關(guān)于四次整系數(shù)不可約多項式

徐蕾蕾，黎愛平

(上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

設(shè)f(x)=x4+p3x3+p2x2+p1x+1是一個整系數(shù)多項式，本文就以下各種情況對f(x)在有理數(shù)域上可約或不可約的問題進(jìn)行了研究，給出了f(x)可約或不可約的判定條件。

(1)情形1：p3=0，p2=0，p1=0，定理1；

(2)情形2：p3=0，p2=0，p1≠0，定理1；

(3)情形3：p3=0，p2≠0，p1=0，定理2；

(4)情形4：p3=0，p2≠0，p1≠0，定理3；

(5)情形5：p3≠0，p2=0，p1=0，定理4；

(6)情形6：p3≠0，p2≠0，p1=0，定理4；

定理1.設(shè)f(x)=x4+px+1是整系數(shù)多項式，則

當(dāng)p=2或p=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約。反之,f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明：當(dāng)p=2時，f(x)=x4+2x+1=(x+1)(x3-x2+x+1)，

當(dāng)p=-2時，f(x)=x4-2x+1=(x-1)(x3+x2+x-1)，即f(x)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p=0時，顯然f(x)在有理數(shù)域上不可約。

當(dāng)p≠0時，若p≠2且p≠-2，則f(x)沒有有理數(shù)根，即f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。假定f(x)在有理數(shù)域上可約，根據(jù)因式分解定理，則f(x)只能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積，設(shè)為

f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

其中a,b,c,d均為整數(shù)。

即x4+px+1=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+cb)x+bd。

從而

當(dāng)b=1且d=1時，p=a+c=0與p≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

當(dāng)b=-1且d=-1時，p=-(a+c)=0與p≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

綜上所述，當(dāng)p=2或p=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約，否則f(x)在有理數(shù)域上不可約。

推論1.1.設(shè)f(x)=x4+px+1(p≠0)是整系數(shù)多項式，若f(x)無整數(shù)根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明：因為f(x)無整數(shù)根，所以f(x)在有理數(shù)域上不能分解成一次因式之積。因為p≠0，由定理1的證明可知，f(x)又不能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積。即f(x)在有理數(shù)域上不可約。

定理2.設(shè)f(x)=x4+px2+1(p≠0)是整系數(shù)多項式，則

(1)當(dāng)p=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約；

(2)當(dāng)p≤-2，且-2-p是一個有理數(shù)的平方或2-p是一個有理數(shù)的平方，f(x)在有理數(shù)域上可約；

(3)除上述情況外,f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明: (1)當(dāng)p=-2時，f(x)=x4-2x2+1=(x2+1)(x2-1)=(x+1)(x-1)(x2+1),即f(x)在有理數(shù)域上可約。

(2)當(dāng)p≤-2時，且-2-p是一個有理數(shù)的平方，

(3)除上述情況外，因為f(x)沒有有理數(shù)根，則f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。假定f(x)在有理數(shù)域上可約，根據(jù)因式分解定理，則f(x)只能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積，設(shè)為

f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

其中a,b,c,d均為整數(shù)。即

x4+px2+1=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+cb)x+bd。

從而

當(dāng)b=1且d=1時，p=a+c=0與p≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

當(dāng)b=-1且d=-1時，p=-(a+c)=0與p≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

綜上所述，當(dāng)p=-2，以及p≤-2，且-2-p是一個有理數(shù)的平方或2-p是一個有理數(shù)的平方，f(x)在有理數(shù)域上可約。否則，f(x)在有理數(shù)域上不可約。

推論2.1.設(shè)f(x)=x4+px2+1(p≠0)是整系數(shù)多項式，若p>2，且f(x)沒有整數(shù)根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明：因為f(x)無整數(shù)根，所以f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。因為p≠0且p>2，由定理2的證明可知，f(x)又不能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積。因此f(x)在有理數(shù)域上不可約。

定理3.設(shè)f(x)=x4+p2x2+p1x+1(p1≠0)是整系數(shù)多項式，則當(dāng)p2-p1=-2或p2+p1=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約。反之，f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明:當(dāng)p2-p1=-2，p2=p1-2時，

f(x)=x4+(p1-2)x2+p1x+1=(x+1)[x3-x2+(p1-1)x+1]。

即f(x)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p2+p1=-2，p=-p1-2時，

f(x)=x4-(p1+2)x2+p1x+1=(x-1)[x3-x2-(p1+1)x-1]。

即f(x)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p2-p1≠-2且p2+p1≠-2，則f(x)沒有有理數(shù)根，即f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。假定f(x)在有理數(shù)域上可約，根據(jù)因式分解定理，則f(x)只能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積，設(shè)為

f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)，

其中a,b,c,d均為整數(shù)。即

x4+p2x2+p1x+1=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+cb)x+bd。

從而

當(dāng)b=1且d=1時，p2=2+ac=2-a2，c=-a,p1=a+c=0與p1≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

當(dāng)b=-1且d=-1時，p2=-2+ac=-2-a2,c=-a,p1=a+c=0與p1≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

綜上所述，當(dāng)p2-p1=-2或p2+p1=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約。反之，f(x)在有理數(shù)域上不可約。

推論3.1.設(shè)f(x)=x4+p2x2+p1x+1(p1≠0)是整系數(shù)多項式，若f(x)無整數(shù)根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明：因為f(x)無整數(shù)根，所以f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。因為p1≠0，由定理3的證明可知，f(x)又不能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積。因此f(x)在有理數(shù)域上不可約。

定理4.設(shè)f(x)=x4+p3x3+p2x2+1(p3≠0)是整系數(shù)多項式，則當(dāng)p3+p2=-2或p2-p3=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約。反之，f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明:當(dāng)p3+p2=-2，p2=-(p3+2)時，

f(x)=x4+p3x3(p3+2)x2+1=(x-1)[x3+(p3+1)x2-x-1]。

即f(X)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p2-p3=-2，p2=p3-2時，

f(x)=x4+p3x3+(p3-2)x2+1=(x+1)[x3+(p3-1)x2-x+1]。

即f(x)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p3+p2≠-2且p2-p3≠-2時，則f(x)沒有有理數(shù)根，即f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。假定f(x)在有理數(shù)域上可約，根據(jù)因式分解定理，則f(x)只能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積，設(shè)為

f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)，

其中a,b,c,d均為整數(shù)。即

x4+p3x3+p2x2+1=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+cb)x+bd，

從而

當(dāng)b=1且d=1時，p2=2+ac=2-a2，c=-a,p3=a+c=0與p3≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

當(dāng)b=-1且d=-1時，p2=-2+ac=-2-a2，c=-a,p3=a+c=0與p3≠0相矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

綜上所述，當(dāng)p3+p2=-2或p2-p3=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約。反之，f(x)在有理數(shù)域上不可約。

推論4.1：設(shè)f(x)=x4+p3x3+p2x2+1(p3≠0)是整系數(shù)多項式，若f(x)無整數(shù)根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明：因為f(x)無整數(shù)根，所以f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。因為p3≠0，由定理4的證明可知，f(x)又不能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積。因此f(x)在有理數(shù)域上不可約。

證明: 當(dāng)p3+p2+p1=-2，p2=-(p3+p1+2)時，

f(x)=x4+p3x3-(p3+p1+2)x2+p1x+1=(x-1)[x3+(p3+1)x2-(p1+1)x-1]。

即f(x)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p2-p3-p1=-2,p2=p3+p1-2，時，

f(x)=x4+p3x3+(p3+p1-2)x2+p1x+1=(x+1)[x3+(p3-1)x2+(p1-1)x+1]。

即f(x)在有理數(shù)域上可約。

當(dāng)p+p2+p1≠-2且2-p3-p1≠-2時，則f(x)沒有有理數(shù)根，即f(x)在有理數(shù)域上不能有一次因式。假定f(x)在有理數(shù)域上可約，根據(jù)因式分解定理，則f(x)只能分解成兩個一元二次整系數(shù)多項式的乘積，設(shè)為

f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)，

其中aa,b,c,d均為整數(shù)。即

x4+p3x3+p2x2+p1x+1=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+cb)x+bd。

從而

綜上所述，當(dāng)p3+p2+p1=-2或p2-p3-p1=-2時，f(x)在有理數(shù)域上可約。反之，f(x)在有理數(shù)域上不可約。

推論5.2.設(shè)f(x)=x4+p3x3+p2x2+p1x+1是整系數(shù)多項式，若f(x)無整數(shù)根，且f(x)在有理數(shù)域上可約，則p3=p1或p3=-p1。

說明：對于四次整系數(shù)多項式f(x)=p4x4+p3x3+p2x2+p1x+p0在有理數(shù)域上可約或不可約的問題，作為數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生或中學(xué)教師的研究課題還是一件有意義的事情。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 羅永超.一類有理系數(shù)多項式無有理根的判別[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報，2006，24(2)：88～91.