關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》10個核心概念的思考與實踐（五）

趙升龍

推理能力：

高崇輝：

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活當(dāng)中，經(jīng)常使用的一種思維方式，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。

由于小數(shù)加減法的意義和整數(shù)加減法的意義完全相同，小數(shù)加減法的計算法則和整數(shù)加減法的計算法則原理一致，因此，在進(jìn)行小數(shù)加減法的教學(xué)時，注意了新舊知識的聯(lián)系和區(qū)別，在組建新的知識結(jié)構(gòu)時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)小數(shù)和整數(shù)間的共同點，遷移類推出小數(shù)加減法的計算方法，怎么做到計算方法與推理能力培養(yǎng)并重呢？

路琳：

1 創(chuàng)造性地使用教材，重新對教材內(nèi)容進(jìn)行合理的編排，意在培養(yǎng)推理和遷移能力

郭晶晶和帕卡琳娜幾輪比賽成績的出示，我們不難看出，每一次成績的出示都有一定的教學(xué)目的，完全為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)。教師注意加強(qiáng)整、小數(shù)加、減法運(yùn)算意義之間的聯(lián)系，注意聯(lián)系整數(shù)加減法的計算法則。通過共同因素“相同數(shù)位對齊”，類比推理，突出小數(shù)點的處理問題，實現(xiàn)知識正遷移，進(jìn)而推理歸納出計算法則，再進(jìn)行運(yùn)用。小數(shù)加減法的計算法則是整數(shù)計算法則的推理結(jié)果，所以，在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是本節(jié)教學(xué)目的之一。

2 找類比推理的起點，抓法則的形成

小數(shù)加減法法則形成的關(guān)鍵是解決為什么“小數(shù)點對齊就是相同數(shù)位對齊”這一問題。九年義務(wù)教材小數(shù)加減法的教學(xué)分兩個階段，第一階段在第六冊結(jié)合小數(shù)的初步認(rèn)識，借助元、角、分引導(dǎo)學(xué)生把小數(shù)的各個數(shù)位和元、角、分一一對應(yīng)，弄清把小數(shù)點對齊也就是相同數(shù)位對齊，然后開始相加、減得計算過程。第二階段在第八冊結(jié)合小數(shù)的再認(rèn)識，在明確了小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位的基礎(chǔ)上，結(jié)合整數(shù)加減的計算法則，總結(jié)出小數(shù)加減法的計算法則，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。

“用字母表示數(shù)”教學(xué)片段

文/劉波

一、游戲?qū)?/p>

1 智力大比拼

師：同學(xué)們，我們先來做個游戲吧！游戲的名字叫做（課件）智力大比拼。老師給大家準(zhǔn)備了一些圖片，一會兒老師會把這一些圖片打亂順序，一一出示。看誰能在較短的時間內(nèi)按順序記住圖片，你可以用筆在老師提供你的記錄單上幫助做記錄。聽明白要求了嗎？準(zhǔn)備好，開始。

師：圖片播放完了，你都記住了嗎？我考考大家，第七張圖片是什么內(nèi)容？

生：第七張圖片是肯德基。

師：老師能采訪你一下，你是用什么方法，快速地記住這張圖片的？

生：我在記錄單上寫了KFC就代表了肯德基。

師：提到KFC我們就想到了肯德基，大家也是用他的方法記住這張圖片的嗎？大家還使用了什么方法記住別的圖片的？誰來說一說？

生：我畫了三條波浪表示北京的水立方。

生：我畫了一個笑臉，來表示微笑的小孩。

生：我是用一個月亮圖案表示夜晚的。

2 生活中用字母表示的事物

師：除了老師提供給大家的信息，你還想到了哪些生活中用字母表示的事物呢？

生：老師，我知道NBA表示美國職業(yè)籃球賽。

生：看到P，就代表這里是停車場。

生：WC，表示廁所。

生：我還知道麥當(dāng)勞的標(biāo)志是一個大寫的M。

師：同學(xué)們說的都很對，生活中有很多用字母表示的事物，看到CCTV，我們就知道它代表著中央電視臺。生活中用特定的字母或符號可以表示一定的含義，那在數(shù)學(xué)上，字母又表示什么呢？想研究嗎？今天我們就一起走進(jìn)數(shù)學(xué)王國，研究“用字母表示數(shù)”。（板書課題。）

二、層層遞進(jìn)。逐步建構(gòu)

1 讓學(xué)生親歷用字母表示數(shù)的概括抽象過程

百寶箱——找密碼。

師：一天，（課件）數(shù)學(xué)王國的“零”國王得到了一個百寶箱，可沒有密碼打不開，密碼是由以下橫線上的三個數(shù)字組成的，請你猜一猜。

（生猜。）

師：誰能猜到密碼箱的密碼？你能說一說為什么嗎？

（生說原因。）

小結(jié)：經(jīng)過共同的努力，我們破譯了數(shù)學(xué)王國的密碼箱，像這里●、n、m都可以表示特定的、唯一的數(shù)，不是所有用字母表示的數(shù)都是唯一的、特定的呢，我們繼續(xù)在數(shù)學(xué)王國尋找答案。

2 初步理解含有字母的式子既表示結(jié)果也表示數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)魔盒。

（1）師：數(shù)學(xué)王國的零國王打開百寶箱，發(fā)現(xiàn)了一個魔術(shù)道具，對它產(chǎn)生了興趣，你們想看看嗎？我們一起來用它變個魔術(shù)。試一試。

我先輸一個數(shù)，5——穿過魔盒——15。

（老師請一位同學(xué)說一個數(shù)。）

（2）揭示秘密

師：同學(xué)們你們發(fā)現(xiàn)秘密了嗎？

師：魔術(shù)這樣變下去，變得完嗎？肯定永遠(yuǎn)也變不完。我們能不能用簡單的方法，把所有進(jìn)去的數(shù)和出來的數(shù)全表示出來。先自己想想，再把自己的想法和同桌交流交流。

（自主思考，同桌討論。）

師：a可以表示幾？（給時間讓學(xué)生想a的取值范圍）

師：出來的數(shù)可以是幾？當(dāng)出來的數(shù)是料，你知道進(jìn)去的數(shù)是多少嗎？

師：從魔盒里出來的數(shù)如果用b表示，進(jìn)去的數(shù)怎樣表示呢？

師：你們的確發(fā)現(xiàn)了魔盒的秘密，進(jìn)去的數(shù)在不斷變化，出來的數(shù)，也在不斷變化，但什么永遠(yuǎn)不變？

師：這樣進(jìn)去的數(shù)在變，出來的數(shù)也在變，但a+10所表示的關(guān)系卻始終不變。所以說用字母不但可以表示數(shù)，還可以表示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。

3 用規(guī)定的字母表示計算公式

師：同學(xué)們我們曾經(jīng)認(rèn)識不少圖形，知道好多圖形方面的知識，數(shù)學(xué)王國的零國王又從百寶箱里拿出一個圖形，想考考大家，（出示正方形）你還記得嗎？endprint

師：回憶一下，正方形的周長和面積計算方法。

（生匯報。）

師：（課件）如果用字母a表示正方形的邊長，C表示正方形的周長，S表示正方形的面積，那么，正方形周長和面積計算公式可以怎么表示呢？

（生在練習(xí)本上試寫，找生到黑板上書寫。）

師：a×4和a×a還能寫得更簡單呢，你想知道嗎？讓我們聽聽數(shù)學(xué)王國的零國王是怎么說的。（出示課件。）

師：聽明白了嗎？誰來說說你明白了什么？

師：黑板上的三個式子，誰能幫老師改寫得更簡便一些呢？

（找寫a的平方的同學(xué)領(lǐng)大家讀兩遍）你能領(lǐng)大家讀一讀這個式子嗎？關(guān)于a的平方的寫法，你想提醒大家注意些什么呢？

師：當(dāng)a=6時，正方形的周長是多少？面積呢？

4 師：讓我們做幾道判斷題，看看大家是不是真學(xué)會了。快速搶答。

5 （課件）之前我們學(xué)過一些運(yùn)算定律，根據(jù)我們今天新學(xué)的知識，看看哪些能簡寫的。能簡寫的定律寫在記錄單二上。

師：誰來匯報一下？

師：大家同意嗎？看到簡寫前后的字母式，你有什么感受？

符號是數(shù)學(xué)的語言，是人們進(jìn)行表示、計算、推理、交流和解決數(shù)學(xué)問題的工具，是數(shù)學(xué)的重要組成部分，只有會正確運(yùn)用數(shù)學(xué)符號才能學(xué)好數(shù)學(xué)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適時地培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的符號意識，可以利用以下幾種策略。

1 激活經(jīng)驗，喚醒潛在的符號意識

在現(xiàn)實生活中，商店的招牌，醫(yī)院的紅“十”字標(biāo)記，公路上的交通標(biāo)志……各種各樣的符號處處可見。在這個“符號化”的世界中，學(xué)生獲得的生活經(jīng)驗已讓他們初步感受到符號存在的現(xiàn)實意義?？梢哉f，這種符號意識對數(shù)學(xué)符號感的形成起著積極的促進(jìn)作用。

例如，我在教學(xué)“用字母表示數(shù)”一課時，在課堂教學(xué)的第一個環(huán)節(jié)設(shè)計了“記憶大比拼”，“記憶大比拼”是一組沒有直接聯(lián)系，并且在時間上又有一定限制的條件下，讓學(xué)生記憶10幅圖片的播放順序。由于時間及其短暫，如果學(xué)生不使用一些簡單的文字、符號，顯然有難度，讓學(xué)生通過此環(huán)節(jié)真切地體會到使用符號帶給我們的直接好處，也自然而然地引出我們本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容與符號有關(guān)。我感覺這樣的導(dǎo)人趣味化，體現(xiàn)符號的簡潔、方便、使用范圍廣，可以喚起學(xué)生潛在的符號意識。調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。然后讓學(xué)生談?wù)勆钪羞€發(fā)現(xiàn)了哪些用字母表示的事物，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中用特定的符號可以表示一定的含義，接著引發(fā)思考，在數(shù)學(xué)中符號又表示什么呢？學(xué)生帶著這個問題學(xué)習(xí)，目的性更強(qiáng)了。

又比如，我在教學(xué)二年級下冊“找規(guī)律”一課時，設(shè)計了這樣的教學(xué)內(nèi)容，課件出示：路邊的燈籠是按照紫色、綠色、紫色、綠色……這樣的規(guī)律排列的。提問：我們能不能想辦法把這排燈籠的規(guī)律表示出來呢？由于燈籠是較難直接畫出來的，這就容易引發(fā)學(xué)生利用已有的符號經(jīng)驗，自主思考。結(jié)果有的學(xué)生畫出了不同的圖形：△□△□△□……●○●○●○……□■□■□■……有的學(xué)生用數(shù)字表示：121212……這些富有個性的符號正是已有的符號意識在起作用，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)自己也是一個研究者、探索者和發(fā)現(xiàn)者。

2 結(jié)合具體情境和數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號化過程

所謂“符號化過程”是引導(dǎo)學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示。結(jié)合適當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，鼓勵學(xué)生用自己獨特的方式表示具體情境中的數(shù)、數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷“具體事物——個性化符號表示——數(shù)學(xué)化表示”這一逐步符號化的過程，發(fā)展學(xué)生的符號意識。

如，在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時，課件出示魔盒，通過輸入進(jìn)出的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)進(jìn)出數(shù)相差10。通過變化引發(fā)學(xué)生積極的思維，使得學(xué)生很自然地去思考魔盒的秘密是什么。提問：進(jìn)去的數(shù)是1時，出來的數(shù)是多少？進(jìn)去的數(shù)是2、3、4……時，出來的數(shù)是多少？學(xué)生回答：1+10、2+10、3+10、4+10……教師進(jìn)一步提問：進(jìn)去的數(shù)在變化，出來的數(shù)也在變化，但是什么沒有變化？

上面的每一個式子只能表示具體進(jìn)出數(shù)的關(guān)系，能不能用一個式子簡明地表示出所有的關(guān)系呢？學(xué)生討論后匯報：用a+10可以表示出任何進(jìn)數(shù)與出數(shù)的關(guān)系。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會符號的概括性：a表示什么？a+10又表示什么？這樣的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的認(rèn)知過程，逐步體會字母的現(xiàn)實意義，感受數(shù)學(xué)符號的簡潔美。在實際的教學(xué)中，還有一部分學(xué)生，提出進(jìn)去的數(shù)是a，出來的數(shù)是b的情況，此時順?biāo)浦劢M織學(xué)生自己辨析優(yōu)化“你更喜歡哪種表示方法，為什么”，經(jīng)過分組討論，學(xué)生明白了a+10不但可以表示出來的數(shù)，還可以表示進(jìn)去與出來的兩個數(shù)的關(guān)系。這里的a+10并不是唯一的，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)字母表示數(shù)還有不確定性的，也初步感知抽象的作用。

3 訓(xùn)練用字母表示數(shù)，體會符號的抽象性，建立符號意識

用符號表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系，也像普通語言一樣，首先要引進(jìn)基本字母。從第二學(xué)段開始接觸用字母表示數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的重要一步。從研究一個具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，逐步提升學(xué)生對符號的認(rèn)識。用符號表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系，也像普通語言一樣，首先要引進(jìn)基本字母。從第二學(xué)段開始接觸用字母表示數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的重要一步。從研究一個具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，逐步提升學(xué)生對符號的認(rèn)識。

4 進(jìn)行符號轉(zhuǎn)換，增強(qiáng)符號意識

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，教學(xué)不能無視學(xué)習(xí)者已有的知識經(jīng)驗，簡單強(qiáng)硬地從外部對學(xué)習(xí)者實施知識的“填灌”，而應(yīng)當(dāng)把學(xué)生原有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，生長新的知識經(jīng)驗。數(shù)學(xué)符號意識的形成同樣應(yīng)該遵循這樣的規(guī)律。

如，教學(xué)“三角形面積的計算”，在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出三角形的面積=底×高÷2后，及時寫出字母表達(dá)式：S=ah÷2，便于記憶和使用。在應(yīng)用這一面積公式解決一些簡單的實際問題后，可以讓學(xué)生解決類似的問題：已知三角形的面積為40平方厘米，三角形的底為16厘米，求三角形的高。這就需要學(xué)生把三角形的面積公式進(jìn)行變形：S=ah÷2→S×2=ah→S×2÷a=h，從而求出三角形的高為：40×2÷16=5（厘米）。為了幫助學(xué)生實現(xiàn)這樣的符號運(yùn)算，教師可以再次結(jié)合三角形面積公式推導(dǎo)的過程，體會“S×2”表示的是先根據(jù)三角形的面積求出與它等底等高的平行四邊形的面積，“S×2÷a”表示用平行四邊形的面積除以底就等于高，也就是三角形的高。對符號的靈活使用，大大增強(qiáng)了學(xué)生的符號意識。

5 靈活運(yùn)用符號解決問題，發(fā)展符號意識

生活中的數(shù)學(xué)符號很多，大街、小巷，劇院、會場，家里、學(xué)校，……只要學(xué)生生活過的地方，都能見到各式各樣的符號，這些對學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題上都有幫助。如在解決“一條船最多坐4人，14人至少需要幾條船”這一問題時，有的學(xué)生可能會通過實際“排練”找到答案；有的學(xué)生可能會用圓片表示船，用小棒表示人，然后通過操作找到答案；還有的學(xué)生可能會在白紙上畫圖，用橢圓表示船，用豎線表示人，找到答案；當(dāng)然，也有的學(xué)生會通過算式求得結(jié)果。

又如教學(xué)“有余數(shù)除法”時，我設(shè)計了這樣一道發(fā)展題：在一條小河一旁種樹，每兩棵柳樹中間要種一棵桃樹，第一棵種的是柳樹，那么第100棵是什么樹？這樣的題目，光讓學(xué)生用腦子想，確實有點困難。怎么辦呢？通過討論，學(xué)生各抒己見，有的說可以畫出來看看，有的說可以拿東西來擺一擺，教師問：“你們打算用什么表示柳樹、桃樹呢？“線段”，“□、○”，“柳、桃”……學(xué)生們一連說了好幾個答案，最后我們一致選出了最簡單的表達(dá)方式進(jìn)行排列：□○□○□○……看著這么簡便的符號，學(xué)生一下子就找到了規(guī)律，也很快地解決了這道難題。由此可見，在解決問題的過程中，學(xué)生經(jīng)過交流、分享，積累了解決問題的經(jīng)驗，同時也經(jīng)歷了符號化的過程，逐步體會到用數(shù)、形將實際問題“符號化”的優(yōu)越性。

我自己理解符號意識的價值對于學(xué)生而言，就是要完成從文字語言——數(shù)學(xué)語言——符號語言的轉(zhuǎn)變，建立符號意識，在日常生活中，學(xué)生已積累了大量的符號經(jīng)驗，符號意識的建立要關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗，將數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計成看得見，摸得著的實踐活動，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，經(jīng)歷把數(shù)學(xué)知識符號化的過程，培養(yǎng)符號意識。endprint