巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展應(yīng)力強(qiáng)度因子Williams 級(jí)數(shù)計(jì)算及數(shù)值模擬

郝瑞卿，李江騰，曹平，廖峻，劉博

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙，410083)

近年來(lái)，人類(lèi)修建的巖土工程規(guī)模不斷擴(kuò)大，為保證這些工程的順利進(jìn)行以及工程結(jié)束后使用的穩(wěn)定性、安全性，要求巖體工程能保持長(zhǎng)期的穩(wěn)定性。根據(jù)斷裂力學(xué)原理，在巖體裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ未達(dá)到其斷裂韌度 KIC時(shí)，裂紋會(huì)以一種較穩(wěn)定的速度向前擴(kuò)展，這種巖石裂紋穩(wěn)定的、準(zhǔn)靜態(tài)擴(kuò)展方式稱為巖石的亞臨界擴(kuò)展。而當(dāng)亞臨界擴(kuò)展進(jìn)行到一定程度時(shí)，通常巖石內(nèi)裂紋將會(huì)快速擴(kuò)展，進(jìn)而發(fā)生斷裂，導(dǎo)致巖土工程失穩(wěn)，說(shuō)明巖土工程的穩(wěn)定性與巖石裂紋擴(kuò)展的時(shí)間相關(guān)：因此，研究巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展規(guī)律對(duì)巖石穩(wěn)定的時(shí)間相依性研究具有重要意義。目前，已有許多學(xué)者對(duì)巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了試驗(yàn)研究，如肖洪天等[1]對(duì)三峽船閘高邊坡花崗巖進(jìn)行了雙扭試驗(yàn)，得到了花崗巖亞臨界裂紋擴(kuò)展速度與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系；張?chǎng)┑萚2]分析了巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展的應(yīng)力腐蝕機(jī)理，認(rèn)為亞臨界擴(kuò)展是由拉應(yīng)力和裂紋尖端物質(zhì)與環(huán)境中的腐蝕介質(zhì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)使化學(xué)鍵斷裂這2 種機(jī)制聯(lián)合作用的結(jié)果，并測(cè)試了金川礦區(qū)的3 種巖樣，得到了應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋擴(kuò)展速度之間的關(guān)系。袁海平等[3]對(duì)金川礦區(qū)的軟弱復(fù)雜礦巖進(jìn)行了雙扭試驗(yàn)，得到礦巖的斷裂韌度及應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋擴(kuò)展速度之間的線性關(guān)系；陳瑜等[4-7]對(duì)巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，并得到裂紋擴(kuò)展的停滯速度和門(mén)檻值。汪亦顯等[8]得到了含水率較大的巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展中應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋擴(kuò)展速度的關(guān)系。上述研究均是從雙扭試驗(yàn)中應(yīng)力強(qiáng)度因子與柔度和應(yīng)變能釋放率之間的關(guān)系推導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解公式。本文作者運(yùn)用Williams 級(jí)數(shù)，對(duì)雙扭試驗(yàn)中應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解進(jìn)行推導(dǎo)，并在上述學(xué)者所做試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，應(yīng)用ANSYS 數(shù)值模擬軟件對(duì)巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬，將3種方法所得應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行比較和分析，以便為巖土工程穩(wěn)定的時(shí)間相依性研究提供基本參考。

1 雙扭試驗(yàn)的基本原理

雙扭試驗(yàn)是測(cè)試亞臨界裂紋擴(kuò)展速度的一種直接方法，它能夠直觀地監(jiān)測(cè)裂紋的擴(kuò)展過(guò)程，加載及預(yù)裂方式簡(jiǎn)單有效，適用性廣，并且在確定應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ時(shí)不需知道裂紋的長(zhǎng)度，因此，該方法成為研究亞臨界裂紋擴(kuò)展的有效手段。雙扭試件最先應(yīng)用于研究玻璃、陶瓷等脆性材料的斷裂特性，Ciccotti 等[9-12]將其應(yīng)用于巖石材料，研究其斷裂韌度及亞臨界裂紋擴(kuò)展規(guī)律。

圖1 所示為雙扭試件示意圖。該試件為一矩形薄板，在板的下表面沿長(zhǎng)度方向的對(duì)稱線開(kāi)有1 條通槽，以使加載時(shí)裂紋沿該槽擴(kuò)展。

圖1 雙扭試件示意圖Fig.1 Schematic diagrams of double torsion specimen

雙扭試件可以看作由2 個(gè)彈性扭轉(zhuǎn)桿組成。對(duì)于小變形，且寬度遠(yuǎn)大于試件厚度的雙扭試件，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI[9-12]為

式中：P 為作用于扭桿上的荷載；wm為扭臂的長(zhǎng)度；μ 為泊松比；d 為試件的厚度；dn為試件厚度與通槽厚度之差；w 為試件的寬度。

式(1)為計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子所用公式，可知應(yīng)力強(qiáng)度因子與荷載、試件尺寸和泊松比等因素有關(guān)，而不依賴于裂紋長(zhǎng)度a。

2 雙扭試驗(yàn)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子Williams 級(jí)數(shù)解

2.1 作用力的轉(zhuǎn)換

由圖1 可知：雖然雙扭試驗(yàn)中試件端部受到力偶作用，但試件裂紋擴(kuò)展是由于裂紋面受到垂直于裂紋面的應(yīng)力作用，裂紋擴(kuò)展原理與Ⅰ型裂紋的擴(kuò)展原理相同，故可以在力偶作用面內(nèi)用1 對(duì)能產(chǎn)生相同裂紋擴(kuò)展效果的拉力代替力偶。

力偶作用平面示意圖如圖2 所示。根據(jù)彈性力學(xué)基本理論[13]，力偶作用面內(nèi)最大切應(yīng)力τmax為

式中：M 為作用于桿端截面力偶；β為與d 和w 相關(guān)的系數(shù)。

圖2 力偶作用平面示意圖Fig.2 Plane of couple diagram

則模型底面任一點(diǎn)切應(yīng)力τ 為

式中：x 為距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；τmax為切應(yīng)力τ 的最大值?？傻玫酌媲袘?yīng)力的合為

則模型所受到產(chǎn)生Ⅰ型裂紋的合力F合為

通過(guò)上述分析可知：雙扭試驗(yàn)中裂紋的擴(kuò)展由上述合力產(chǎn)生，故可用該力替代力偶。轉(zhuǎn)換后的分析模型見(jiàn)圖3。圖3 中：P 為轉(zhuǎn)換后的合力；r 和θ 為極坐標(biāo)；b 為試件長(zhǎng)度；c 為試件長(zhǎng)度與裂紋長(zhǎng)度之差。

圖3 力偶轉(zhuǎn)換后分析模型圖Fig.3 Model diagram after changing couple

2.2 Williams 級(jí)數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)

力偶轉(zhuǎn)換后，原雙扭試驗(yàn)轉(zhuǎn)換為平面問(wèn)題，故可采用Williams 級(jí)數(shù)進(jìn)行分析。由文獻(xiàn)[14]知，Williams提出的無(wú)窮級(jí)數(shù)應(yīng)力函數(shù)分為偶函數(shù)和奇函數(shù)2 部分，其中偶函數(shù)相當(dāng)于Ⅰ型裂紋里對(duì)稱加載，故可設(shè)圖3 所示模型的應(yīng)力函數(shù)為

式中： φ (r,θ)為極坐標(biāo)；Cj為待定系數(shù)。引入1 個(gè)無(wú)量綱系數(shù)Xj[14]，其與應(yīng)力函數(shù) φ (r,θ)中第j 項(xiàng)待定系數(shù)Cj的關(guān)系為

式中：b 為試件長(zhǎng)度。根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可求得：

對(duì)于任意直角坐標(biāo)系Ont 與原直角坐標(biāo)系Oxy 之間夾角為ω，根據(jù)坐標(biāo)系間關(guān)系可知

其二階偏導(dǎo)數(shù)為

由Airy 應(yīng)力分量表達(dá)式[14]可知

根據(jù)斷裂力學(xué)原理可知

將式(13)代入，引入Williams 極數(shù)，應(yīng)力強(qiáng)度因子KI′為

從式(15)可以看出：要解得應(yīng)力強(qiáng)度因子KI′，必須求解無(wú)量綱系數(shù)X1。

2.3 邊界配置法解方程組

在邊界配置法中，為使方程可以求解，取應(yīng)力函數(shù)前2m 項(xiàng)組成的有限級(jí)數(shù)形式的近似解代替精確解，故式(13)可改寫(xiě)為

由于試樣左右對(duì)稱，故取1 半進(jìn)行分析。根據(jù)理論力學(xué)中力的簡(jiǎn)化可知：作用于裂紋口的1 對(duì)拉力可轉(zhuǎn)換為作用于模型長(zhǎng)邊中點(diǎn)的大小相等、方向相同的力和這個(gè)力與平移距離相乘得到的力偶。簡(jiǎn)化后的受力情況如圖4 所示。

圖4 配置點(diǎn)設(shè)置圖Fig.4 Diagram of collocation points

對(duì)于被研究部分m 個(gè)配置點(diǎn)的設(shè)置如圖4 所示，在右邊界設(shè)置4 個(gè)點(diǎn)，編號(hào)為1，2，3 和4；左邊界設(shè)置3 個(gè)點(diǎn)，編號(hào)為m-2，m-1 和m；在上邊界設(shè)置m-7 個(gè)點(diǎn)，編號(hào)為5，6，…，m-3。

在邊界配置法中，針對(duì)配置點(diǎn)建立邊界條件，每個(gè)配置點(diǎn)有2 個(gè)邊界條件，即

式中： φ0(xi, yi)為非裂紋體的應(yīng)力函數(shù)，

式中：c 為試件長(zhǎng)度減去裂紋長(zhǎng)度，即c=b-a；λ1和λ2為與a 和b 相關(guān)的系數(shù)。

2.4 算例分析

為研究該計(jì)算方法的可行性，選取大理巖和花崗巖試塊為例，具體計(jì)算試件尺寸及力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 試樣尺寸與力學(xué)參數(shù)Table 1 Sizes and mechanical Parameters of specimens

根據(jù)李江騰[16]試驗(yàn)數(shù)據(jù)中不同測(cè)試點(diǎn)的受力，經(jīng)過(guò)前述力的轉(zhuǎn)換可求得此計(jì)算方法中模型所受的單位厚度的力、力矩及開(kāi)裂過(guò)程中裂紋長(zhǎng)度a。大理巖試件具體參數(shù)見(jiàn)表2，花崗巖試件具體參數(shù)見(jiàn)表3。

從表4 可以看出：此計(jì)算方法所得的應(yīng)力強(qiáng)度因子 KI′隨著裂紋長(zhǎng)度的增加而減小，與試驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力強(qiáng)度因子 KI變化規(guī)律相同；同時(shí)，計(jì)算所得的 KI′與試驗(yàn)測(cè)得的 KI比較相對(duì)較大，并且隨著裂紋占試樣長(zhǎng)度比例的增大而差距增大。

表2 大理巖試件計(jì)算點(diǎn)受力P、力矩M 及裂紋長(zhǎng)度aTable 2 Force, couple and crack length of marble

表3 花崗巖試件計(jì)算點(diǎn)受力P、力矩M 及裂紋長(zhǎng)度aTable 3 Force, couple and crack length of granite

表4 試驗(yàn)和計(jì)算所得應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 4 Stress intensity factor of test and calculation MN·m-3/2

3 雙扭試驗(yàn)的數(shù)值模擬

在試驗(yàn)和理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，本文應(yīng)用ANSYS數(shù)值模擬軟件，分別對(duì)上述大理巖和花崗巖試件進(jìn)行常位移松弛法雙扭試驗(yàn)的數(shù)值模擬，通過(guò)ANSYS 軟件分析，分別計(jì)算大理巖和花崗巖在亞臨界裂紋擴(kuò)展中裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子 KI′。具體模擬試件尺寸及力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

3.1 模型的建立

使用ANSYS 計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，常規(guī)單元在裂紋尖端存在奇異性，為提高計(jì)算精度，本次模擬采用奇異單元，即二次三角(或五面體)單元，消除應(yīng)力強(qiáng)度因子奇異性，提高計(jì)算精度。

由雙扭試驗(yàn)可知，模型對(duì)稱于沿長(zhǎng)度方向所開(kāi)的通槽，根據(jù)對(duì)稱性，取試件整體的1/2 建立幾何模型。圖5 所示為試件網(wǎng)格劃分模型。

圖5 試樣網(wǎng)格劃分模型Fig.5 Meshing model of sample

在裂紋尖端點(diǎn)處，采用奇異單元。圖6 所示為裂紋尖端處網(wǎng)格劃分模型。

圖6 裂紋尖端處網(wǎng)格劃分Fig.6 Meshing at crack-tip

3.2 加載求解

模型加載方式為：通槽所在邊界處施加對(duì)稱位移約束，反映另一半未畫(huà)出模型對(duì)本模型的影響；在試驗(yàn)加載點(diǎn)對(duì)模型進(jìn)行z 軸方向的位移加載，模擬試驗(yàn)時(shí)的恒定位移；在鋼珠放置點(diǎn)進(jìn)行全位移約束，即限制鋼珠放置點(diǎn)x，y 和z 方向的位移及轉(zhuǎn)動(dòng)。

在求解應(yīng)力強(qiáng)度因子前，定義沿裂紋面的路徑，以裂紋尖端作為路徑第1 點(diǎn)，沿裂紋面定義2 個(gè)附加點(diǎn)，以指出裂紋擴(kuò)展方向。

圖7 所示為試樣1-1 y 軸方向的應(yīng)力云圖。從圖7可以看出：在裂紋尖端點(diǎn)處有明顯的應(yīng)力集中，與斷裂力學(xué)理論相符。表5 和表6 所示分別為大理巖、花崗巖根據(jù)雙扭試驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ以及數(shù)值模擬所得的應(yīng)力強(qiáng)度因子 KI′。

圖7 試樣1-1 y 軸方向的應(yīng)力云圖Fig.7 Stress of y axis for sample 1-1

4 理論計(jì)算、模擬與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

大理巖和花崗巖根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力強(qiáng)度因子、Williams 級(jí)數(shù)法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子和模擬所得的應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢(shì)分別如圖8 和圖9 所示。

表5 大理巖應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 5 Stress intensity factor of marble

表6 花崗巖應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 6 Stress intensity factor of granite

圖8 大理巖應(yīng)力強(qiáng)度因子變化趨勢(shì)圖Fig.8 Trend of stress intensity factor for marble

圖9 花崗巖應(yīng)力強(qiáng)度因子變化趨勢(shì)圖Fig.9 Yrend of stress intensity factor for granite

從圖8 和圖9 可以看出：巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，隨著裂紋的擴(kuò)展，應(yīng)力逐漸松弛，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子逐漸減小。

5 結(jié)論

1) 采用Williams 級(jí)數(shù)及ANSYS 數(shù)值模擬2 種方法分別對(duì)大理巖、花崗巖在雙扭試驗(yàn)中亞臨界裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了理論計(jì)算和數(shù)值模擬，得到了裂紋擴(kuò)展時(shí)裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，為巖土工程穩(wěn)定的時(shí)間相依性研究提供了基本依據(jù)。

2) 隨著裂紋的擴(kuò)展，應(yīng)力逐漸松弛，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子逐漸減小，此減小規(guī)律符合斷裂力學(xué)的相關(guān)理論。

3) 巖石一般所處地質(zhì)條件較復(fù)雜，周?chē)h(huán)境對(duì)巖石的亞臨界裂紋擴(kuò)展影響如水對(duì)裂紋亞臨界擴(kuò)展的影響較大，這在本文Williams 級(jí)數(shù)計(jì)算和模擬分析中并沒(méi)有得到體現(xiàn)；又如在地層深處，溫度對(duì)巖石亞臨界裂紋擴(kuò)展的影響亦不能忽視。這些因素的影響還有待于進(jìn)一步研究。

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