一種基于參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)雙邊濾波算法

南棟，畢篤彥，馬時(shí)平，婁小龍，倪嘉成

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安，710038)

自然場(chǎng)景下，在獲取圖像時(shí)不可避免地會(huì)引入噪聲，尤其是高斯白噪聲[1]。因而，圖像去噪是圖像處理領(lǐng)域中一項(xiàng)基本而又關(guān)鍵的技術(shù)，其結(jié)果直接決定后續(xù)處理的性能。濾波作為圖像去噪的一項(xiàng)重要手段，其基本原理是將圖像中的每個(gè)點(diǎn)與其相鄰的幾個(gè)像素點(diǎn)的像素值作加權(quán)平均卷積運(yùn)算。在其處理過(guò)程中，如何有效濾除噪聲并較好保持圖像邊緣細(xì)節(jié)，成為各種濾波算法的關(guān)鍵。為了在濾除噪聲的同時(shí)保持圖像邊緣信息，Tomasi 等[2]提出了雙邊濾波算法(bilateral filtering)。它是一種非線性濾波算法，具有非迭代、運(yùn)算簡(jiǎn)潔以及局域特性等優(yōu)點(diǎn)[3-4]，但其效果由空間標(biāo)準(zhǔn)差和亮度標(biāo)準(zhǔn)差這2 個(gè)參數(shù)同時(shí)決定，參數(shù)選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致處理結(jié)果有較大差異。本文作者針對(duì)不同噪聲水平、邊緣強(qiáng)度圖像，提出一種基于參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)雙邊濾波算法：從文獻(xiàn)[5]出發(fā)，估計(jì)圖像的噪聲水平，進(jìn)而自適應(yīng)調(diào)整雙邊濾波的空間標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)；同時(shí)，從圖像可見邊緣強(qiáng)度計(jì)算出發(fā)[6]，自適應(yīng)調(diào)整亮度標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)；最終實(shí)現(xiàn)雙邊濾波參數(shù)根據(jù)輸入圖像的本質(zhì)特征自適應(yīng)獲取，避免了參數(shù)的人工設(shè)置，在濾除噪聲的同時(shí)最大程度地保持了圖像的邊緣信息的有效性。

1 基于參數(shù)估計(jì)的雙邊濾波算法框架

1.1 雙邊濾波

雙邊濾波方法是基于高斯濾波方法提出的，主要是針對(duì)高斯濾波中將高斯權(quán)系數(shù)直接與圖像信息作卷積運(yùn)算進(jìn)行圖像濾波的原理，將濾波權(quán)系數(shù)優(yōu)化成高斯函數(shù)和圖像亮度信息的乘積，優(yōu)化后的權(quán)系數(shù)再與圖像信息作卷積運(yùn)算，這樣就能在濾波的同時(shí)考慮到圖像信息中的邊緣細(xì)節(jié)，使圖像在正常高斯濾波后很模糊的邊緣信息保持清晰。本文認(rèn)為所處理的自然有噪圖像均為零均值加性高斯噪聲圖像[7]，生成模型如下所示：

式中：I(x,y)為獲取的噪聲圖像；f(x,y)為無(wú)噪圖像；n 為服從零均值高斯分布噪聲。通過(guò)雙邊濾波后的圖像為[8]：

式中：Ibf(p)為像素點(diǎn)p 經(jīng)雙邊濾波后的值；I 為輸入像素點(diǎn)亮度； wp為歸一化參數(shù)；p 為輸入像素點(diǎn)；s為p 的鄰域；q 為鄰域中的像素點(diǎn)；Gσs和Gσr分別為空間函數(shù)和亮度函數(shù)，定義為[9]：

式中：σs和 σr分別為空間標(biāo)準(zhǔn)差和亮度標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)。不同參數(shù)下的雙邊濾波結(jié)果見圖1。從式(3)和圖1 可知：隨著 σs變大，空間函數(shù)作用變得突出，使圖像去噪效果更明顯，但過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致圖像紋理特征過(guò)于模糊；隨著 σr變大，亮度函數(shù)作用變的平滑而穩(wěn)定，其在亮度突變得邊緣基本保持恒定，使雙邊濾波轉(zhuǎn)化為高斯低通濾波，從而失去對(duì)邊緣保持的約束作用[10]；當(dāng) σs或 σr過(guò)小時(shí)，雙邊濾波的濾波作用均會(huì)消失[11]。因此，針對(duì)不同噪聲水平、邊緣強(qiáng)度圖像，選擇合理有效的參數(shù)，明確各參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，從而達(dá)到最佳的濾波效果，一直是雙邊濾波亟需解決的問(wèn)題。

圖1 不同參數(shù)下的雙邊濾波結(jié)果Fig.1 Results of bilateral filtering with different parameters

1.2 基于主成分分析的噪聲水平估計(jì)

從噪聲圖像生成模型出發(fā)，將式(1)看作為歐式空間中的向量運(yùn)算，取空間中的單位向量為u，本文認(rèn)為圖像與噪聲不相關(guān)，因此，對(duì)式(1)求其在u 方向上的方差，可得

式中：V(x)為x 項(xiàng)的方差； σn為高斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，即所需求取的噪聲水平。定義單位向量u 的最小取值為

采用PCA 方法[12]，計(jì)算圖像I 的方差：

式中：i ≠ j時(shí)， uiTuj=0； ΣI為I 的協(xié)方差矩陣；λi為 ΣI的第i 個(gè)特征值。對(duì)式(4)的等式兩邊同時(shí)求最小方差可得

在圖像的弱紋理區(qū)域可近似認(rèn)為最小能量分量λmin(Σf)=0，因此，可得到噪聲水平的估計(jì)值：

式中：ΣI′為選擇的弱紋理區(qū)域的協(xié)方差矩陣。

1.3 圖像可見邊緣強(qiáng)度計(jì)算

文中定義出的圖像可見邊緣強(qiáng)度為：

式中：N 為圖像中像素點(diǎn)總數(shù)；e 為本文定義的圖像可見邊緣強(qiáng)度，反映一幅圖像的整體邊緣強(qiáng)度水平；Is為所有可見邊緣像素點(diǎn)數(shù)總和，

式中：Isobel(x,y)為圖像經(jīng)sobel 算子檢測(cè)后的結(jié)果。

2 本文算法實(shí)現(xiàn)

將噪聲水平、邊緣強(qiáng)度水平分別和空間標(biāo)準(zhǔn)差、亮度標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行線性相關(guān)運(yùn)算，通過(guò)計(jì)算最優(yōu)濾波效果，求取在峰值信噪比最大下的參數(shù)系數(shù)。

2.1 空間標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)自適應(yīng)獲取

選擇合理的弱紋理區(qū)域是參數(shù)估計(jì)的關(guān)鍵，圖像的弱紋理區(qū)域定義來(lái)源于圖像的奇異值分解[13]：

式中：GI為圖像的梯度矩陣；Dh和Dv分別為水平和垂直梯度導(dǎo)數(shù)算子；CI為圖像的梯度協(xié)方差矩陣；s12和 s22分別為最大和最小特征值，分別代表主能量和次能量，因此，當(dāng) s12＜50 時(shí)，認(rèn)為該圖像區(qū)域?yàn)槿跫y理區(qū)域，對(duì)應(yīng)的梯度協(xié)方差矩陣近似為零矩陣。在弱紋理區(qū)域情況下，求式(1)的梯度協(xié)方差矩陣的均值：

求得的矩陣在對(duì)角上的元素有相同的概率分布，因此， 只需求出左上角的元素分布。 令v (n)=nTDhTDhn ，可求出其矩量母函數(shù)：

式中： λi為DhTDh的第i 個(gè)特征值；N 為特征值數(shù)量。因?yàn)橘ゑR分布的矩量母函數(shù)為

式中：α 為形狀參數(shù)；β為尺度參數(shù)。對(duì)比式(13)和(14)，可以得到v(n)的近似分布函數(shù)：

式中：δ 為最大累積分布概率，設(shè)定為0.99tr(DhTDh)為DhTDh的跡，F(xiàn) 為伽馬累積分布函數(shù)；σn為估計(jì)的噪聲分布水平。最終，采用迭代運(yùn)算來(lái)計(jì)算圖像的噪聲水平，具體步驟如下：

1) 以圖像的每一個(gè)像素點(diǎn)為左頂點(diǎn)，可劃分出數(shù)個(gè)7×7 的區(qū)域；

3) 由式(15)計(jì)算分布函數(shù) τ(k)，將梯度協(xié)方差矩陣的均值中v(k)(n)≤ τ(k)的區(qū)域作為弱紋理區(qū)域，得到新的弱紋理區(qū)域集合w(k+1)；

實(shí)驗(yàn)表明，經(jīng)過(guò)3 次迭代運(yùn)算即可估計(jì)出噪聲水平[5]。本文認(rèn)為，圖像噪聲水平與空間標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)為線性關(guān)系，如下式所示：

2.2 亮度標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)自適應(yīng)設(shè)置

圖像可見邊緣強(qiáng)度直接決定人眼視覺對(duì)圖像認(rèn)知質(zhì)量的優(yōu)劣，因此，為了在保證濾波效果的同時(shí)，能夠滿足人眼的視覺愉悅性，采用下式來(lái)約束亮度標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)：

為了得到合理有效的參數(shù)系數(shù)，對(duì)100 幅不同圖像加入不同強(qiáng)度的隨機(jī)噪聲，并對(duì)其進(jìn)行雙邊濾波處理，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=9，b=14 時(shí)，濾波后圖像能夠獲得最佳峰值信噪比。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，選擇2 幅人工加噪圖像和2 幅含有自然噪聲的圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別采用引導(dǎo)濾波算法[14]、自適應(yīng)流形濾波算法[15]以及本文算法進(jìn)行處理，結(jié)果如圖2～5 所示。

實(shí)驗(yàn)中，引導(dǎo)濾波算法和自適應(yīng)流形濾波算法在進(jìn)行濾波時(shí)，所選用參數(shù)均為經(jīng)驗(yàn)取值。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：在一般噪聲情況下，3 種濾波算法的效果基本相同(如圖2 和圖4 所示)；但當(dāng)場(chǎng)景噪聲水平有較明顯變化時(shí)，引導(dǎo)濾波算法和自適應(yīng)流形濾波算法不具備自適應(yīng)性，因此，不能獲得較好效果，而本文算法則能取得較理想結(jié)果(如圖3 和圖5 所示)。針對(duì)人工加噪和自然有噪圖像濾波，采用不同的客觀評(píng)價(jià)方法。表1 所示為人工加噪圖像濾波后的峰值信噪比對(duì)比，表2 所示為人工加噪圖像濾波后采用噪聲水平估計(jì)[5]的結(jié)果，表3 所示為自然有噪圖像濾波后平均梯度的對(duì)比，表4 所示為自然有噪圖像濾波后采用噪聲水平估計(jì)[5]的結(jié)果。

由表1～4 可知：在濾波后圖像的平均梯度均有所下降，并且3 種算法對(duì)邊緣的保持能力基本一致；同時(shí)，本文濾波算法在濾波后能夠有效去除噪聲，獲取最大峰值信噪比，由此可進(jìn)一步說(shuō)明本文自適應(yīng)濾波算法的優(yōu)越性能。

圖2 加入強(qiáng)度為0.1 的隨機(jī)噪聲圖像濾波結(jié)果Fig.2 Results of image filtering with manual noise(σn=0.1)

圖3 加入強(qiáng)度為0.2 的隨機(jī)噪聲圖像濾波結(jié)果Fig.3 Results of image filtering with manual noise(σn=0.2)

圖4 圖像“猩猩”的濾波結(jié)果Fig.4 Filtering results of image“orangutan”

圖5 圖像“劇院”的濾波結(jié)果Fig.5 Filtering results of image“theatre”

表1 人工加噪圖像濾波結(jié)果信噪比對(duì)比Table 1 PSNR value of image filtering with manual noise

表2 人工加噪圖像濾波結(jié)果噪聲水平對(duì)比Table 2 Noise level of image filtering with manual noise

表3 自然有噪圖像濾波結(jié)果平均梯度對(duì)比Table 3 Average gradient value of image filtering with natural noise

表4 自然有噪圖像濾波結(jié)果噪聲水平對(duì)比Table 4 Noise level of image filtering with natural noise

4 結(jié)論

1) 在弱紋理區(qū)域選擇和Sobel 邊緣檢測(cè)算子基礎(chǔ)上，分別提出了圖像的噪聲水平和邊緣強(qiáng)度這兩大基本特性的估計(jì)方法。

2) 提出了一種自適應(yīng)的濾波算法，最優(yōu)地選取了空間標(biāo)準(zhǔn)偏差和亮度標(biāo)準(zhǔn)偏差參數(shù)，保證了濾波后圖像的最佳峰值信噪比，為面向現(xiàn)有新型快速濾波器、設(shè)計(jì)其在最佳約束條件下的自適應(yīng)濾波算法提供了有效思路。

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