EMD邊緣效應(yīng)問題的一種處理方法

滕建方，王 俊，李 維

（中航工業(yè)洪都，江西南昌330024）

0 引言

HHT方法是近幾年成功應(yīng)用故障診斷的一個(gè)新的方法，其核心是EMD。該方法由Huang于1998年提出，具有自適應(yīng)特性,適宜于非平穩(wěn)信號(hào)的分解[1,2]。因?yàn)閷?shí)際故障診斷信號(hào)幾乎都是非平穩(wěn)信號(hào)，所以，準(zhǔn)確的分析處理非平穩(wěn)信號(hào)是故障診斷成功與否的關(guān)鍵。而如今EMD分解一般采用的是三次樣條插值的方法，對(duì)于有限長信號(hào)而言，將不可避免的帶來邊緣效應(yīng)的問題。Huang指出該問題可在信號(hào)的兩端，根據(jù)端點(diǎn)信號(hào)的振幅和頻率，分別加兩個(gè)特征波來解決，但沒有給出具體的做法；事實(shí)上，他們的方法已向美國宙航局申請(qǐng)了專利.并稱該問題仍然沒有徹底解決，由此可見，邊緣效應(yīng)問題是EMD的一個(gè)重要的亟待探討和完善的問題。

1 EMD信號(hào)分解方法介紹

EMD方法的大體思路是用波動(dòng)上、下包絡(luò)的平均值去確定“瞬時(shí)平衡位置”,進(jìn)而提取固有模態(tài)函數(shù)IMF。IMF要滿足兩個(gè)條件：1)整個(gè)數(shù)據(jù)集的極大極小值數(shù)目與過零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差一個(gè)；2)數(shù)據(jù)集的任意點(diǎn)上，由極大值確定的包絡(luò)與由極小值確定的包絡(luò)的均值始終為零。這兩個(gè)條件實(shí)際上使得分解得到IMF是窄帶信號(hào)。而且EMD分解基于下面的假設(shè)：1)信號(hào)至少有兩個(gè)極值，一個(gè)極大值和一個(gè)極小值；2)信號(hào)特征時(shí)間尺度是由極值間的時(shí)間間隔確定的；3)如果數(shù)據(jù)中缺乏極值點(diǎn)，但存在缺陷點(diǎn)，可通過微分、分解、再積分的方法獲得IMF。EMD具體分解過程如下：

對(duì)任一信號(hào)x(t)，首先確認(rèn)x(t)上的所有極點(diǎn)，然后將所有極大值點(diǎn)和所有的極小值點(diǎn)分別用三次樣條插值形成的曲線連接起來，使兩條曲線包含所有的信號(hào)數(shù)據(jù)，從而得到x(t)的上、下兩條包絡(luò)線，若兩條包絡(luò)線的平均值記作m，將x(t)與m的差記作h，即：x (t)-m=h，視h為新的x(t)，重復(fù)以上操作，直到h滿足一定的條件時(shí)，記c1=h。c1視為一個(gè)IMF，x(t)-c1=r，將r視為新的x(t)，重復(fù)以上過程，依次得第二個(gè)IMF，第三個(gè)IMF，直到cn或r滿足給定的終止條件。由此可得x(t)的分解式：

其中，r為殘余函數(shù)，代表信號(hào)的平均趨勢。

2 EMD邊緣效應(yīng)問題

EMD邊緣效應(yīng)問題的本質(zhì)是由于三次樣條插值帶來的。一般說來，三次樣條插值方法對(duì)信號(hào)以外的插值點(diǎn)的插值只是邊界點(diǎn)處相鄰二點(diǎn)的三次多項(xiàng)式的延伸.而由于現(xiàn)實(shí)信號(hào)的多樣性，三次樣條插值方法很難保證端點(diǎn)外的插值精度，而EMD變換恰恰需要對(duì)信號(hào)的全部極大值和極小值點(diǎn)進(jìn)行插值，則一定會(huì)出現(xiàn)端點(diǎn)外插值的情況，因而出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)是不可避免的。而在端點(diǎn)處不是極值點(diǎn)的情況進(jìn)行三次樣條插值時(shí)，必然會(huì)使得信號(hào)的上下包絡(luò)在信號(hào)的兩端附近嚴(yán)重扭曲。在信號(hào)的高頻分量，由于時(shí)間尺度小，極值間的距離小，端部的邊緣效應(yīng)僅局限在信號(hào)兩端很小的部分。但對(duì)于低頻分量，由于其時(shí)間尺度大，極值間的距離大，端部的邊緣效應(yīng)就傳播到信號(hào)的內(nèi)部，特別是原始信號(hào)數(shù)據(jù)集比較短時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響EMD分解的質(zhì)量，使得分解出來的IMF分量沒有實(shí)際的物理意義。

現(xiàn)在解決該問題的思路一般是兩種：一種是改進(jìn)或者替換三次樣條插值的方法，如采用約束三次樣條插值；另一種是仍然利用三次樣條插值而依據(jù)信號(hào)本身的特征進(jìn)行某種處理，如對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓，在每次平滑過程中根據(jù)信號(hào)的特征在兩端點(diǎn)處添加極值點(diǎn)等。如今的解決方法一般是第二種思路，其中最成功的莫過于鏡像法，無論在效率還是效果上，鏡像法都處于一個(gè)較高的水平上，是現(xiàn)如今應(yīng)對(duì)邊緣效應(yīng)問題上極佳的選擇。但盡管如此，鏡像法也有很多不足的地方，其中一個(gè)重要的問題是鏡像方法對(duì)邊緣處的信號(hào)依賴性大，當(dāng)端點(diǎn)處無法確定為極值點(diǎn)時(shí)常會(huì)帶來端點(diǎn)漂移現(xiàn)象，引起振蕩誤差。

當(dāng)然鏡像法可以由人來根據(jù)信號(hào)的特征來確定鏡子的位置，但這也就造成對(duì)人的依賴因素過大，而且對(duì)于實(shí)時(shí)系統(tǒng)與隨機(jī)性比較強(qiáng)的信號(hào)顯然無法行的通，另外在非端點(diǎn)處安放鏡子的位置也需丟棄邊緣處真實(shí)的信號(hào)，這對(duì)于數(shù)據(jù)集比較短的信號(hào)無疑會(huì)影響處理效果。本文提出的算法就是在鏡像方法的思想上利用邊緣數(shù)據(jù)添加極值點(diǎn)的方法，來減少三次樣條插值帶來的邊緣效應(yīng)。

3 利用邊緣數(shù)據(jù)添加極值點(diǎn)的新方法

本文方法的基本思想是在每次的平滑過程中，在邊界處合適的位置，利用邊緣信號(hào)某切點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)來確定添加的極值點(diǎn)，再在以極值點(diǎn)處為對(duì)稱軸向兩端擴(kuò)展從而得到所需的新極值點(diǎn)，具體措施如下：

1）極值點(diǎn)位置的確定

對(duì)于原始信號(hào)，首先判斷兩端邊緣處的數(shù)據(jù)是否可取，對(duì)于過短的數(shù)據(jù)（如少于前三個(gè)極值點(diǎn)距離平均值的一半）則丟棄，以第一個(gè)極值點(diǎn)作為鏡子的位置，對(duì)于較長的數(shù)據(jù)（大于前三個(gè)極值點(diǎn)距離的平均值）則直接以端點(diǎn)處作為鏡子的位置，而對(duì)于兩者之間的情況則以第一個(gè)極值點(diǎn)向外一個(gè)平均值的距離作為鏡子的安放處。安放鏡子之后就可以利用原信號(hào)的極值點(diǎn)對(duì)稱的拓展新的極值點(diǎn)。

2）極值點(diǎn)值的確定

當(dāng)信號(hào)邊緣處數(shù)據(jù)過短，直接以信號(hào)本身極值點(diǎn)作為鏡子的位置時(shí)可以以鏡像方法的思想來獲取添加的極值點(diǎn)，但對(duì)于1）中后兩種情況，則按照以下方法進(jìn)行。具體方法是：假設(shè)信號(hào)第一個(gè)極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)，取其起點(diǎn)與第一個(gè)極值點(diǎn)中間的信號(hào)求導(dǎo)，確定其求導(dǎo)后的最大值k，及最大值k所在的切點(diǎn)的位置(x,y)，以方程y=k*x+b來確定b，而b就是所要添加的極小值。一般情況下，b值能很好的體現(xiàn)邊緣處信號(hào)的趨勢，接近于真實(shí)的極值點(diǎn)，個(gè)別情況下可能會(huì)超過信號(hào)的最值點(diǎn)，這種情況下則以最值點(diǎn)來代替b值。其他情況與其類似，只不過確定是最小值k，添加的是極大值而已。末端信號(hào)數(shù)據(jù)的處理也與其雷同。

在新的極值點(diǎn)處安放鏡子拓展極值點(diǎn) （一般擴(kuò)展四到五個(gè)即可），利用新的極值點(diǎn)集進(jìn)行三次插值，從而得到原信號(hào)的上下包絡(luò)線。余下過程按照正常EMD程序處理。

該方法是充分利用邊緣處信號(hào)的特征，即邊緣數(shù)據(jù)某切點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)來添加端點(diǎn)附近所需的極值點(diǎn)，再加上利用鏡像方法的思想拓展所需的其它極值點(diǎn)，所以可稱為切點(diǎn)方法。該方法能較好適應(yīng)端點(diǎn)非極值點(diǎn)的情況，對(duì)信號(hào)的適應(yīng)性更強(qiáng)，提高了處理效果，能很好的抑制邊緣效應(yīng)。

4 算例分析

本文采用如下算例進(jìn)行驗(yàn)證：

1）算例1：

采樣頻率取200Hz，時(shí)間取0.3-2.25秒，理論上各階IMF分量由高到低分別是8Hz，4Hz，1Hz，以下為鏡像方法，本文方法EMD分解后得到的各階分量與真實(shí)IMF分量的對(duì)比。

從圖1、圖2和圖3中可以看出，本文方法有效的抑制了三次樣條插值帶來的邊緣效應(yīng)，比之鏡像方法得到的各階IMF分量都有明顯改善，特別是隨著分解的繼續(xù)，鏡像方法的低階分量前端數(shù)據(jù)已經(jīng)與真實(shí)分量有較大的差距，而本文的方法不但在高階分量上很好的體現(xiàn)了真實(shí)分量，也在低階分量上有較好的表現(xiàn)，并且各階分量在末端上也很好的保留了鏡像方法的優(yōu)勢。

2)算例2：

所產(chǎn)生的原始信號(hào)如圖4所示。

鏡像方法分解產(chǎn)生了多達(dá)11階IMF分量與一個(gè)殘余量，其中僅有頭兩階可取，頭兩階IMF如圖5、圖6所示。

從分解結(jié)果來看，鏡像方法雖然如實(shí)的反映了真實(shí)的IMF分量，但是引進(jìn)了多余的IMF分量，而本文方法從效果上看比之鏡像方法略好，且沒有多余的IMF分量。

圖1 算例1第一階IMF分量對(duì)比

圖2 算例1第二階IMF分量對(duì)比

圖3 算例1第三階IMF分量對(duì)比

圖4 算例2原始信號(hào)

圖5 算例2第一階IMF分量對(duì)比

圖6 算例2第二階IMF分量對(duì)比

5 結(jié)論

本文將鏡像方法的思想與普通添加極值點(diǎn)方法結(jié)合，并利用了邊緣信號(hào)的切線與y軸的交點(diǎn)來添加極值點(diǎn)，有效的抑制了邊緣效應(yīng)，分析結(jié)果表明：

1）該方法繼承了鏡像方法的優(yōu)點(diǎn)，并且以邊緣信號(hào)的切線與y軸的交點(diǎn)來添加新極值點(diǎn)的方式，很好的彌補(bǔ)了鏡像方法對(duì)信號(hào)適應(yīng)性差的缺陷，減少了因?yàn)槎它c(diǎn)非極值點(diǎn)而帶來的振蕩誤差，使得處理效果更加完善。

2）本文采用的思想是鏡像思想，而實(shí)際程序運(yùn)行則是一般添加極值點(diǎn)的方法，效果上比鏡像方法更好，適應(yīng)性更強(qiáng)，因?yàn)闊o須延拓信號(hào)本身，所以處理時(shí)間上也要高效很多。

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