寬象限相依序列下分位數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合性及Bahadur表示

蔡際盼，丁立旺，李永明

(1.廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530023;(2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003;(3.上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

引言

設(shè){Χn,n≥1}是固定概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量序列，具有相同的分布函數(shù)F(x)=P(Χ≤x). 對(duì)于p∈(0,1)，F(xiàn)(x)的p階分位數(shù)ζp=inf{x:F(x)≥p}，記為F-1(p)，其中函數(shù)F-1(t),0

寬象限相依序列的定義是由王開永和王岳寶[10]2011年提出，并給出了一些寬象限相依隨機(jī)序列的例子說明寬象限相依隨機(jī)序列包括所有的廣義負(fù)相依隨機(jī)序列、某些正相依隨機(jī)序列及其它相依隨機(jī)序列. 在

寬象限相依的研究中，Wang Y.B[11]研究了WOD隨機(jī)序列的基本更新理論、風(fēng)險(xiǎn)理論及極限理論性質(zhì). Shen Aiting[12]建立了寬象限相依序列的 Bernstein 型不等式，并研究了寬象限相依誤差下非參數(shù)回歸模型加權(quán)函數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合性及其收斂速度. 雖然寬象限相依隨機(jī)序列是正、負(fù)相協(xié)隨機(jī)序列的一般化和推廣，但其相依結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)異于正、負(fù)相協(xié)的相依結(jié)構(gòu). 因此，寬象限相依序列在可靠性理論、滲透性理論及多元分析、工程領(lǐng)域及風(fēng)險(xiǎn)分析中也有廣泛的應(yīng)用背景. 而對(duì)于寬象限相依隨機(jī)序列仍處于研究初期，對(duì)其大樣本性質(zhì)的研究目前尚少見.從而本文在寬象限相依隨機(jī)序列下對(duì)其分位數(shù)估計(jì)及 Behadur 表示進(jìn)行研究有著重要的意義.

1　定義和引理

定義[13]對(duì)于隨機(jī)變量{Xk,k=1…,n}如果存在有限正實(shí)數(shù)序列{gL(n)}和xk∈(-∞.tif,+∞)，滿足條件

則稱隨機(jī)變量{Xk,k=1,…,n}為Widely Lower Orthant Dependent(WLOD).

對(duì)于隨機(jī)變量{Xk,k=1,…,n}如果存在有限正實(shí)數(shù)序列{gU(n)}和xk∈(-∞.tif,+∞)，滿足條件

則稱隨機(jī)變量{Xk,k=1,…,n}為Widely Upper Orthant Dependent (WUOD).

如果隨機(jī)變量{Xk,k=1,…,n}既是WLOD的又是WUOD的，則稱其是WOD的.WUOD,WLOD和WOD統(tǒng)稱為寬相依(WidelyDependent(WD)).

引理1[14]設(shè){Xn,n≥1}是寬象限相依序列，如果函數(shù)列{fn(·),n≥1}均為非降函數(shù)(或均為非增函數(shù))，則序列{f(Χn)}仍為寬象限相依序列.

引理2[14]設(shè)p≥1,{Xn,n≥1}是寬象限相依序列，0

引理3[15]設(shè)F(x)是右連續(xù)的分布函數(shù)，則廣義逆函數(shù)F-1(t)在0

(i)F-1(F(x))≤x,-∞

(ii)F(F-1(t))≥t,0

(iii)F(x)≥t?x≥F-1(t).

引理5設(shè){Xn,n≥1}是具有相同分布函數(shù)F(x)的寬象限相依序列，其分布函數(shù)在ζp的鄰域Np連續(xù)可導(dǎo)，密度函數(shù)滿足0-2，Dn=[ζp-dn,ζp+dn],對(duì)任意滿足以下條件

則有

注1：當(dāng)δ=3，β=2，τ=-2時(shí)可使引理5中的條件(i)滿足.

當(dāng)δ=2，β=2，τ=2時(shí)可使引理5中的條件(ii)滿足.

△r,n=Fn(Sr,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p，

g(x)=(Fn(x)-F(x))-(Fn(ζp)-p).

又對(duì)所有的x∈[Sr,n,Sr+1,n],由Fn(x)是非降函數(shù)，利用微分中值定理得

g(x)≤Fn(Sr+1,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p=△r+1,n+F(Sr+1,n)-F(Sr,n)

≤△r+1,n+qtn，

(1)

g(x)≥Fn(Sr,n)-F(Sr+1,n)-Fn(ζp)+p=△r,n+F(Sr,n)-F(Sr+1,n)

≥△r,n-qtn.

(2)

因此，根據(jù)(1)和(2)式可得

(3)

令ηi=I(Xi≤ζp+rtn)-EI(Xi≤ζp+rtn),i=1,2,…,n.

由引理1可知，η1,…,ηn是寬象限相依隨機(jī)變量，且E|ηi|=0,|ηi|≤2.

又因?yàn)?/p>

P(|△r+1,n|>tn)=P(|Fn(Sr,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p|>tn)

=I1(n)+I2(n)，

從而利用引理2和Markov不等式，可得

當(dāng)條件(i)滿足時(shí)可得

同理可得

因此有

由此得

當(dāng)條件(ii)滿足時(shí)可得

同理可得

因此有

由此得

從而

由Borel-Contelli 引理及(3)式就可得

2　主要結(jié)果

定理1假設(shè)p∈(0,1),{Xn,n≥1}是具有相同的分布函數(shù)F(x)的寬象限相依序列，其分布函數(shù)在ζp處可導(dǎo)，滿足F′(ζp)=f(ζp)>0.若f(x)在ζp的鄰域內(nèi)有界，且對(duì)任何滿足引理5中的條件(i)或條件(ii)有

證明對(duì)于任意的ε>0有

由引理3可得

同理可得

由引理1可知序列{ωi-Eωi≥1}和{υi-Eυi≥1}也是寬象限相依序列，且|ωi-Eωi|≤2,|υi-Eυi|≤2.又因F(x)在ζp點(diǎn)處連續(xù)，F(xiàn)′(ζp)>0，是不等式F(x-)≤p≤F(x)的唯一解且F(ζp)=p，由Taylor展開得

所以當(dāng)n→∞時(shí)有

再利用引理2和Markov不等式，可得

于是

再由Borel-contelli 引理可得

定理2設(shè){Xn,n≥1}是具有相同的分布函數(shù)F(x)的寬象限相依序列，其分布函數(shù)在ζp的鄰域Np連續(xù)可導(dǎo)，密度函數(shù)滿足0

證明由定理1得

(4)

再由引理5得

(5)

又根據(jù)引理4可得

Fn(ζp,n)-p=O(n-1),

(6)

根據(jù)(4)-(6)式并利用Taylor展開可得

其中θn是介于ζp,n與ζp之間的隨機(jī)變量. 整理上式可得

參考文獻(xiàn)：

[1] Bahadur R R. A note on quantiles in large samples[J]. Annals of Mathematical Statistics, 1996,37(3):577-580.

[2] Ajami M., Fakoor V., Jomhoori S. The Bahadur representation for kernel-type estimator of the quantile function under strong mixing and censored data[J]. Statistics and Probability Letters,2011,81(8):1306-1310.

[3] Guodong Xing, Shanchao Yang, Yan Liu, Keming Yu. A note on the Bahadur representation of sample quantiles for mixing random variables[J]. Monatshefte fur Mathematik, 2012,165:579-596.

[4] Qinchi Zhang, Wenzhi Yang, Shuhe hu. On Bahadur representation for sample quantiles under mixing sequence[J]. Statistical Papers,2014,55(2):285-299.

[5] 李永明，張文婷，饒賢清.一類混合序列下分位數(shù)估計(jì)的一致漸進(jìn)正態(tài)性[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2014,30(3):313-321.

[6] 李永明，張文婷，蔡際盼. 正相協(xié)下風(fēng)險(xiǎn)度量VaR樣本分位數(shù)估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)雜志，網(wǎng)絡(luò)出版(2014-10-22)1-8(待發(fā)表).

[7] Wei X L, Yang S S. Bahadur representation of linear kernel quantile estimator of VaR under mixing assumptions[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2010,140(7):1620-1634.

[8] Guodong Xing, Shanchao Yang. A remark on the Bahadur representation of sample quantiles for negatively associated sequences[J]. Journal of the Korean Statistical Society, 2011,40(3):277-280.

[9] 梁丹，楊善朝，蒙玉波. NOD序列樣本分位數(shù)的 Bahadur表示[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013,30(1):77-84.

[10] Wang K.Y, Wang Y.B., Gao Q.W. Uniform asymptotics for the finite-time ruin probability of a new dependent risk model with a constant interest rate[J]. Method Comput Appl Probab, 2013,15(1):109-124.

[11] Wang Y.B, Cheng D.Y.Basic renewal theorems for a random walk with widely dependent increments and their applications[J]. J. Math. Appl, 2011,384(2): 597-606.

[12] Shen Aiting. Bernstein-type inequality for widely dependent sequence and its application to nonparametric regression models[J]. Abstract and Applied Analysis, 1-9, http://dx.doi.org/10.1155/2013/862602.

[13] Wang K, Wang Y, Gao Q. Uniform asymptotics for the finite-time ruin probability of a dependent risk model with a constant interest rate[J]. Methodology and Computing in Applied Probability, 2013,15(1):109-124.

[14] Wang X, Xu C, Hu T C, Volodin A, Hu S. On complete convergence for widely orthant-dependent random variables and its applications in nonparametric regression models[J]. TEST,2014,1-23.

[15] Serfling R J. Approximation theorems of mathematical statistics[M]. John Wiley & Sons,American,1980.

[16] Wang X, Hu S, Yang W. The Bahadur representation for sample quantiles under strongly mixing sequence[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2011,141(2):655-662.