三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵模型及應用研究

王 娜,胡麗平,李炳軍

(河南農(nóng)業(yè)大學信息與管理科學學院,河南 鄭州 450000)

在灰色決策理論與技術中,以決策信息為區(qū)間灰數(shù)情況下的研究最為活躍,相關研究成果不斷涌現(xiàn)[1～5].然而,在區(qū)間灰數(shù)決策問題研究中,用區(qū)間灰數(shù)表示決策信息時,為了覆蓋整個取值范圍,區(qū)間灰數(shù)的上限與下限常常會取的過大,造成決策的不確定性程度增大.文獻[6]提出了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的概念,即除了取值區(qū)間外,還可以獲知灰數(shù)的最可能取值點,為區(qū)間灰數(shù)決策問題研究指出了新的途徑.此后,相繼出現(xiàn)了一系列關于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策問題的研究成果.文獻[7]通過構建三參數(shù)區(qū)間數(shù),改進了項目決策評價方法；文獻[8]探討了方案指標值為區(qū)間灰數(shù)且灰數(shù)取值可能性最大數(shù)已知的決策問題；文獻[9]提出了三參數(shù)區(qū)間值模糊集上的TOPSIS決策方法；文獻[10]通過定義三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序之間的偏差函數(shù),給出了一種確定決策者權重向量的有效方法；文獻[11]提出了一種基于相對優(yōu)勢度的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的排序方法,并應用于變量為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)數(shù)據(jù)包絡分析模型；文獻[12]建立了基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)熵測度的屬性權重模型,并構建了依據(jù)TOPSIS思想的不確定性決策框架.這些研究成果豐富和深化了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策理論,為本研究提供了借鑒.信息熵可表示系統(tǒng)的有序程度,用以解決信息的量化度量問題[13].近年來,信息熵已被廣泛應用到多個行業(yè),用來對不穩(wěn)定數(shù)據(jù)進行修正,從而降低不穩(wěn)定性對結果的主觀性影響.本研究將三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策問題與信息熵相結合,構建三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵模型,以期解決灰色決策問題中三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)屬性的賦權問題,并借助相關實例,驗證模型的有效性和適用性.

1 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)及灰距離熵模型

1.1三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)及運算

記x(?)∈[xL,x*,xU](0

類似于區(qū)間灰數(shù)的運算性質(zhì)[14],可定義三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的運算.設a(?)∈[aL,a*,aU](0

加法運算：a(?)+b(?)=[aL+bL,a*+b*,aU+bU]

減法運算：a(?)-b(?)=[aL-bU,a*-b*,aU-bL]

a(?)-a(?)=[aL-aU,0,aU-aL]

乘法運算：

a(?)·b(?)=[min(aLbL,aLbU,aUaL,aUbU),a*b*,max(aLbL,aLbU,aUaL,aUbU)]

指數(shù)運算：ca(?)=[caL,ca*,caU],c為正實數(shù)，a(?)為正區(qū)間灰數(shù)

乘方運算：[aL,a*,aU]n=[(aL)n,(a*)n,(aU)n]

1.2三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵

信息熵是信息論中的重要概念,是系統(tǒng)紊亂程度的測度.對一個具體的系統(tǒng)來說,如果這個系統(tǒng)隨機性很大、非?；靵y、毫無秩序,則此系統(tǒng)的信息熵就一定很大；反之,如果一個系統(tǒng)是確定的、具有一定的規(guī)則、服從一定的秩序,則此系統(tǒng)的信息熵就一定小.SHANNONCE[13]提出了信息熵的公式：

(1)

Pi表示隨機事件i發(fā)生的概率;n表示事件的個數(shù).

類似信息熵定義,參照[15]和[16],定義三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵.令a(?)=?1,b(?)=?2,a(?)和b(?)中的aL=a,a*=m,bU=b，bL=c,b*=n,bU=d,定義三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1∈[a,m,b](0

(2)

為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1和?2的距離熵.灰距離熵不是?1和?2之間距離的大小,而是2者接近度的度量.

定理1三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1和?2越接近,灰距離熵H(D)就越大,當?1=?2時(即a=c,b=d,m=n),H(D)最大；?1和?2越遠離,H(D)就越小.

H(d1)=-P1lnP1-(1-P1)ln (1-P1).

對H(d1)求P1的導數(shù),H(d1)′=-lnP1-1+ln(1-P1)+1,

同理,b=d時,H(d2)最大,maxH(d2)=ln 2；m=n時,H(d3)最大,maxH(d3)=ln 2.

因此,當a=c,b=d,m=n時,距離熵H(D)最大,

H(d1)]=ln 2.

同理可證,當?1和?2越遠離時,H(D)就越小.

2 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵的應用

2.1三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策問題及屬性權重的確定

在多屬性決策中,所有方案在同一屬性下的屬性值差異越小,則說明該屬性對決策的影響越?。环粗?則說明該屬性對決策的影響越大.從這個角度考慮,方案屬性值差異度越大的屬性應賦予較大的權重.由三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵的定義及定理1可知,三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)?1和?2越接近,灰距離熵H(D)就越大,當?1=?2時,H(D)最大；?1和?2越遠離,H(D)就越小.因此對于屬性值是三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的多屬性決策問題,其每一個屬性值的差異性就可以用三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵來表示.對于屬性Uj,若方案Ai與其他方案的偏差用Dij表示,可定義：

(3)

(4)

對于屬性Uj而言,Dj表示每個方案與其他方案的灰距離熵總偏差.所有方案在屬性Uj下灰距離熵偏差越大,說明該屬性指標對方案決策和排序所起的作用越??；反之,所有方案在屬性Uj下灰距離熵偏差越小,說明該屬性對方案決策和排序所起的作用越大.因此,從對方案進行排序的角度考慮,方案綜合屬性值灰距離熵越小的屬性Uj,就認為它辨識度越好,而盡可能地賦予它較大的權重.對所有的屬性Uj,若使所有待評方案與其他決策方案的灰距離熵最小,則得到的各屬性的權重一定是優(yōu)化的,即屬性權重的賦權模型為：

(5)

2.2實例分析

某大型體育館有A1,A2,A3,A44種備選方案,根據(jù)U1～U55種屬性(屬性分別為質(zhì)量、成本、工期、安全、施工難度)進行決策,請多位專家分別給出權重區(qū)間和屬性矩陣,各屬性值以三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)形式給出,則每個屬性值權重的取值分別為：

ω1∈[0.12,0.15],

ω2∈[0.23,0.35],

ω3∈[0.10,0.15],

ω4∈[0.32,0.40],

ω5∈[0.10,0.18].

各方案的屬性值如表1所示,數(shù)據(jù)來源于文獻[7].

表1 各方案屬性值

歸一化處理成標準區(qū)間數(shù)決策矩陣：

利用公式(2)計算各屬性值下4種方案之間的灰距離熵,結果見表2.

表2 屬性Uj的灰距離熵

基于表2,由式(3)和式(4)得：

7.813 602ω1(k≠i)

從而得：

D=7.813 602ω1+8.187 492 6ω2+8.230 949 4ω3+

8.193 477 6ω4+8.173 378 4ω5

由式(5)，區(qū)間權重的賦權模型為：

應用LINGO程序,求解得到屬性權重為：

ω1=0.15,ω2=0.25,ω3=0.10,ω4=0.32,ω5=0.18.

這樣,決策就轉化為權重已知情況下的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)多屬性決策問題,應用灰色多屬性決策的理想解法[17],加權標準化決策矩陣為：

進一步求得,方案A1,A2,A3,A4的相對貼近度為：

C1=0.514 4;C2=0.341 7;C3=0.655 4;

C4=0.486 7.

根據(jù)相對貼近度的大小,各方案的最終排序為A3>A1>A4>A2.方案3為最優(yōu)方案.與文獻[7]結果一致.本研究運用灰距離熵模型對多屬性決策的屬性進行賦權,一定程度上減少了主觀因素對權重的影響,使結果更為優(yōu)化合理和說服力.

3 結語

在現(xiàn)實決策問題中,三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)廣泛存在.本研究借助信息熵理論,建立了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵模型,證明了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)與灰距離熵之間的關系,及灰距離熵的相關性質(zhì).針對具有三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)特征的多屬性決策問題,根據(jù)離差最大化思想和三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離熵模型,給出了一種新的屬性賦權模型,并結合具體實例,驗證了該賦權模型的適用性,為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)多屬性決策提供了一種新的屬性賦權方法.同時,本研究所建立的灰距離熵模型,也可應用于多屬性決策問題的屬性篩選,以及多指標評價問題的指標體系約簡.

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