解決二次根式問題中的數(shù)學(xué)思想方法

曹洪

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，在解決二次根式的有關(guān)問題時(shí)，常用到如下幾種數(shù)學(xué)思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考題）已知實(shí)數(shù)x，y，m滿足■

+|3x+y+m|=0，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、絕對(duì)值的非負(fù)性，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因?yàn)閥為負(fù)數(shù)，則有6-m<0，解得m>6。故答案選A。

點(diǎn)評(píng) 本題利用二次根式的非負(fù)性和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，通過列方程（組）來解決問題。非負(fù)數(shù)（如絕對(duì)值、偶次方、算術(shù)平方根）是具有特殊性質(zhì)的數(shù)，如果一個(gè)等式中有兩個(gè)未知數(shù)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程（組）求出未知數(shù)是一種常用的解題策略。

二、類比思想

例2 （1）（2013年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市中考題）計(jì)算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荊州市中考題）計(jì)算4■+3■-■的結(jié)果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案選B。

點(diǎn)評(píng) 二次根式的加減運(yùn)算可以類比整式加減中的合并同類項(xiàng)來進(jìn)行，二次根式的加減運(yùn)算就是合并同類二次根式。必須注意，只有同類二次根式才能合并，不是同類二次根式的不可以合并，其結(jié)果可以不含二次根式。根據(jù)二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各二次根式是順利進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算的有力保證。

三、整體思想

例3 （2013年四川省德陽(yáng)市中考題）若■+b2-2b+1=0，則

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出結(jié)果。

因?yàn)椤?b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化簡(jiǎn)得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

點(diǎn)評(píng) 在處理問題時(shí)，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，往往可簡(jiǎn)捷巧妙地解決問題。

四、分類思想

例4 （2013年廣東省珠海市中考題）閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。這樣小明就找到了一種把類似a+b■的式子化為平方式的方法。

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值。

解析 （1）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，可得出a、b的表達(dá)式。因?yàn)閍+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）設(shè)m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分別為4、2、1、1；

（3）由題意得，a=m2+3n2，b=2mn。因?yàn)?=2mn，且m、n為正整數(shù)，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識(shí)。以閱讀理解題的形式出現(xiàn)，又考查了對(duì)材料的準(zhǔn)確分析、模仿和轉(zhuǎn)化能力以及分類討論思想方法的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，在解決二次根式的有關(guān)問題時(shí)，常用到如下幾種數(shù)學(xué)思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考題）已知實(shí)數(shù)x，y，m滿足■

+|3x+y+m|=0，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、絕對(duì)值的非負(fù)性，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因?yàn)閥為負(fù)數(shù)，則有6-m<0，解得m>6。故答案選A。

點(diǎn)評(píng) 本題利用二次根式的非負(fù)性和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，通過列方程（組）來解決問題。非負(fù)數(shù)（如絕對(duì)值、偶次方、算術(shù)平方根）是具有特殊性質(zhì)的數(shù)，如果一個(gè)等式中有兩個(gè)未知數(shù)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程（組）求出未知數(shù)是一種常用的解題策略。

二、類比思想

例2 （1）（2013年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市中考題）計(jì)算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荊州市中考題）計(jì)算4■+3■-■的結(jié)果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案選B。

點(diǎn)評(píng) 二次根式的加減運(yùn)算可以類比整式加減中的合并同類項(xiàng)來進(jìn)行，二次根式的加減運(yùn)算就是合并同類二次根式。必須注意，只有同類二次根式才能合并，不是同類二次根式的不可以合并，其結(jié)果可以不含二次根式。根據(jù)二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各二次根式是順利進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算的有力保證。

三、整體思想

例3 （2013年四川省德陽(yáng)市中考題）若■+b2-2b+1=0，則

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出結(jié)果。

因?yàn)椤?b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化簡(jiǎn)得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

點(diǎn)評(píng) 在處理問題時(shí)，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，往往可簡(jiǎn)捷巧妙地解決問題。

四、分類思想

例4 （2013年廣東省珠海市中考題）閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。這樣小明就找到了一種把類似a+b■的式子化為平方式的方法。

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值。

解析 （1）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，可得出a、b的表達(dá)式。因?yàn)閍+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）設(shè)m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分別為4、2、1、1；

（3）由題意得，a=m2+3n2，b=2mn。因?yàn)?=2mn，且m、n為正整數(shù)，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識(shí)。以閱讀理解題的形式出現(xiàn)，又考查了對(duì)材料的準(zhǔn)確分析、模仿和轉(zhuǎn)化能力以及分類討論思想方法的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，在解決二次根式的有關(guān)問題時(shí)，常用到如下幾種數(shù)學(xué)思想方法。

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考題）已知實(shí)數(shù)x，y，m滿足■

+|3x+y+m|=0，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、絕對(duì)值的非負(fù)性，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因?yàn)閥為負(fù)數(shù)，則有6-m<0，解得m>6。故答案選A。

點(diǎn)評(píng) 本題利用二次根式的非負(fù)性和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，通過列方程（組）來解決問題。非負(fù)數(shù)（如絕對(duì)值、偶次方、算術(shù)平方根）是具有特殊性質(zhì)的數(shù)，如果一個(gè)等式中有兩個(gè)未知數(shù)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程（組）求出未知數(shù)是一種常用的解題策略。

二、類比思想

例2 （1）（2013年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市中考題）計(jì)算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荊州市中考題）計(jì)算4■+3■-■的結(jié)果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案選B。

點(diǎn)評(píng) 二次根式的加減運(yùn)算可以類比整式加減中的合并同類項(xiàng)來進(jìn)行，二次根式的加減運(yùn)算就是合并同類二次根式。必須注意，只有同類二次根式才能合并，不是同類二次根式的不可以合并，其結(jié)果可以不含二次根式。根據(jù)二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各二次根式是順利進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算的有力保證。

三、整體思想

例3 （2013年四川省德陽(yáng)市中考題）若■+b2-2b+1=0，則

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出結(jié)果。

因?yàn)椤?b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化簡(jiǎn)得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

點(diǎn)評(píng) 在處理問題時(shí)，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，往往可簡(jiǎn)捷巧妙地解決問題。

四、分類思想

例4 （2013年廣東省珠海市中考題）閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。這樣小明就找到了一種把類似a+b■的式子化為平方式的方法。

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值。

解析 （1）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，可得出a、b的表達(dá)式。因?yàn)閍+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）設(shè)m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分別為4、2、1、1；

（3）由題意得，a=m2+3n2，b=2mn。因?yàn)?=2mn，且m、n為正整數(shù)，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識(shí)。以閱讀理解題的形式出現(xiàn)，又考查了對(duì)材料的準(zhǔn)確分析、模仿和轉(zhuǎn)化能力以及分類討論思想方法的應(yīng)用。