透視投影下的月面撞擊坑地形恢復(fù)算法研究

徐辛超，徐愛功，劉少創(chuàng)，徐宗秋

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧阜新 123000；2.中國(guó)科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所，北京 100101）

一、引 言

我國(guó)的探月工程是《國(guó)家中長(zhǎng)期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要（2006—2020年）》中的16個(gè)重大專項(xiàng)之一，也是中華民族歷史上重大的科技工程之一。2013年發(fā)射的嫦娥三號(hào)衛(wèi)星將攜帶月面著陸器和月面巡視探測(cè)器實(shí)現(xiàn)月球軟著陸和巡視探測(cè)任務(wù)［1］。由于月面巡視探測(cè)器在行進(jìn)過程中可能會(huì)因地形判斷錯(cuò)誤陷入撞擊坑或發(fā)生側(cè)翻事故，為確保月面巡視探測(cè)器安全開展科學(xué)探測(cè)任務(wù)，首先需要以著陸區(qū)附近的三維地形為依據(jù)生成移動(dòng)指令，完成巡視器的路徑規(guī)劃［2］。在著陸區(qū)中，作為月面最典型的地貌特征，撞擊坑地形的出現(xiàn)是不可避免的，且該地形也容易導(dǎo)致側(cè)翻事故的發(fā)生，因此，撞擊坑地形的恢復(fù)具有非常重要的意義。

以攝影測(cè)量為基礎(chǔ)的測(cè)圖技術(shù)是測(cè)繪領(lǐng)域中獲取地形的主要手段，即利用不同位置拍攝的影像，通過內(nèi)外方位元素計(jì)算得到匹配點(diǎn)對(duì)的空間三維坐標(biāo)，并最終由這些匹配點(diǎn)對(duì)實(shí)現(xiàn)地形恢復(fù)［3-4］。但在紋理缺乏、反射率單一的月表，只能得到較少量的匹配點(diǎn)，通過匹配點(diǎn)也只能得到精度較低的地形，不能滿足巡視器路徑規(guī)劃的需求。SFS（shape from shading）是計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中的一種三維恢復(fù)技術(shù)，即通過影像中的各個(gè)像素灰度和物體表面反射模型為基礎(chǔ)，建立反射方程，進(jìn)而求解得到物體的三維形狀［5］。SFS以影像像素為單位進(jìn)行三維恢復(fù)，但由于SFS算法在恢復(fù)時(shí)要求物體表面的反射特性一致，因此其應(yīng)用領(lǐng)域大大受到限制，并且現(xiàn)有關(guān)于SFS方面的算法較少，恢復(fù)精度有限。因此，研究一種適合月面撞擊坑地形恢復(fù)的SFS算法可以為探月工程提供一定的技術(shù)保障。

二、透視投影下的SFS技術(shù)

SFS又被稱為明暗恢復(fù)形狀，主要用于計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域。在地面影像中，由于地表物體反射率往往不一致，因此不能運(yùn)用SFS技術(shù)進(jìn)行恢復(fù)。但月球表面較為均勻的月壤成分為SFS技術(shù)的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。在傳統(tǒng)SFS技術(shù)中，一般假設(shè)影像為正射投影，但在著陸器下降過程中獲得的降落影像，由于相機(jī)焦距和角度不變，當(dāng)著陸器高度較低時(shí)，影像的投影關(guān)系應(yīng)視為透視投影，因此本文需要研究一種透視投影下的SFS技術(shù)。

1.傳統(tǒng)SFS技術(shù)

運(yùn)用SFS進(jìn)行三維恢復(fù)時(shí)，要求物體表面的光照反射率已知，并且表面各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光照反射率幾乎一致，光源為已知位置的無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)光源；此外，影像拍攝過程可近似認(rèn)為是正交投影［6］。在滿足上述要求的基礎(chǔ)上，按照一定的光照反射模型即可進(jìn)行三維恢復(fù)［7］。

本文月面地形恢復(fù)過程中，采用探月一期處理影像時(shí)采用的反射模型——Lommel-Seeliger反射模型建立反射方程并求解［8］。圖1為L(zhǎng)ommel-Seeliger反射模型示意圖，其中，e為觀測(cè)者所在方向與物體表面法向量的夾角；i為光照入射角；L為光源方向；E為觀察方向；N為物體表面法向量。

圖1 Lommel-Seeliger反射模型

假設(shè)光源方向向量為N（ps，qs，-1），相機(jī)的方向向量為N（pe，qe，-1），物體表面點(diǎn)的法向量為N（nx，ny，nz）。為減少反射方程中的未知數(shù)，通常采用梯度形式的法向量N（p，q，-1）代替N（nx，ny，nz）。根據(jù)反射模型建立反射方程

在反射方程中，p、q是未知的，但對(duì)于影像中的每個(gè)像素，只能建立一個(gè)方程。因此，SFS實(shí)際是個(gè)病態(tài)的問題，需要將其正則化后，通過方程的求解得到最終三維恢復(fù)結(jié)果。

2.透視投影下的SFS

當(dāng)相機(jī)位置與月表距離較小時(shí)，影像的投影方式已經(jīng)不能簡(jiǎn)單地近似為正射投影［9］。因此，需要研究透視投影情況下的SFS。

如圖2所示，在像平面內(nèi)的兩條直線c1、c2分別平行于v軸和u軸，其在實(shí)際曲面S中對(duì)應(yīng)的兩條曲線分別為C1、C2。像平面內(nèi)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面S中的Q點(diǎn)。

圖2 透視投影模型

將曲面方程寫為參數(shù)形式后，可得透視投影下像平面內(nèi)的曲線方程

假設(shè)f為相機(jī)焦距，由透視投影與正射投影關(guān)系可得對(duì)應(yīng)正射投影下的曲線方程

對(duì)應(yīng)曲線C（s）的切線為

由于過點(diǎn)P的直線c1、c2平行于坐標(biāo)軸且分別交坐標(biāo)軸于v0和u0處，因此c1、c2可記為c1（u）、c2（v），實(shí)際曲面中對(duì)應(yīng)的曲線方程記為C1（u）、C2（v），求取切線方程

將二者叉乘即可得到實(shí)際曲面上點(diǎn)Q的法向量N，將其改寫為梯度形式，即

由梯度定義可得p=zu/z，q=zv/z，以 Lommel-Seeliger反射模型建立透視投影下的反射方程，并整理得

得到透視投影下的反射方程后，經(jīng)過一定的約束求解過程，即可進(jìn)行三維恢復(fù)。

三、透視投影下的撞擊坑三維恢復(fù)

由于SFS建立的反射方程實(shí)際上是病態(tài)的方程，因此在建立透視投影下的反射方程后，需要增加一定的約束條件才能實(shí)現(xiàn)正確的三維恢復(fù)。

1.邊緣線約束

邊緣信息是影像中一個(gè)最基本的重要特征，在影像分析中起著重要的作用。邊緣是指影像中局部特征突變的部分，在一定程度上反映出地形的特點(diǎn)。邊緣線可以反映不同地形的變化，如撞擊坑與周圍地形的交界、斜坡面與月溪的交界等。

為方便問題描述，可以將撞擊坑地形看做由垂直于其邊緣線的寬度為ds的微小面塊組成。如圖3所示，建立OXYZ坐標(biāo)系統(tǒng)，假設(shè)某邊緣點(diǎn)處為原點(diǎn)O，沿著邊緣線方向?yàn)閅軸方向，Z軸指向天頂方向，X軸和Y軸、Z軸構(gòu)成右手空間直角坐標(biāo)系。

圖3 OXYZ坐標(biāo)系統(tǒng)

在與邊緣線相鄰的微小區(qū)域內(nèi)，地形可近似看做是微小斜面，且該斜面過Y軸。假設(shè)其與XY平面夾角為α，其中0＜α＜90°，則該斜面方程在此坐標(biāo)系下可以描述為

可得該區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)（x，y，z）處的梯度形式法向量為（sin α/cos α，0，-0/cos α）。該向量在XY平面內(nèi)的投影為（sin θ/cos θ，0），由此可得該區(qū)域內(nèi)任意地形點(diǎn)的梯度比例k在XY平面內(nèi)的投影為

即該微小斜面內(nèi)的各點(diǎn)法向量在XY平面內(nèi)的投影垂直于Y軸。

在OXYZ坐標(biāo)下，其對(duì)應(yīng)邊緣線與Y軸重合，因此邊緣線上的任意點(diǎn)法向量在XY平面內(nèi)的投影也垂直于Y軸，即與邊緣線相鄰的微小斜面內(nèi)各點(diǎn)的法向量在XY平面內(nèi)的投影與邊緣線點(diǎn)法向量在XY平面內(nèi)的投影平行。因此，該微小斜面內(nèi)的梯度比例即可由其附近邊緣線的梯度比例求得。

2.連續(xù)性約束

一般情況下撞擊坑內(nèi)部地形表面都是連續(xù)的。為求取整個(gè)撞擊坑內(nèi)部其他點(diǎn)的梯度比例，本文算法在此運(yùn)用了Horn提出的連續(xù)性約束條件。假設(shè)Ω為影像（x，y）的覆蓋范圍，連續(xù)地形表面模型可以表示為

式中，px、py和qx、qy分別為p和q關(guān)于x、y方向的偏導(dǎo)數(shù)。

式（10）也可稱為光滑約束條件，該條件下地形表面相鄰各點(diǎn)的表面法向量是相似的。因此，相鄰各點(diǎn)的梯度比例也是相似的。撞擊坑內(nèi)部除邊緣線附近點(diǎn)外的其他點(diǎn)的梯度比例可按照連續(xù)性約束條件演化得到。

至此，根據(jù)本文提出的邊緣線約束和連續(xù)性約束條件，即可運(yùn)用撞擊坑邊緣線點(diǎn)法向量的梯度比例演化求得撞擊坑內(nèi)部任意點(diǎn)處的梯度比例k。將本文算法提出的梯度比例因子代入式（7），得到加入本文約束比例k后的反射方程為

顯然通過梯度比例與地形表面連續(xù)性約束后，本文算法在透視投影下的反射方程是正則化的，通過一定方法進(jìn)行求解后，即可實(shí)現(xiàn)三維恢復(fù)。

四、試驗(yàn)分析

為了對(duì)本文提出算法的可行性進(jìn)行論證，采用模擬影像進(jìn)行了算法正確性測(cè)試，然后對(duì)月面影像進(jìn)行了恢復(fù)測(cè)試，并與經(jīng)典SFS方法進(jìn)行了比較分析。

1.算法實(shí)現(xiàn)

由第三節(jié)得到的撞擊坑的邊緣線點(diǎn)處的梯度比例可求得整個(gè)撞擊坑內(nèi)部點(diǎn)的梯度比例，從而實(shí)現(xiàn)反射方程的約束，使得SFS問題能夠正確求解。撞擊坑地形恢復(fù)流程如圖4所示。

圖4 透視投影下的撞擊坑地形恢復(fù)流程

首先通過灰度卷積模板，得到撞擊坑初步的邊緣位置；然后對(duì)每個(gè)邊緣像素周圍的邊緣點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到該邊緣點(diǎn)處的梯度比例；此后按照曲面連續(xù)性約束條件，得到整個(gè)撞擊坑的梯度比例；最后將得到的梯度比例代入透視投影下的反射方程，求解得到撞擊坑的三維地形。

2.影像三維恢復(fù)

本文首先采用模擬影像對(duì)算法的可行性進(jìn)行驗(yàn)證。圖5為本文提出算法對(duì)模擬影像的恢復(fù)結(jié)果及恢復(fù)誤差。模擬影像對(duì)應(yīng)光照方向向量為（0.05，0.1，1）。

圖5 模擬影像三維恢復(fù)結(jié)果及恢復(fù)誤差

將圖5中本文算法恢復(fù)結(jié)果與模擬影像真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比可以得出，本文算法的恢復(fù)結(jié)果與模擬影像結(jié)果非常接近，證明了本文算法的正確性和可行性，但仍存在一定程度的恢復(fù)誤差。本文算法的平均誤差為0.065，最大誤差為0.157（由于SFS恢復(fù)結(jié)果為相對(duì)關(guān)系，在此只采用相對(duì)數(shù)值，無具體單位）。撞擊坑內(nèi)部點(diǎn)恢復(fù)誤差較小，而誤差較大的部分集中在撞擊坑邊緣附近。本文算法是基于地形特征邊緣線的梯度約束展開，因此恢復(fù)誤差的產(chǎn)生必然與特征邊緣線有關(guān)。由于算法的局限性，根據(jù)灰度算子提取得到的特征邊緣線與影像的實(shí)際邊緣不可避免地存在位置偏差；此外，在梯度比例因子求取過程中還需要將特征邊緣線進(jìn)行擬合，在此過程中會(huì)產(chǎn)生擬合誤差。因此，在真實(shí)邊緣點(diǎn)與所提取得到的邊緣點(diǎn)附近必然會(huì)存在較多的恢復(fù)誤差。

本文采用真實(shí)月面影像對(duì)本文提出的算法及SFS算法中對(duì)真實(shí)野外影像恢復(fù)效果最好的Tsai算法進(jìn)行了恢復(fù)效果測(cè)試，并得出了測(cè)試結(jié)果。真實(shí)月面影像中光照方向未知，因此在進(jìn)行地形恢復(fù)時(shí)需要首先運(yùn)用現(xiàn)有光照估計(jì)方法對(duì)光照方向進(jìn)行估計(jì)。本文采用文獻(xiàn)［11］中的方法進(jìn)行估計(jì)，得到圖6中月面撞擊坑影像的光照方向分別為（1.0，1.2，1.5）和（-0.1，-1.2，1.5）。Tsai算法與本文算法的最終恢復(fù)效果如圖6所示。

圖6 月面影像三維恢復(fù)

由圖6可以看出，這兩種算法對(duì)于陰影區(qū)域的恢復(fù)效果都比較差。由于SFS恢復(fù)過程中，需要首先根據(jù)影像中的像素灰度分別建立反射方程，而陰影區(qū)域的像素灰度實(shí)際上不符合月面反射模型特征，在此基礎(chǔ)上建立的反射方程也是錯(cuò)誤的，從而導(dǎo)致最終的三維恢復(fù)結(jié)果存在較大誤差；此外，在影像中存在某些點(diǎn)的反射率突變，直接造成恢復(fù)結(jié)果的突變。因此，為保證恢復(fù)結(jié)果的精度，運(yùn)用SFS技術(shù)進(jìn)行三維恢復(fù)時(shí)，要求物體表面的反射率近似一致。雖然Tsai算法在現(xiàn)有SFS算法中對(duì)于實(shí)際地形的恢復(fù)效果最接近實(shí)際地形，但從測(cè)繪角度而言，該方法對(duì)于實(shí)際地形的恢復(fù)效果仍不能滿足生產(chǎn)需要，而本文算法由于存在邊緣梯度約束與撞擊坑內(nèi)部表面連續(xù)性約束，因此得到的恢復(fù)結(jié)果與實(shí)際地形更加接近。但由于透視投影下本文采用的反射模型與實(shí)際反射情況的偏差、光照方向估計(jì)偏差，以及SFS約束條件的求取等因素導(dǎo)致本文算法仍存在一定的恢復(fù)誤差。

五、結(jié)束語

本文研究了月面影像的特點(diǎn)，以及通過匹配進(jìn)行月面地形恢復(fù)的局限性，分析了通過計(jì)算機(jī)視覺中SFS技術(shù)進(jìn)行月面地形恢復(fù)的可行性。在對(duì)透視投影情況下SFS算法進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，建立了透視投影下的反射方程，以Lommel-Seeliger反射模型為基礎(chǔ)，通過月面影像中存在的特征信息，實(shí)現(xiàn)了對(duì)反射方程的正則化約束，最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)月面地形的三維恢復(fù)。采用Matlab模擬影像和真實(shí)月面影像對(duì)本文算法的正確性進(jìn)行了測(cè)試。試驗(yàn)證明，本文算法在模擬影像情況下的恢復(fù)結(jié)果與真實(shí)值非常接近，驗(yàn)證了算法的正確性。此外，相對(duì)于其他SFS算法，本文算法對(duì)于實(shí)際月面影像有更好的恢復(fù)效果。SFS技術(shù)用于地形恢復(fù)不僅可以豐富測(cè)繪手段，也可為我國(guó)深空探測(cè)領(lǐng)域中測(cè)繪方面的問題提供一定的技術(shù)儲(chǔ)備。

［1］ 歐陽自遠(yuǎn)，李春來，鄒永廖，等.中國(guó)月球探測(cè)二期工程科學(xué)目標(biāo)的研究［C］∥中國(guó)宇航學(xué)會(huì)深空探測(cè)技術(shù)專業(yè)委員會(huì)第一屆學(xué)術(shù)會(huì)議論文集.北京:［s.n.］，2005:1-8.

［2］ 葉培建，張火高，饒煒.積極應(yīng)對(duì)深空探測(cè)的技術(shù)挑戰(zhàn)［C］∥中國(guó)宇航學(xué)會(huì)深空探測(cè)技術(shù)專業(yè)委員會(huì)第二屆學(xué)術(shù)會(huì)議論文集.北京:［s.n.］，2005:1-8.

［3］ 孫敏，胡爭(zhēng).基于向量匹配的稀疏深度圖生成算法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40（1）:90-95.

［4］ 李壯，雷志輝，于起峰.基于梯度徑向夾角直方圖的異源圖像匹配［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40（3）:318-325.

［5］ PRADHAN R，GHOSE M K，JEYARAM A.Extraction of Depth Elevation Model（DEM）from High Resolution Satellite Imagery Using Shape from Shading Approach［J］.International Journal of Computer Applications，2010，7（12）:40-46.

［6］ BURT P J，ADELSON E H.High-frequency Shape and Albedo from Shading Using Natural Image Statistics［C］∥IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.Los Angeles:［s.n.］，2011:2521-2528.

［7］ KHUU S K，KHAMBIYE S.The Influence of Shape from Shading Information on the Perception of Global Motion［J］.Vision Research，2012，55（15）:1-10.

［8］ 歐陽自遠(yuǎn)，胡浩，王世杰，等.月球科學(xué)概論［M］.北京:中國(guó)宇航出版社，2005:38-40.

［9］ TANKUS A，SOCHEN N，YESHURU Y.Shape from Shading under Perspective Projection［J］.International Journal of Computer Vision，2005，63（1）:21-43.

［10］ TSAI P S，SHAH M.Shape from Shading Using Linear Approximation［J］.Image and Vision Computing，1994，12（8）:487-498.

［11］ 楊杰，鄧志鵬，郭英凱，等.兩種新的光照方向估計(jì)方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，36（6）:894-896.