強度與可靠性的分析具有非常重要的意義。對溫度場、電磁場與導體、變形物體間的相互作用問題的研究才剛剛起步，與該理論相關的許多因素尚未考慮，其中大部分是在沒有考慮磁和電的極化特征的前提下進行的。當彈性物體材料具有磁極化特征時，場相互作用的機制將會顯著地復雜化。一些學者致力于磁彈性、熱磁彈性理論的實際應用研究，同時在實驗領域內，開始對磁彈性、熱磁彈性力學效應，以及對耦合場作用下的振型及其穩(wěn)定性進行測試，提出了一些實際應用的建議和設想。

戴宏亮和戴慶華研究了厚壁圓筒在熱、磁耦合作用下的動態(tài)響應[24]。運用力學和電磁場的知識對厚壁圓筒結構建立平衡方程，并通過Laplace和Hankel積分變化對物理方程進行變換，得到一個可解的方程形式。提出了一種解析方法求解雜熱磁沖擊作用下厚壁圓筒的動應力和磁場矢量擾動，得到柱體內動應力響應歷程和分布規(guī)律及磁場矢量擾動的響應歷程和分布規(guī)律。實例計算表明，該方法是簡單、有效，并給出了一些有實際意義的結果。

王省哲和鄭小靜利用鐵磁介質的磁熱彈性廣義變分原理和模型，以及磁彈性線性化方法和攝動技術，對鐵磁梁式薄板在磁場、溫度場共同作用下的多場耦合的力學行為進行了研究，解析的分析了鐵磁梁式板的磁熱彈性屈曲失穩(wěn)，并給出了鐵磁梁式板隨外加磁場、溫度場變化下的多場耦合穩(wěn)定特征[25]。

侯鵬飛等研究了耦合均載作用下的電磁熱彈性簡支圓板[26]。構造了5個含有待定常數的單調和函數，將其代入用單調和函數表示的橫觀各向同性電磁熱彈性材料的通解，獲得了表面力電磁熱耦合均載作用下的簡支空心圓板內耦合場的解，再將所得解代入邊界條件獲得確定待定常數的線性方程組。該解可以退化得到實心圓板對應問題的解。所得各解都是用初等函數表示，非常方便于工程應用。算例比較了在相同熱力載荷作用下，具有相同物理常數的熱彈性空心圓板、壓電熱彈性空心圓板和電磁熱彈性空心圓板內的彈性場。

何天虎和田曉耕基于Lord和Shulman廣義熱彈性理論，研究了熱、電可導的半無限大體電磁熱彈耦合的二維問題[27]。半無限大體受熱和外加恒定磁場的作用，文中建立了電磁熱彈性耦合的控制方程，零用正則模態(tài)法求解得到了所考慮物理量的解吸解，并用圖形反映了各物理量的分布規(guī)律，從分布圖上可以看出，介質中出現了電磁熱彈耦合效應，各物理量的非零值僅在一個有限的區(qū)域內。

H.L. Dai和X. Wang等學者研究了磁場矢量在非均質、正交異性熱彈性圓柱體和擾動正交異性復合空心圓柱的磁熱應力，以及在熱沖擊和激勵下壓電層合球殼應力波的傳播[28-29]。

雖然這些研究在某種程度上還處于初級階段，但從目前研究的結果看，這對于改善殼體的工作狀態(tài)是非常有益的。

4 彈性薄板混沌運動研究

混沌表示一類在確定性系統(tǒng)中發(fā)生的類隨機運動，它不是由隨機性外因引起，而是由確定性方程直接得到的具有隨機性的運動狀態(tài)?；煦邕\動是許多非線性系統(tǒng)的典型行為，在許多工程結構中薄板薄殼就具有類似的工作特性。因此，對板殼的混沌運動特性研究具有重要的理論和實踐意思。國內外學者在這方面都做了不少研究工作。

J. Awrejcewicz等研究了各種板、板帶在不同支撐和邊界條件以及載荷下的非線性振動特性與分岔、混沌特性[30-31]。

Wei-Zhang等用Galerkin法從馮卡門方程導出一般方程，分析了在參數和外激勵力作用下的矩形薄板、2自由度的條形板梁、懸臂梁以及非自治的屈曲薄板的局部和全局分岔[32-33]。

葉建軍討論了具有均勻介質的彈性矩形薄板在微擾下產生混沌運動的條件。徐耀寰和蔡宗熙用Melnikov-Holmes方法研究四邊簡支的彈性矩形薄板可能發(fā)生混沌振動的臨界條件[34-35]。

米晉生等考慮材料的非線性粘彈性效應，建立了板條的橫向動力方程，利用Melnikov函數法給出了系統(tǒng)發(fā)生混沌運動的臨界條件，最后對通向混沌的道路進行了討論[36]。

高原文等在磁體力分布的磁彈性理論模型和磁場準靜態(tài)假定模式基礎上，對于處在周期時變磁場中的不可移簡支鐵磁架式板非線性磁彈性動力特性進行定性與定量分析[37]。首先利用磁場的攝動技術和結構變形的模態(tài)法，導出了關于模態(tài)坐標的非線性動力方程；然后利用Melnikov方法，從理論上給出這一磁彈性動力系統(tǒng)可能出現混沌運動的必要條件及參數范圍；最后利用變步長Runlge-Kutta數值積分方法對其磁彈性相互作用的混沌現象進行了定量搜索與模擬，并利用其軌跡的Poincare截面圖與Liapunov指數加以判斷。結果表明，磁彈性簡支粱式板在橫向周期時變磁場中存在混沌吸引子，且在機械阻尼很小時其混沌吸引子表現出稠的特性。

吳曉采用Melnikov法及Galerkin原理研究了屈曲黏彈性矩形板的非線性振動分岔，并討論分析了長寬比、板厚等因素對屈曲黏彈性矩形板發(fā)生混沌運動區(qū)域的影響[38]。

Yeh YL等對熱彈非耦合圓板和熱彈耦合矩形板的分岔與混沌作了研究[39-40]。

王新志等推導出圓薄板的動力變分方程，用Galerkin法得到一個三次非線性振動方程，用Flouquet指數和Melnikov方法分別研究了圓板的分岔問題和可能發(fā)生的混沌振動[41]。

Hsin-Yi Lai等利用分形維數和最大Lyapunov指數的判斷準則，提出了一種新的方法來描述簡支大撓度矩形板有可能導致混沌運動的條件[42]。首先推導得到簡支矩形板控制偏微分方程，然后用Galerkin方法將其簡化為兩個常微分方程。

薛春霞和樹學鋒研究處于橫向均勻磁場中四邊簡支的軟鐵磁矩形薄板，在橫向均布載荷作用下，主要考慮因磁化和渦電流引起的磁場力作用，由伽遼金法推導出磁彈性振動微分方程，求得了系統(tǒng)的同宿軌道參數方程；并推導和求解了振動系統(tǒng)的同宿軌道的Melnikov函數，給出了判斷該系統(tǒng)發(fā)生Sma1e馬蹄變換意義下混沌振動的條件和混沌判據，進一步應用Matlab程序對系統(tǒng)的混沌特性進行了數值模擬得到相應的相圖、龐加萊截而圖和時程曲線圖，驗證了混沌現象的存在[43]。

Chin, C和Nayfeh, A. H.研究了外激勵下圓柱彈性殼的分岔和混沌[44]。P. Riberiro和R. P. Duarte研究了從周期向混沌振蕩的復合材料層合板[45]。Xiaoling He用解耦的模態(tài)分析法研究了受熱載作用下簡支正交異性板薄的非線性動力學問題[46]。

X. L. LENG等對諧波激勵下隨機Duffing系統(tǒng)的分岔和混沌進行了分析[47]。S. B. Samoylenko和W. K. Lee研究了諧激勵下無阻尼圓板的全局分叉和混沌[48]。

燕山大學白象忠團隊從2006年起針對電磁彈性薄板在多場載荷作用下的分岔和混沌運動特性進行了系列研究，取得了一些研究成果[49-53]。

5 結束語

本文回顧了電磁彈性薄板非線性振動研究歷史，并重點介紹了國內外薄板磁彈性振動、熱彈耦合、熱磁彈性、分岔與混沌等方面的研究進展，為薄板薄壁結構在多物理場作用下性能優(yōu)化、提高工程結構壽命提供了有益的理論指導。

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