數(shù)學(xué)分析課程中的開放型問題

王衛(wèi)兵，唐 唯

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭411201)

數(shù)學(xué)分析課程是普通高校數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的專業(yè)主干課程，是多門后續(xù)分析類課程的基礎(chǔ)，如常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析，為其提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)、方法與技巧。其特點(diǎn)是體系嚴(yán)密，知識(shí)容量大，邏輯性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛。數(shù)學(xué)分析中概念、定義、公式、定理、方法技巧眾多，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。目前，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)在模式上注重概念、定理、公式的講解，通常主要結(jié)論按照一定模式進(jìn)行論證和解答，比較忽視啟發(fā)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。

數(shù)學(xué)開放題是上世紀(jì)70 年代發(fā)展起來的一種新題型，在一定條件下探索不明確結(jié)論，或由給出的結(jié)論探索使結(jié)論成立的條件［1］。在開放型問題中，條件可能不完善，需要補(bǔ)充;或滿足結(jié)論的條件有多種;或結(jié)論不唯一;或解決問題的方法不唯一。開放型問題的答案常常不確定，沒有固定的解題模式，思維發(fā)散性大，這種特性決定了教師無法采用灌輸式教學(xué)，學(xué)生必須積極參與，主動(dòng)地進(jìn)行探索。數(shù)學(xué)開放型問題的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、分析能力、綜合能力、抽象能力、推理能力;有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)分析教材中眾多的定理、命題、習(xí)題，一般由確定的條件導(dǎo)出確定的結(jié)論。但許多命題、習(xí)題可加以改編成為開放型問題。在教學(xué)過程中，立足教材，適當(dāng)?shù)鼐幹崎_放型問題，進(jìn)行一些開放型問題的訓(xùn)練，可大大提升教學(xué)效果。

1 隱藏原命題的部分條件，反向探求新條件

得到某一結(jié)論的條件通常不是唯一的。隱藏部分條件，探索使結(jié)論成立需添加的因素，可將原題改編為開放問題。

例1 數(shù)列收斂的充要條件是它的所有子列都收斂。將該命題中的充分條件減弱便可得到若干開放問題。

問題1 數(shù)列{an}的子列{a2n}，{a2n-1}都收斂。在什么條件下，數(shù)列{an}收斂?

問題2 數(shù)列{an}的子列{a3n}，{a3n-1}，{a3n-2}都收斂。在什么條件下，數(shù)列{an}收斂?

也可考慮上述問題的反面。

問題3 求一發(fā)散數(shù)列{an}，其收斂子列的極限都相等。

例2 (原題)已知函數(shù)f ∈C［0，1］，且f(0)=f(1)，則存在r ∈(0，1)使得f(r +0．5)= f(r)．

問題4 函數(shù)f 滿足什么條件時(shí)存在r ∈R 使得f(r+0．5)= f(r)?

2 拓展已有的結(jié)論

數(shù)學(xué)分析課程中很多命題、習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的信息。通常教師、學(xué)生解完題后就不再深入地思考還能得到什么樣的結(jié)論。將其結(jié)論進(jìn)行拓展，深挖，進(jìn)一步探索新的結(jié)論，可得到某些開放型問題。

例4 拉格朗日中值定理:設(shè)函數(shù)f 在閉區(qū)間［a，b］內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在r ∈(a，b)使得f(b)- f(a)= f'(r)(b - a)．

上述定理中僅僅肯定了f 的存在性，對(duì)這樣的f 的個(gè)數(shù)信息不明。我們可以問:

問題6 在什么條件下，中值定理中的f 的個(gè)數(shù)是1，是2，甚至是f 個(gè)?

問題7 設(shè)函數(shù)f 在閉區(qū)間［a，b］內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，r ∈(a，b)，是否存在不同的兩點(diǎn)s，t ∈［a，b］使得f(s)- f(t)= f'(r)(s - t)?在什么情形下是存在的?

3 改變條件，探索新結(jié)論

命題或習(xí)題條件的變化，其結(jié)論也隨之變化。適當(dāng)變化相關(guān)的條件， 引導(dǎo)學(xué)生探求對(duì)結(jié)論的影響，有利于開闊學(xué)生思路，鞏固所學(xué)知識(shí)。

例5 重要的極限f(x)= (1 + x)x-1→e(x →0)． 很顯然函數(shù)f 是冪指數(shù)函數(shù)，其底的極限為1 (x →0)，指數(shù)的極限為∞(x →0)． 考慮更一般的冪指數(shù)函數(shù)h(x)g(x)．

問題8 若h(x)→1，時(shí)，h(x)→1，g(x)→∞． 冪指數(shù)函數(shù)h(x)g(x)的極限是否存在?存在時(shí)為多少?

例6 當(dāng)f(x)，g(x)時(shí)，f(x)，g(x)與f(x)，g(x)是等價(jià)無窮小量。于是當(dāng)f(x)，g(x)時(shí)，f(x)，g(x)是無窮小量，則sinf(x)時(shí)，sinf(x)與f(x)，sing(x)與g(x)，sinf(x)+ sing(x)與f(x)+ g(x)都是等價(jià)無窮小量。

問題9 除f 與f 這一對(duì)等價(jià)無窮小量外，有其他的等價(jià)無窮小量有類似的性質(zhì)嗎?

例7 羅爾定理。當(dāng)函數(shù)滿足羅爾定理中三個(gè)條件時(shí)，其結(jié)論成立，但三個(gè)條件不是必要的。

問題10 刪除三個(gè)條件中的f 在閉區(qū)間［a，b］內(nèi)連續(xù)，這時(shí)函數(shù)f 可能在端點(diǎn)處無定義，對(duì)應(yīng)的將f(a)=f(b)減弱為f(a +0)= f(b -0)，問羅爾定理的結(jié)論仍成立嗎?

4 用實(shí)際問題表現(xiàn)數(shù)學(xué)命題

數(shù)學(xué)分析中很多概念、定義有深刻的實(shí)際背景。從廣義上講，數(shù)學(xué)分析中的基本概念:函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分等都可看成數(shù)學(xué)模型。一些問題從實(shí)際背景出發(fā)，要求學(xué)生進(jìn)行設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型求解，便可得到開放型問題。這樣不僅易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例7 連續(xù)函數(shù)的介值定理。

問題11 一人早6 點(diǎn)從山腳A 處上山，晚18 點(diǎn)到山頂B 處;第二天，早6 點(diǎn)從B 處下山返回，晚18 點(diǎn)到A處。問是否存在一時(shí)刻，這兩天都在這一時(shí)刻達(dá)到同一點(diǎn)?

上述各例中問題1、問題2、問題4 需要探求使結(jié)論成立的條件，其條件有很多種，有難有易，屬于條件開放型問題;問題3、問題8、問題9 的結(jié)論不唯一，屬于結(jié)論開放型問題;問題6、問題7 條件與結(jié)論都需要探索，屬于綜合開放型問題。問題5、問題9、問題10 需要綜合應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容，屬于存在開放型問題［2-5］。不論哪一種開放型問題均需要學(xué)生積極參與，獨(dú)立地探索，觀察、類比、分析、歸納、猜想。因此，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中可適當(dāng)選用開放型問題教學(xué)，提供讓學(xué)生操作、研究和討論的機(jī)會(huì)。為了更好地適應(yīng)這種教學(xué)模式，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中要注重教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)外結(jié)合，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)際背景和現(xiàn)實(shí)模型，展現(xiàn)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生盡可能多地參與到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、思維探求過程。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)分析課程中，并不是所有的內(nèi)容都適合開放型問題教學(xué)。另外，開放型問題的教學(xué)耗時(shí)一般較多，適合在習(xí)題課上或以課后作業(yè)的形式進(jìn)行。

［1］張奠宇．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論［M］． 北京，高等教育出版社，2003．

［2］萬洪波．淺議數(shù)學(xué)的開放型題型［J］． 南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(17)36 -37．

［3］張士勤．?dāng)?shù)學(xué)分析中“開放型問題教學(xué)”淺析［J］． 南都學(xué)壇(自然科學(xué)版)，1995(6)60 -61．

［4］李祥兆．?dāng)?shù)學(xué)開放題的評(píng)分方法初探［J］． 寧波大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)，2007(2)62 -65．

［5］李 華．?dāng)?shù)學(xué)開放型題型與解法探析［J］． 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)，2007(1)55 -56．