基于能量法的定向井中造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷分析

張昌美，余 剛，李國亮，夏 輝

(1．中國石油西部鉆探工程公司，新疆 克拉瑪依834000;2．中國石油寶雞石油機(jī)械有限責(zé)任公司，陜西寶雞721002)

由于鉆頭與地層相互作用的特殊性，定向鉆井過程中，造斜段經(jīng)常會出現(xiàn)下凹的井眼。油管或鉆桿傳輸射孔及試油、改造、完井投產(chǎn)作業(yè)時，需在上部管柱壓力及下部管柱重力聯(lián)合作用下才能使管柱通過下凹井眼。為了了解造斜段下凹井眼中受壓管柱的屈曲性能，為管柱組合、釋放懸重及管柱強(qiáng)度安全性分析提供依據(jù)，有必要進(jìn)行造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷分析。

關(guān)于井下管柱受壓屈曲，早期的研究多集中于鉆柱方面。文［1］采用能量法分析了斜直井眼中鉆柱的屈曲變形;文［2］用實驗和有限元數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，分析了定向井中鉆柱的屈曲變形;文［3］忽略重力及井壁摩擦，采用有限差分和牛頓迭代法，分析了鉆桿接頭對水平井段鉆柱屈曲臨界力和彎曲應(yīng)力的影響，提出了計算鉆柱正弦屈曲臨界力的新方法;文［4］建立并求解了水平井中鉆柱的正弦屈曲方程，分析了不同載荷因子和長度因子時鉆柱的穩(wěn)定性;文［5］建立了水平井中壓扭細(xì)長圓桿的線性彎曲微分方程和邊界條件，用解析法得到無重細(xì)長圓桿壓扭螺旋屈曲的解析解;文［6］以鉆柱的側(cè)向角位移為位置函數(shù)，用有限元法分析了直井和等曲率井中鉆柱的正弦屈曲變形;文［7］綜合考慮了鉆柱重力、扭矩和井斜角對屈曲的影響，用有限元增量加權(quán)迭代法分析了鉆柱屈曲的非線性特征值問題，建立了直井中鉆柱屈曲控制微分方程和對應(yīng)的泛函數(shù);文［8］把每根鉆柱視作一個單元，考慮井壁與鉆桿接頭處給水平鉆柱的彈性支撐，用傳遞矩陣法分析了水平鉆柱的穩(wěn)定性;文［9］考慮單根鉆柱長度的影響，建立鉆柱受力屈曲方程，分析了水平井眼中鉆柱所能承受的臨界載荷;文［10］和文［11］分別采用能量法導(dǎo)出了斜直井與水平井中管柱正弦屈曲和螺旋屈曲臨界載荷的計算公式;米歇爾(Mitchell R F)考慮接箍影響，采用三維梁柱的螺旋屈曲模型，分別對水平井眼和等曲率井眼中管柱的后屈曲特性進(jìn)行了研究［12-13］。

隨著定向井技術(shù)的推廣運用，定向井中管柱穩(wěn)定性的精確分析越發(fā)重要。然而，縱觀現(xiàn)有文獻(xiàn)資料，關(guān)于造斜段下凹井眼中管柱屈曲臨界載荷的分析未見報道。為此，本文運用最小勢能原理導(dǎo)出定向井造斜段下凹管柱屈曲載荷計算公式，以常見管柱參數(shù)為例，分析了管柱尺寸、井斜角、井眼曲率半徑、徑向間隙等因素對屈曲臨界載荷的影響，從中可以看出定向井造斜段下凹管柱屈曲性能及與豎直井、水平井中管柱屈曲性能的區(qū)別。

1 定向井中造斜段下凹屈曲管柱力學(xué)模型建立

定向井造斜段井眼軌跡呈下凹彎曲狀，在井眼約束與重力作用下管柱會出現(xiàn)初始下凹彎曲，并且管柱的初始曲率就是井眼的曲率。假設(shè)井眼軌跡在鉛垂平面內(nèi)假設(shè)井壁是剛性的，在自重作用及細(xì)長管柱柔性作用下，管柱緊貼下井壁。作為一種特殊的壓桿，由于細(xì)長管柱的柔性，當(dāng)軸向壓力超過一定值后，管柱將發(fā)生側(cè)向位移，甚至失穩(wěn)彎曲［14］。

基于上述分析，定向井造斜段下凹彎曲井眼中管柱微元體的受力如圖1所示，其中，F(xiàn)為造斜段管柱所受的軸向力，We為單位長度的管柱在井眼中的浮重，F(xiàn)N為井壁對管柱的接觸力。XYZ是整體坐標(biāo)系，UVW為局部坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系的原點隨著井眼軸向移動，U的方向始終在豎直平面內(nèi)并與井眼軸線相切，方向V始終位于豎直面內(nèi)并與井眼軸向垂直，方向W垂直于圖示平面向外。

圖1 造斜段下凹彎曲管柱受力示意圖Fig．1 Force diagram of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well

假設(shè)管柱在軸向壓力F作用下發(fā)生彎曲失穩(wěn)，管柱軸線的位移分別為

式中:V(s)為管柱在V方向上的位移，m;W(s)為管柱在W方向上的位移，m;δ為管柱截面形心與井眼形心的徑向距離，m;θ為管柱屈曲后形心相對下井壁偏離的角度，rad;K為造斜段井眼曲率，K=1/R，R為造斜段井眼曲率半徑，m。

2 定向井造斜段下凹管柱屈曲微分方程建立

管柱彎曲應(yīng)變能為

式中:EI為管柱的抗彎剛度，N·m2;L為造斜段管柱總長度，m。

管柱自重所做的功為

式中:qe為管柱單位長度的浮重，N/m;α為井眼平均井斜角，rad。

作用在管柱上的軸向力所做的功為

管柱系統(tǒng)的外力勢能為

管柱系統(tǒng)的總勢能為

3 定向井造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷的求解

假設(shè)造斜段管柱兩端為鉸支，管柱屈曲后形成整數(shù)n個半波，則可令

由式(8)可見，造斜段管柱屈曲臨界載荷Fcrs與管柱屈曲時的波形數(shù)有關(guān)。當(dāng)n達(dá)到某一值時，F(xiàn)crs的值最小(即為管柱的屈曲臨界載荷)。為了得到使Fcrs為最小值時的n值，將Fcrs看成是n的連續(xù)函數(shù)，即n的定義域擴(kuò)展為正實數(shù)。根據(jù)最小勢能原理，?Fcrs/dn=0，可得

根據(jù)n的定義，n應(yīng)取正整數(shù)，故應(yīng)取與計算出的n值相鄰的2個整數(shù)，將這2個整數(shù)帶入式(8)，其中較小的Fcrs為該管柱的屈曲臨界載荷。當(dāng)管柱較長時，可直接將n的計算值帶入式(8)中。將式(9)代入式(8)中化簡得定向井造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷

4 不同因素對定向井造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷的影響分析

由式(10)可見，井眼曲率半徑、平均井斜角、管柱與井眼徑向間隙等因素均對屈曲臨界載荷有影響。以下以常見管柱參數(shù)為例，編制相應(yīng)的MATLAB程序，分析了各因素對定向井中造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷的影響。

4．1 井眼曲率半徑對管柱屈曲臨界載荷的影響

設(shè)造斜段平均井斜角為30°，設(shè)(3+1/2)″API油管下入(5+1/2)″×9．17 mm 的井眼中，則油套管徑向間隙為 16．23 mm。取 77．92 mm、76．00 mm、74．22 mm、69．86 mm、67．06 mm、64．72 mm、61．98 mm等7個不同內(nèi)徑(壁厚)的油管進(jìn)行分析，得到造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波數(shù)隨井眼曲率半徑的變化如表1所示，曲率半徑對管柱的屈曲臨界載荷的影響如圖2所示。

表1 造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波數(shù)隨井眼曲率半徑變化表Tab．1 Varying of initial buckling sine wave number of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well with borehole curvature radius

圖2 造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷與井眼曲率半徑的關(guān)系Fig．2 Relationship between buckling critical load of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well and borehole curvature radius

由表1可見，定向井造斜段管柱初始屈曲波數(shù)受井眼曲率半徑影響，且井眼曲率半徑越大，管柱初始屈曲波數(shù)越多。由圖2可以看出，定向井造斜段管柱屈曲臨界載荷隨井眼曲率半徑的增大呈指數(shù)遞減趨勢;管柱壁厚的增加會提高管柱抵抗屈曲變形的能力，但這種影響會隨井眼曲率半徑的增大而逐漸減小。

4．2 平均井斜角對管柱屈曲臨界載荷的影響

設(shè)造斜段曲率半徑為500 m，井眼軌跡的平均井斜角分別為 10°、15°、20°、25°、30°、35°、40°、45°，則造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波數(shù)隨井眼軌跡平均井斜角的變化如表2所示，平均井斜角對管柱的屈曲臨界載荷的影響如圖3所示。

由表2可見，定向井造斜段管柱初始屈曲波數(shù)受平均井斜角的影響，且平均井斜角越大，管柱初始屈曲波數(shù)越多。由圖3可以看出，定向井造斜段管柱屈曲臨界載荷隨平均井斜角的增大緩慢線性遞增;定向井造斜段管柱壁厚的增加會提高管柱抵抗屈曲變形的能力;管柱壁厚對定向井造斜段管柱屈曲臨界載荷的影響不隨造斜段平均井斜角的變化而變化。

表2 造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波數(shù)隨井眼軌跡平均井斜角變化表Tab．2 Varying of initial buckling sine wave number of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well with average deviation angle of borehole trajectory

圖3 造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷與井眼平均井斜角的關(guān)系Fig．3 Relationship between buckling critical load of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well and average deviation angle of borehole trajectory

4．3 油套徑向間隙對管柱屈曲臨界載荷的影響

取造斜段井眼的曲率半徑為500 m，套管內(nèi)徑分別為 124．12 mm、121．08 mm、115．44 mm、107．98 mm、101．62 mm、95．28 mm，平均井斜角為30°，則油套管徑向間隙對管柱的屈曲臨界載荷的影響如圖4所示。

由圖4可以看出，定向井造斜段管柱屈曲臨界載荷隨套管內(nèi)徑增大，即油套管徑向間隙增大呈指數(shù)遞減趨勢;定向井造斜段管柱壁厚增加會提高管柱抵抗屈曲變形的能力，但該影響隨徑向間隙的增大而逐漸減小。

5 結(jié)論與認(rèn)識

(1)定向井造斜段下凹彎曲管柱的屈曲臨界載荷比直井中的大，即相同軸向壓力作用下，造斜段下凹井眼中管柱不易彎曲。

圖4 造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷與套管內(nèi)徑的關(guān)系Fig．4 Relationship between buckling critical load of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well and inner diameter of casing

(2)定向井造斜段管柱初始屈曲波數(shù)與井眼曲率半徑、平均井斜角有關(guān)，井眼曲率半徑、平均井斜角越大，管柱初始屈曲波數(shù)越多。

(3)井眼曲率半徑、平均井斜角、油套管徑向間隙是影響定向井造斜段下凹管柱屈曲臨界載荷的主要因素。定向井造斜段管柱屈曲臨界載荷隨井眼曲率半徑的增大而指數(shù)遞減;隨平均井斜角的增大而指數(shù)遞增;隨油套管徑向間隙的增大而指數(shù)遞減。

(4)定向井造斜段管柱壁厚的增加會提高管柱抵抗屈曲變形的能力，但這種影響會隨井眼曲率半徑、油套管徑向間隙的增大而減小。

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