基于下偏度最小化貸款組合優(yōu)化模型

，

(1.大連理工大學(xué)管理與經(jīng)濟學(xué)部，遼寧 大連 116023；2.山推工程機械股份有限公司，山東 濟寧 272073)

1 引言

貸款組合優(yōu)化決策是商業(yè)銀行信貸管理的核心問題。商業(yè)銀行合理協(xié)調(diào)資金配置、優(yōu)化貸款組合，對其實現(xiàn)盈利并對風(fēng)險進行有效地控制具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者對貸款組合優(yōu)化方法進行了大量的研究，現(xiàn)有研究大體分為以下三類：

(1)基于均值—方差貸款組合優(yōu)化模型

Markowiz[1]提出均值—方差模型，該模型得到了理論界和實務(wù)界的廣泛認同。姜靈敏[2]在同時考慮貸款組合的收益和風(fēng)險的條件下，建立了綜合風(fēng)險收益優(yōu)化模型。Uryasev等[3]著眼于銀行風(fēng)險聚集戰(zhàn)略，考慮銀行風(fēng)險收益目標，對貸款組合進行優(yōu)化。

(2)基于風(fēng)險價值VaR貸款組合優(yōu)化模型

Monica[4]的風(fēng)險管理人員提出了用VaR方法測量金融投資組合的市場風(fēng)險。Rockafellar[5]提出條件風(fēng)險價值，彌補了VaR不能反映損失尾部信息的缺陷。劉小茂等[6]等應(yīng)用CVaR對資產(chǎn)組合優(yōu)化問題進行了初步研究，得到了一定條件下有效前沿的三種形式。郭戰(zhàn)琴等[7]綜合考慮商業(yè)銀行的風(fēng)險承受能力，建立了基于VaR約束的商業(yè)銀行貸款組合多目標優(yōu)化模型。Lim等[8]提出一個兩階段規(guī)劃的方法，解決了CVaR最小化模型實際運用時數(shù)據(jù)維度過大不利于運算的問題。

(3)基于高階矩風(fēng)險貸款組合優(yōu)化模型

Samuelson[9]首先提出在資產(chǎn)配置中應(yīng)用高階矩。Chunhachinda[10]和Prakash[11]將偏度引入到投資組合配置中。遲國泰等[12]在模型的約束條件中引入偏度，建立了貸款組合的“均值—方差—偏度”的貸款組合模型，增加了收益率大于均值的概率。

目前，資產(chǎn)組合優(yōu)化模型研究已經(jīng)取得了長足的進展，但現(xiàn)有模型大多采用方差或下偏矩反映貸款組合的風(fēng)險，不能準確反映貸款之間的相互關(guān)系，模型的解析能力不足。

本文在貸款組合優(yōu)化模型中引入下偏度概念，建立目標函數(shù)為下偏度最小化的貸款組合優(yōu)化模型，提高模型的解析能力。

2 下偏度組合優(yōu)化模型原理

2.1 下偏度風(fēng)險控制原理

組合收益率偏度指組合收益率的三階中心矩，其表達式為：

skewness(r(i))=∑p(i)[r(i)-E(r)]3

(1)

其中，r(i)表示貸款組合收益率，p(i)為概率分布，E(r)為貸款組合收益率期望值。

[r(i)-E(r)]3表示組合收益率的每個可能值偏離期望收益率的程度；

投資者期望：貸款組合實際收益率大于期望收益率，即[r(i)-E(r)]3﹥0；

投資者厭惡：貸款組合實際收益率小于期望收益率，即[r(i)-E(r)]3﹤0。

現(xiàn)有研究大多以方差來衡量風(fēng)險，這是基于對未來收益率的易變性或不確定性的認識，但Fishburn[15]研究表明，不確定性和易變性不是風(fēng)險的本質(zhì)。所以通過收益率的不確定性來刻畫風(fēng)險是不準確的，合理的情況是以目標收益率高于未來可能收益率的程度來刻畫風(fēng)險。

組合收益率下偏度公式為：

(2)

公式(2)中符號含義如公式(1)所示。

2.2 VaR組合風(fēng)險控制原理

VaR，又稱風(fēng)險價值，是指在一定置信度和特定期間下，某一投資組合所面臨最大的可能損失，其數(shù)學(xué)公式為：

p(XVaR)=1-α

(3)

其中，X>0表示收益；X<0表示損失；α為置信度；VaR為可能損失限額[12]。

VaR方法的核心思想是信用工具價值受企業(yè)信用等級變化的影響[12]。因此，以VaR為約束條件控制貸款組合風(fēng)險，必須同時考慮貸款企業(yè)的信用等級轉(zhuǎn)移概率、挽回率及違約概率等因素。

2.3 基于下偏度最小化貸款組合優(yōu)化原理

(1)運用下偏度刻畫風(fēng)險，反映風(fēng)險的本質(zhì)，同時反映多筆貸款之間的聯(lián)系，提高現(xiàn)有模型的解析能力。

(2)用馬爾可夫過程刻畫貸款企業(yè)信用等級遷移概率，計算收益率期望值及方差，在此基礎(chǔ)上度量貸款組合的VaR，控制貸款組合的整體風(fēng)險。

基于下偏度風(fēng)險控制的貸款組合優(yōu)化原理：從投資者風(fēng)險厭惡角度出發(fā)，以下偏度最小化控制貸款組合的真實風(fēng)險，降低發(fā)生重大損失的概率；以VaR為約束條件，控制貸款組合的整體風(fēng)險在銀行可接受的范圍內(nèi)；以最低收益限額為約束條件，最終確定商業(yè)銀行資產(chǎn)分配比重。

基于下偏度最小化貸款組合優(yōu)化模型原理圖如圖1所示。

2.4 模型的特色與創(chuàng)新

(1)優(yōu)化模型體現(xiàn)了對組合風(fēng)險的雙重控制。通過VaR風(fēng)險額限制貸款組合的違約風(fēng)險，將貸款違約風(fēng)險控制在銀行可承受的范圍內(nèi)，以此來控制貸款組合的整體風(fēng)險，最終實現(xiàn)風(fēng)險的雙重控制。

(2)通過下偏度控制貸款組合風(fēng)險，既體現(xiàn)了風(fēng)險的本質(zhì)和投資者的真實心理，還反映了多筆貸款的相互關(guān)系，很好地提高了現(xiàn)有模型的解析能力。

3 基于下偏度最小化貸款組合優(yōu)化模型

3.1 約束條件的建立

1.基本參數(shù)計算

(1)信用等級遷移矩陣

假設(shè)貸款企業(yè)的信用等級遷移概率符合馬爾可夫過程[16]，一年期遷移概率矩陣及貸款挽回率如表1 所示[17]。

圖1 基于下偏度最小化貸款組合優(yōu)化模型原理圖

表1 一年期企業(yè)遷移概率矩陣Pij(%)及不同等級貸款的挽回率

(2)信用等級遷移后貸款的收益率

用零息票利率作為折現(xiàn)率[12]計算出不同信用等級的企業(yè)貸款市場價值。各信用等級的零息票利率Rij如表2所示[16]。

表2 一年期零息票利率Rij(%)

(4)

(5)

由公式(4)和公式(5)，可以得到公式(6)：

(6)

(3)信用等級遷移時貸款收益率的計算

假設(shè)銀行為某企業(yè)提供4年期貸款，該筆貸款的貸款利率見表3，企業(yè)的初始信用等級為BBB級，一年后上升到AAA級時的貸款收益率為：

表3 某商業(yè)銀行資產(chǎn)利率表Ri

(4)單筆貸款的期望收益率與標準差的計算

Yk為一年后初始信用等級為i的第k筆貸款的收益率，Pij為貸款企業(yè)信用等級由i變?yōu)閖的概率，則Yk的分布如下：

(7)

則一年后第k筆貸款的期望收益率、方差及標準差公式分別為：

(8)

(9)

(10)

2.最低收益限額約束

設(shè)xk—第k筆貸款比重，EY*—一年后貸款組合期望收益率，則：

(11)

設(shè)某銀行資產(chǎn)配置最低期望收益率為a，則約束條件(11)可以得到：

(12)

3.VaR約束條件的構(gòu)建

(1)貸款收益相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)公式為：

(13)

其中，X,Y為隨機變量

若協(xié)方差COV(X,Y)及方差D(X),D(Y)未知時，相關(guān)系數(shù)表達式為：

(14)

則貸款企業(yè)收益率的相關(guān)系數(shù)矩陣：

(15)

(2)VaR約束條件的建立

設(shè)D(Y*)為貸款組合收益率的方差，則有：

(16)

其中，XT=(x1,x2,…xn)為各筆貸款的權(quán)重向量；σ為各筆貸款收益率的標準差矩陣，由公式(10)可以得到該矩陣的表達式：

(17)

α的置信水平上貸款組合的損失率小于等于現(xiàn)金與備付金比例之和[20]。本文取α=95%，可得到下面的表達式：

P(Y*EY*-(w1+w4))1-0.95

(18)

(19)

其中，w1為現(xiàn)金比例，w4為備付金比例。

當(dāng)有足夠多的貸款企業(yè)時，根據(jù)中心極限定理，公式(19)可表示為：

(20)

將公式(20)代入公式(16)，可以得到VaR約束

XTσρσX≤(w1+w4)2/1.652

(21)

4.銀行監(jiān)管約束的引入

為保證商業(yè)銀行經(jīng)營的安全性、流動性及盈利性，各國商業(yè)銀行法令和金融管理要求商業(yè)銀行配置滿足以下條件[19]：

DLR=L/D≤75%

(22)

RR=(R+C)/L≥5%

(23)

LMR=M/D≤8%

(24)

其中，DLR—存貸款比例；RR—備付金比例；LMR—拆出資金比例；L—單筆貸款期末余額；D—單筆存款期末余額；C—商業(yè)銀行庫存現(xiàn)金期末余額；R—商業(yè)銀行在央行備付金存款期末余額；M—拆出資金期末余額。

3.2 目標函數(shù)的構(gòu)建

1.貸款組合收益率下偏度公式

設(shè)為一年后第k筆貸款的收益率偏度為SYk，根據(jù)公式(1)，則有：

(25)

由公式(2)，可得，一年后第k筆貸款的收益率下偏度的計算公式為：

(26)

設(shè)S*(Y*)為一年后貸款組合收益率偏度，則有：

(27)

根據(jù)公式(26)、(27)，可以得到一年后貸款組合收益率下偏度的計算公式為：

(28)

(29)

其中，E(Yk-EYk)≤0,E(Yk-EYk)2E(Yl-EYl)≤0,E(Yk-EYk)E(Yl-EYl)E(Yh-EYh)≤0。

公式(29)中，第三部分為三筆貸款的下協(xié)偏度，其可以同時反映三筆貸款之間的相互關(guān)聯(lián)程度，能夠更好地反映各筆貸款之間的相關(guān)關(guān)系，使現(xiàn)有模型的解析能力得到提高。

2.下偏度的估計式

隨機變量X、Y和Z的三階混合中心矩E(X-EX)(Y-EY)(Z-EZ)可由樣本的混合三階中心矩Sxyz來度量。表4為商業(yè)銀行對n個企業(yè)貸款的歷史收益率。

表4 商業(yè)銀行對n類企業(yè)貸款的m年收益率rij

設(shè)S*(Y*-)為貸款組合收益率下偏度的估計值，可得貸款組合收益率下偏度估計公式：

(30)

本研究以貸款組合下偏度最小化為目標函數(shù)，控制貸款組合發(fā)生重大損失的風(fēng)險。

3.3 組合優(yōu)化模型的建立

以貸款組合下偏度最小化為目標函數(shù)，根據(jù)公式(29)、公式(30)，構(gòu)建優(yōu)化模型目標函數(shù)：

obj：min-S*(Y*-)

(31)

最低收益限額約束：

(32)

風(fēng)險價值VaR約束：

s.t.XTσρσX≤(w1+w4)2/1.652

(33)

根據(jù)銀行監(jiān)管約束[18]

根據(jù)公式(22)，構(gòu)建存貸款比例約束條件：

s.t.x1+x2+...+xn≤75%

(34)

根據(jù)公式(23)，構(gòu)建備付金比例約束條件：

s.t.w1+w4≤5%(x1+x2+...+xn)

(35)

根據(jù)公式(24)，構(gòu)建拆出資金比例約束條件：

s.t.w5+w6≤8%(1-w2-w3-w4)

(36)

法定存款準備金比例約束條件：

s.t.w2≤6%

(37)

系統(tǒng)內(nèi)存款準備金比例約束：

s.t.w3≥7%

(38)

銀行經(jīng)營管理約束

基于流動性的庫存現(xiàn)金比例約束：

s.t.w1≥0.06%

(39)

基于盈利性的庫存現(xiàn)金比例約束：

s.t.w1≤1.5%

(40)

貸款結(jié)構(gòu)約束：

(41)

3.4 模型特色與創(chuàng)新

(1)以下偏度控制風(fēng)險，符合收益率呈“尖峰厚尾”分布特征，可以降低商業(yè)銀行貸款發(fā)生重大損失的概率。

(2)以下偏度最小化為目標函數(shù)，既體現(xiàn)了風(fēng)險的本質(zhì)，又反映了多筆貸款之間的相互關(guān)系，提高模型的解析能力。

(3)用VaR控制貸款組合的整體風(fēng)險，運用下偏度控制貸款組合發(fā)生重大損失的概率，實現(xiàn)了對貸款組合風(fēng)險的雙重控制。

4 應(yīng)用實例與分析

4.1 基本數(shù)據(jù)及處理

1.基本數(shù)據(jù)

假設(shè)某商業(yè)銀行在資產(chǎn)負債管理的實際操作中，按照表3的資產(chǎn)利率進行資產(chǎn)分配，現(xiàn)在該銀行擬對5個貸款企業(yè)進行貸款分配，貸款企業(yè)的基本情況(如：初始信用等級和貸款期限)如表5所示。

表5 貸款企業(yè)情況一覽表

假設(shè)該銀行同時也保留這5家貸款企業(yè)近15年的實際貸款收益率的歷史數(shù)據(jù)，如表6所示。

表6 年貸款收益率rij

2.信用等級遷移后貸款的三因素和下偏度值

由表5、表2的數(shù)據(jù)代入到公式(8)，可以得到5家貸款企業(yè)一年后信用等級遷移后的收益率，如表7所示。

表7 貸款企業(yè)信用等級遷移后收益率

表7中的數(shù)據(jù)表示，貸款企業(yè)信用等級在經(jīng)過一年的遷移后，每種狀態(tài)下可能的收益率。例如，該表中第二行第三列的0.059158表示，初始信用等級為AAA級，貸款期限為三年的企業(yè)，若一年后其信用等級下降A(chǔ)A級，那么其收益率為0.059158。

由公式(8)、(9)、(10)可以得到5個貸款企業(yè)的期望收益率和標準差，由公式(26)及表6，可以得到一年后每筆貸款企業(yè)的下偏度值。各筆貸款期望收益率、標準差及下偏度如表8所示。

表8 一年后貸款的期望收益率(EYk)、標準差(σ)及下偏度

3.相關(guān)系數(shù)的計算

由表6及公式(13)、公式(14)，可以得到5個企業(yè)貸款收益率相關(guān)系數(shù)矩陣，如表9所示。

表9 各類企業(yè)貸款收益率的相關(guān)系數(shù)ρ

4.2 模型的建立

1.目標函數(shù)的建立

將實例中數(shù)據(jù)帶入公式(31)，可得實例目標函數(shù)：

obj:min-S*(Y*-)=-(-0.11086x13-0.0848x32-0.04753x33-0.02534x43-17.2599x53-0.05884x12x2-0.07506x12x3-0.09727x12x4-0.75553x12x5-0.01351x1x22-0.13861x22x3-0.04527x22x4-0.01124x22x5-0.04747x1x32-0.12847x2x32-0.04925x32x4-0.26731x32x5-0.05792x1x42-0.00733x2x42-0.0256x3x42-0.3462x42x5-5.73659x1x52-0.95973x2x52-3.14854x3x52-3.19349x4x52-0.03576x1x2x3-0.06813x1x2x4-0.3301x1x2x5-0.09762x1x3x4-0.91743x1x3x5-0.96972x1x4x5-0.0597x2x3x4-0.1101x2x3x5-0.24845x2x4x5-0.67461x3x4x5)

(42)

2.收益率限額約束

將表3、表8的數(shù)據(jù)代入公式(12)，可得貸款收益限額約束條件：

s.t.0w1+0.0252w2+0.0252w3+0.0252w4+0.03w5+0.033w6+0.059962x1+0.093987x2+0.084837x3+0.077896x4-0.002159x5≥α

(43)

3.VaR約束的建立

由表8，可以得到5筆貸款的標準差矩陣：

(44)

將ρ,σ代入公式(33)，可以得到VaR約束條件：

s.t.XTσρσX≤(w1+w4)2/1.652

(45)

其它法律法規(guī)約束條件及商業(yè)銀行經(jīng)營管理約束條件參照公式(34)-(41)，不再贅述。

(三)模型求解與對比分析

1.模型求解

本文運用Matlab編程，最后得到各項資產(chǎn)分配比例為：

XT=(w1,w2,…w6,x1,…x4,x5)=(0.0006, 0.0545, 0.246, 0.1759, 0.011, 0.0309,0.0088, 0.1572,0.115,0.2,0)

將該銀行的資金頭寸按照上述結(jié)果進行配置，分配比例結(jié)果見表10。其中，方案一是以下偏度最小化為目標函數(shù)的優(yōu)化模型分配結(jié)果，方案二是以半絕對偏差最小化為目標函數(shù)的優(yōu)化模型結(jié)果。

表10 貸款組合優(yōu)化模型結(jié)果對比分析

2.結(jié)果對比分析

為了便于比較，本文統(tǒng)一采用貸款組合收益率標準差來衡量貸款組合收益率標準差衡量貸款組合收益風(fēng)險[19]。兩模型分析結(jié)果如下：

(1)由表10計算得出，模型1與模型2對無風(fēng)險資產(chǎn)的分配比率相差不大。原因是：前六項資產(chǎn)是無風(fēng)險資產(chǎn)，收益率是固定的，不存在波動性，風(fēng)險只存在于貸款項目，因此，兩種方案對無風(fēng)險資產(chǎn)的分配總額相同。

(2)由表10可看出，在貸款組合收益率限額為5.4%的約束下，模型1的標準差為0.00670，模型2的標準差為0.00742，在收益相同的情況下，模型1的風(fēng)險略低于模型2，模型1的單位收益風(fēng)險明顯小于模型2。原因是：模型1不僅考慮了每個貸款企業(yè)本身的風(fēng)險大小，同時還考慮了各筆貸款之間的相關(guān)關(guān)系，克服了模型2僅考慮單筆貸款的風(fēng)險，而忽略各筆貸款之間相關(guān)程度的不足。

(3)通過對比分析可以發(fā)現(xiàn)，以收益率的下偏度最小化控制貸款組合風(fēng)險，能夠保證銀行在實現(xiàn)收益的前提下，降低商業(yè)銀行由于極值事件發(fā)生重大損失的可能性，從而也證明本文的研究是正確而有效的。

5 結(jié)語

(1)以組合VaR為約束條件，控制貸款組合的風(fēng)險，以貸款組合下偏度最小化為目標函數(shù)，控制商業(yè)銀行發(fā)生重大損失的概率，建立基于下偏度最小化貸款組合優(yōu)化模型可以實現(xiàn)對風(fēng)險的雙重控制。

(2)以下偏度刻畫貸款組合真實風(fēng)險，準確反映收益率“尖峰厚尾”分布特征，降低貸款組合發(fā)生重大損失的概率。同時還能反映貸款之間的相關(guān)聯(lián)系，提高模型的解析能力。

(3)將貸款企業(yè)信用等級發(fā)生變化因素納入到衡量貸款組合收益率期望、方差及VaR的過程，有利于提高信用風(fēng)險度量的準確性。

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