基于PIV速度場(chǎng)測(cè)量重構(gòu)壓強(qiáng)場(chǎng)的研究進(jìn)展

王 勇, 陳 鵬, 耿子海, 王萬波, 李士偉

(1. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 綿陽 621000; 2. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 低速空氣動(dòng)力研究所, 四川 綿陽 622762)

0 引 言

在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的很多實(shí)際工程應(yīng)用中，人們經(jīng)常關(guān)注于流場(chǎng)中壓強(qiáng)分布信息的獲取。其原因在于，壓強(qiáng)是流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)物體產(chǎn)生升力和阻力的主要來源，同時(shí)壓強(qiáng)脈動(dòng)也是誘發(fā)結(jié)構(gòu)振蕩和產(chǎn)生噪聲的主要原因[1-2]。

迄今為止，較為成熟的壓強(qiáng)測(cè)量技術(shù)包括在物體表面布設(shè)測(cè)壓孔測(cè)定壁面壓強(qiáng)，或者利用皮托管類型的探針(如五孔或七孔探針)測(cè)量流場(chǎng)中某些感興趣區(qū)域(如邊界層)的壓強(qiáng)。這些壓強(qiáng)測(cè)量技術(shù)主要存在以下三個(gè)方面的缺陷：一是接觸式測(cè)量，導(dǎo)致對(duì)原有流場(chǎng)的干擾；二是非瞬時(shí)測(cè)量，測(cè)量得到的壓強(qiáng)值是一段時(shí)間內(nèi)的平均值或者延遲值；三是有限點(diǎn)測(cè)量，即只能得到流場(chǎng)中若干測(cè)量位置處的壓強(qiáng)值而不能得到較大范圍內(nèi)的壓強(qiáng)分布。另一方面，空氣動(dòng)力學(xué)研究的很多領(lǐng)域期望能夠?qū)簭?qiáng)場(chǎng)和速度場(chǎng)進(jìn)行同步測(cè)量，如湍流研究中雷諾應(yīng)力輸運(yùn)方程的速壓梯度張量的確定，但目前還缺乏這方面的實(shí)驗(yàn)技術(shù)。

近幾十年來，粒子圖像成像技術(shù)[3-4](Particle Image Velocimetry, PIV)作為一種非接觸式流場(chǎng)測(cè)量和流動(dòng)顯示技術(shù)得到了快速的發(fā)展。通過PIV測(cè)量可以得到較大范圍流場(chǎng)的瞬時(shí)速度分布，并可以據(jù)此得到諸如渦量等氣動(dòng)量或顯示流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。PIV的諸多優(yōu)點(diǎn)觸發(fā)研究人員探索基于PIV的速度場(chǎng)測(cè)量發(fā)展空間壓強(qiáng)場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)，以實(shí)現(xiàn)壓強(qiáng)場(chǎng)的非接觸式、高時(shí)間分辨率、較大范圍、與速度場(chǎng)同步的測(cè)量。國(guó)外的一些仿真計(jì)算和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明了該方法的可行性和有效性。例如，Gurka等[5]利用PIV測(cè)量得到的管道流動(dòng)中的定常速度場(chǎng)獲得了管道中的壓強(qiáng)分布；Baur和K?ngeter[6]利用高時(shí)間分辨率的PIV數(shù)據(jù)重構(gòu)壓強(qiáng)場(chǎng)，解決了壁掛式障礙物上脫落渦中的局部壓強(qiáng)減少問題。此外，該方法還在單氣泡[7]、燃燒室[8]、微管[9]、空腔[10-12]、圓柱[13]、方柱[14-16]、桿-翼組合體[17-20]以及可壓縮流動(dòng)[21-22]的研究中得到了廣泛的應(yīng)用。因此，這一領(lǐng)域的研究應(yīng)引起國(guó)內(nèi)同行的高度重視。

本文將綜述基于PIV速度場(chǎng)測(cè)量重構(gòu)空間壓強(qiáng)場(chǎng)的基本原理、關(guān)鍵技術(shù)并介紹相關(guān)的研究成果和進(jìn)展，進(jìn)而探討其發(fā)展方向，以期為該技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展提供一定的參考。

1 基本原理

基于PIV速度場(chǎng)測(cè)量重構(gòu)壓強(qiáng)場(chǎng)技術(shù)具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，經(jīng)典的不可壓Navier-Stokes方程(密度為常數(shù))：

(1)

其中DU/Dt是物質(zhì)加速度，p是靜壓，經(jīng)過變換可得到兩種形式的壓強(qiáng)梯度與速度場(chǎng)數(shù)據(jù)的關(guān)系，即拉格朗日(Lagrangian)形式[23-25]：

(2)

其中xp(t)和Up(t)分別是粒子質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置和速度；以及歐拉(Eulerian)形式[6,26]

(3)

由上述兩種形式可以看出，當(dāng)由PIV測(cè)量得到速度場(chǎng)U后，可通過計(jì)算速度場(chǎng)的物質(zhì)加速度DU/Dt和粘性項(xiàng)v2U得到流場(chǎng)的壓強(qiáng)梯度變化。其中，粘性項(xiàng)v2U理論上可以通過估計(jì)粘性系數(shù)v和計(jì)算2U得到，但大量研究表明，對(duì)于高雷諾數(shù)流動(dòng)而言，在遠(yuǎn)離邊界區(qū)域，物質(zhì)加速度要遠(yuǎn)大于粘性項(xiàng)，因而粘性項(xiàng)可忽略。例如，Liu[27]和Thomas等[28]在湍流的近尾跡流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，雷諾平均的粘性項(xiàng)是物質(zhì)加速度峰值的10-5。Liu和Katz[23]對(duì)空腔剪切流的研究表明，瞬時(shí)粘性項(xiàng)的值約比物質(zhì)加速度低3個(gè)數(shù)量級(jí)，包含和不包含粘性項(xiàng)得到的壓強(qiáng)分布之間的差異只有動(dòng)壓的0.008%。van Oudheusden等[21]對(duì)正方形圓柱的非定常渦流的研究也表明粘性項(xiàng)比物質(zhì)加速度低2個(gè)數(shù)量級(jí)。Koschatzky等[12]對(duì)空腔流動(dòng)的研究表明，在靠近空腔壁面的位置粘性項(xiàng)有較高的幅值，但仍比總加速度項(xiàng)低2個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，忽略粘性項(xiàng)對(duì)計(jì)算的影響，壓強(qiáng)梯度可表示為：

(4)

或

(5)

一旦通過PIV速度場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算出壓強(qiáng)梯度后，理論上可以通過求解一個(gè)最小二乘問題得到壓強(qiáng)場(chǎng)。對(duì)一定的采樣網(wǎng)格，每個(gè)結(jié)點(diǎn)處的物質(zhì)加速度和壓強(qiáng)通過一個(gè)離散的微分方程組聯(lián)系在一起，但是該方程組形成的矩陣方程是超定的。在求解該類矩陣方程的3種主要方法中：矩陣迭代法[29]的結(jié)果對(duì)初始值的設(shè)定很敏感并且松弛因子的選擇也依賴于經(jīng)驗(yàn)；而直接的矩陣求逆[30]和奇異值分解[31]則必須在計(jì)算過程中調(diào)用整個(gè)數(shù)值矩陣，該數(shù)值矩陣的最大存儲(chǔ)需求可能高達(dá)18GB[23](對(duì)應(yīng)于一個(gè)典型的具有2K×2K相機(jī)和220×220網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的PIV系統(tǒng))，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出當(dāng)前的計(jì)算機(jī)技術(shù)水平而使得這兩種方法變得不可行。為避免這些問題，空間壓強(qiáng)場(chǎng)的分布可通過對(duì)2D流動(dòng)使用平面Poisson公式得到[5,32]或?qū)簭?qiáng)梯度采用空間推進(jìn)的侵蝕算法(spatial marching erosion)[6,33]進(jìn)行直接空間積分，分別稱為平面Poisson法和直接空間積分法。

平面Poisson法對(duì)壓強(qiáng)梯度的平面散度公式(6)*向量函數(shù)g的平面散度公式為xy·g=?gx/?x+?gy/?y，其中g(shù)x和gy分別為g在x和y方向的成分。進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的5點(diǎn)離散化和高斯消元，并結(jié)合Dirichlet邊界條件、Neumann邊界條件計(jì)算空間的壓強(qiáng)分布：

(6)

其中divxy=?u/?x+?v/?y是流場(chǎng)的平面散度(in-planedivergence)，Neumann邊界條件中給定的壓強(qiáng)梯度通常由式(4)或式(5)給出。公式(6)中前2個(gè)花括號(hào)中的量可以通過傳統(tǒng)的平面PIV(planarPIV)測(cè)量結(jié)果直接計(jì)算得到，第3個(gè)花括號(hào)中的量包含z向的速度分量和導(dǎo)數(shù)，需要采用三維體測(cè)量技術(shù)(volumetrictechnique)進(jìn)行求解。在嚴(yán)格的2D流動(dòng)假設(shè)條件下，第3個(gè)速度分量及其速度梯度可以忽略；同時(shí)，根據(jù)連續(xù)性方程，不可壓縮流體的速度場(chǎng)滿足無散條件，即平面散度divxy=0，此時(shí)平面Poisson公式具有簡(jiǎn)單的形式：

(7)

直接空間積分法直接從給定的壓強(qiáng)參考點(diǎn)(Dirichlet邊界條件)開始對(duì)壓強(qiáng)梯度進(jìn)行積分得到壓強(qiáng)分布，其中Dirichlet邊界條件通過直接測(cè)量或由Bernoulli方程:

(8)

對(duì)無粘外流進(jìn)行計(jì)算得到。

2 關(guān)鍵技術(shù)及進(jìn)展

基于PIV速度場(chǎng)測(cè)量重構(gòu)壓強(qiáng)場(chǎng)技術(shù)雖然原理簡(jiǎn)單，在操作上也完全可行，但是在實(shí)際應(yīng)用中仍面臨諸多困難。概括來說，為了從PIV速度場(chǎng)數(shù)據(jù)計(jì)算得到準(zhǔn)確可靠的空間壓強(qiáng)場(chǎng)分布需要綜合協(xié)調(diào)3個(gè)方面的關(guān)鍵問題：速度場(chǎng)測(cè)量、壓強(qiáng)梯度計(jì)算、壓強(qiáng)分布計(jì)算。

2.1速度場(chǎng)測(cè)量

基于PIV的壓強(qiáng)場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)根據(jù)PIV得到的速度場(chǎng)數(shù)據(jù)來計(jì)算流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布，速度場(chǎng)數(shù)據(jù)作為輸入?yún)⒘?，其測(cè)量的精度直接決定著壓強(qiáng)分布計(jì)算的精度，是該技術(shù)成功與否的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。Liu和Katz[23]的分析認(rèn)為，速度測(cè)量的精度對(duì)壓強(qiáng)分布計(jì)算的影響比其它過程對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算的影響至少高1個(gè)數(shù)量級(jí)。

通常，由PIV設(shè)備根據(jù)一定的采集間隔Δt=1/facq(其中facq為PIV的采集頻率)獲取示蹤粒子的若干瞬時(shí)圖像后，在一定的查詢窗大小(interrogation window-size)和重疊因子(overlap factor)條件下計(jì)算得到PIV速度場(chǎng)，在計(jì)算過程中還需剔除噪點(diǎn)對(duì)計(jì)算的影響。de Kat和van Oudheusden[32]的研究表明，為從PIV數(shù)據(jù)成功地計(jì)算壓強(qiáng)分布，查詢窗的大小相對(duì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)要足夠小(約小5倍)；大的重疊因子會(huì)增加壓強(qiáng)計(jì)算的質(zhì)量，但是當(dāng)查詢窗足夠小時(shí)，重疊因子的影響減弱(如圖1所示)；PIV的采集頻率應(yīng)比相應(yīng)的流動(dòng)頻率(如Eulerian方法中的Eulerian時(shí)間尺度和Lagrangian方法中的Lagrangian時(shí)間尺度)高10倍。對(duì)空間分辨率(grid resolution)和時(shí)間分辨率(time resolution)的研究表明：計(jì)算誤差依賴于流態(tài)和算法，并且分辨率并不是越高越好，而是有個(gè)適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)值。但在實(shí)際操作中，應(yīng)采用較高的空間分辨率進(jìn)行測(cè)量。de Kat和van Oudheusden的研究同時(shí)表明，噪聲是最大的誤差源，壓強(qiáng)分布的計(jì)算誤差隨噪聲量呈線性增長(zhǎng)(見圖2)，因此降低速度場(chǎng)的噪聲水平能直接改進(jìn)壓強(qiáng)計(jì)算。

圖1 壓強(qiáng)重構(gòu)的峰值響應(yīng)與PIV空間分辨率的關(guān)系圖[32]

圖2 壓強(qiáng)重構(gòu)誤差與速度測(cè)量誤差的關(guān)系圖[32]

Charonko等[34]針對(duì)PIV速度場(chǎng)測(cè)量對(duì)壓強(qiáng)分布的影響進(jìn)行了詳細(xì)的研究，結(jié)果表明1%的速度偏差即可導(dǎo)致至多16.9%的壓強(qiáng)梯度計(jì)算誤差和大約10%的壓強(qiáng)重構(gòu)誤差。另一方面，他們的研究還發(fā)現(xiàn)壓強(qiáng)重構(gòu)誤差與速度測(cè)量誤差近似呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。由于目前PIV測(cè)量誤差約為0.5%～5%，這將導(dǎo)致至多約60%的壓強(qiáng)重構(gòu)誤差，這是不可接受的。因此，在計(jì)算壓強(qiáng)梯度之前有必要對(duì)PIV速度測(cè)量誤差進(jìn)行適當(dāng)?shù)念A(yù)處理。為此，Charonko等在同一個(gè)工作中考察了10階低通FIR(Finite-duration Impulse Response)濾波器、拉格朗日最小二乘光滑器和本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)[35-36]光滑器3種方法在消除或減小測(cè)量誤差影響方面的效果。結(jié)果表明(見圖3)：所有方法在速度場(chǎng)無測(cè)量誤差的情況下效果最好；當(dāng)存在測(cè)量誤差時(shí)，不對(duì)速度場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理時(shí)壓強(qiáng)計(jì)算的誤差最大，而采用POD光滑器對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行預(yù)處理時(shí)能在所有考察誤差水平下得到最好的壓強(qiáng)計(jì)算。

(a)

(b)

2.2壓強(qiáng)梯度計(jì)算

由第一節(jié)可知，在忽略了粘性項(xiàng)的影響后，可以通過兩種方法來計(jì)算壓強(qiáng)梯度，即拉格朗日方法和歐拉方法。

2.2.1拉格朗日方法

由公式(4)的拉格朗日方法計(jì)算壓強(qiáng)梯度時(shí)，所有物理量是關(guān)于流場(chǎng)中某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)的。因此，采用該方法時(shí)，需要重構(gòu)流體質(zhì)點(diǎn)隨流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡并進(jìn)而估計(jì)它們?cè)诟髯攒壽E點(diǎn)上的速度和加速度。

對(duì)于PIV測(cè)量來說，確定每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在每幅圖像中的粒子位置是困難的。因此，在實(shí)際操作中，研究者們基于速度場(chǎng)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了不同的偽追蹤算法(pseudo-tracking approach)來重構(gòu)流動(dòng)軌跡。

假設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻位于空間x點(diǎn)處的速度為U(x,t)，Liu和Katz[23]根據(jù)下式確定該流體質(zhì)點(diǎn)在t+Δt/2時(shí)刻位于x+UaΔt/2點(diǎn)處的物質(zhì)加速度：

(9)

其中，

Ua(x+UaΔt/2,t+Δt/2)

(10)

為流體質(zhì)點(diǎn)在t和t+Δt時(shí)刻之間的平均拉格朗日速度。de Kat和van Oudheusden[32]采用迭代算法重構(gòu)2階粒子路徑并估計(jì)物質(zhì)加速度：

(11)

(12)

其中xp是粒子位置，上標(biāo)k是迭代步，公式(11)是粒子位置在時(shí)刻t關(guān)于時(shí)間間隔Δt的2階展開。

在流場(chǎng)的邊界處，拉格朗日方法采用線性向前或向后差分計(jì)算物質(zhì)加速度。

2.2.2歐拉方法

由公式(5)的歐拉方法計(jì)算壓強(qiáng)梯度時(shí)，所有物理量是相對(duì)于流場(chǎng)空間的固定位置的。在歐拉方法中，當(dāng)?shù)丶铀俣群蛯?duì)流加速度可以通過對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行二階中心有限差分得到，即：

+O(Δt2)

(13)

+O(h2)

(14)

其中h是離散化網(wǎng)格間距，Δt是時(shí)間間隔，u是x方向的速度成分；對(duì)于y方向和z方向的當(dāng)?shù)丶铀俣群蛯?duì)流加速度可以類似地得到。采用上述二階中心有限差分計(jì)算x方向的壓強(qiáng)梯度?p/?x的截?cái)嗾`差為：

(15)

其它方向壓強(qiáng)梯度計(jì)算的截?cái)嗾`差可以類似地得到。公式(15)表明，為降低基于PIV的壓強(qiáng)計(jì)算技術(shù)的截?cái)嗾`差，PIV設(shè)備應(yīng)具有較小的時(shí)間間隔或較高的采樣頻率，同時(shí)離散求解速度場(chǎng)時(shí)應(yīng)采用較細(xì)的網(wǎng)格劃分以得到較小的網(wǎng)格間距。這也從理論上證明了de Kat和van Oudheusden[32]、Charonko等[34]的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果。

Liu和Katz[23]對(duì)2D空腔湍流場(chǎng)的研究表明，歐拉方法中當(dāng)?shù)丶铀俣鹊闹蹈哂趯?duì)流加速度，因此是物質(zhì)加速度的主要貢獻(xiàn)項(xiàng)。在流場(chǎng)的邊界處，歐拉方法同樣采用線性向前或向后差分計(jì)算物質(zhì)加速度。

2.2.3拉格朗日方法與歐拉方法的對(duì)比

公式(4)和公式(5)是不可壓動(dòng)量方程的兩種等價(jià)的表示形式，大量研究也表明基于公式(4)的拉格朗日方法和基于公式(5)的歐拉方法在計(jì)算壓強(qiáng)梯度方面都是可行的。但是，對(duì)于實(shí)際的工程應(yīng)用問題，到底是采用拉格朗日方法還是采用歐拉方法來計(jì)算壓強(qiáng)梯度并沒有定論，兩種方法具有各自不同的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，但更傾向于采用拉格朗日方法。Jakobsen等[37]針對(duì)波的傳播問題對(duì)拉格朗日形式和歐拉形式確定物質(zhì)加速度進(jìn)行了比較分析，結(jié)果表明對(duì)于該問題而言拉格朗日形式優(yōu)于歐拉形式，但是該結(jié)論只在一個(gè)很小的時(shí)間間隔范圍內(nèi)成立,并且當(dāng)波撞擊到豎直壁面時(shí)，拉格朗日形式存在偏置效應(yīng)(bias effects)從而性能上劣于歐拉形式。Christensen和Adrian[38]在對(duì)流湍流問題中的研究發(fā)現(xiàn)，空間中某點(diǎn)處的物質(zhì)加速度的量級(jí)約比速度的時(shí)間變化小1個(gè)數(shù)量級(jí)，因此更支持采用拉格朗日方法。de Kat和van Oudheusden[39]在仿真的高斯渦實(shí)驗(yàn)和真實(shí)的正方形圓柱擾流上的研究表明，拉格朗日方法和歐拉方法得到的結(jié)果沒有明顯的區(qū)別，但是拉格朗日方法對(duì)噪聲和渦軸角度變化的敏感度低于歐拉方法，但受3D-PIV中z向照射范圍的影響較大。de Kat和van Oudheusden[32]針對(duì)高斯渦流動(dòng)和湍流流動(dòng)的研究表明，當(dāng)高斯渦位于視場(chǎng)邊緣時(shí)，歐拉方法的效果較差而拉格朗日方法幾乎不受影響；歐拉方法對(duì)噪聲和平流運(yùn)動(dòng)更敏感，而拉格朗日方法由于難以重構(gòu)復(fù)雜流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，在流場(chǎng)中存在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)困難。Violato等[19]、Tenneks[40]和Koeltzsch[41]的對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)：只有在PIV的時(shí)間分辨率非常高的情況下，由差分方法計(jì)算的當(dāng)?shù)丶铀俣炔沤咏嬷?，否則將得出錯(cuò)誤的結(jié)果。因此對(duì)于較大的PIV采集間隔時(shí)間，采用拉格朗日方法計(jì)算的壓強(qiáng)誤差比用歐拉方法的小。Violato等[19]的研究同時(shí)發(fā)現(xiàn)：拉格朗日方法對(duì)測(cè)量噪聲不敏感；當(dāng)要求壓強(qiáng)梯度計(jì)算的相對(duì)精度誤差小于10%時(shí)，歐拉方法不再適用。綜合上述研究成果可以看出，相對(duì)于拉格朗日方法而言，歐拉方法對(duì)噪聲更敏感、對(duì)時(shí)間分辨率的要求也更高，而這些因素正是當(dāng)前PIV技術(shù)無法避免或急需改進(jìn)的地方，因此我們更傾向于選用拉格朗日方法計(jì)算壓強(qiáng)梯度。但是，當(dāng)流動(dòng)具有明顯的三維特征或較快的加速度時(shí)，粒子會(huì)“逃離”于PIV視場(chǎng)范圍以外，導(dǎo)致拉格朗日方法無法追蹤到粒子位置而使算法失效，此時(shí)采用歐拉方法更合適。

2.3壓強(qiáng)分布計(jì)算

由第一節(jié)可知，空間的壓強(qiáng)分布可以通過平面Poisson法或直接空間積分法對(duì)壓強(qiáng)梯度進(jìn)行處理得到。對(duì)這兩種方法的大量對(duì)比研究表明，平面Poisson法略好于直接空間積分法。其原因在于，從數(shù)學(xué)優(yōu)化的角度來講，Poisson方法可以看作壓強(qiáng)梯度直接空間積分方法的全局最優(yōu)解[22-25]。另一方面，壓強(qiáng)場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，對(duì)壓強(qiáng)梯度的積分必須獨(dú)立于積分路徑，然而直接空間積分法的計(jì)算通常依賴于積分路徑，為此Liu和Katz[23]通過對(duì)壓強(qiáng)梯度進(jìn)行全向積分(omni-directional integration)來消除對(duì)積分路徑的依賴性，其本質(zhì)是沿著所有可能的路徑對(duì)壓強(qiáng)梯度進(jìn)行積分然后再對(duì)結(jié)果進(jìn)行平均化。de Kat等[26]在正方形圓柱擾流中對(duì)平面Poisson法和直接空間積分法的比較研究發(fā)現(xiàn)(如圖4所示)：兩種方法得到的壓強(qiáng)信號(hào)的功率譜在峰值位置和量級(jí)上都是一致的，而且兩種方法得到的平均壓強(qiáng)場(chǎng)也是一致的，但是兩種方法得到的壓強(qiáng)場(chǎng)均方根波動(dòng)值有顯著的差異，在流場(chǎng)的尾跡區(qū)域，直接積分法的噪聲量比平面Poisson法多50%。de Kat等根據(jù)對(duì)直接空間積分法得到的圓柱下表面壓強(qiáng)分布圖(見圖5)中的壓強(qiáng)條紋的分析認(rèn)為，直接空間積分法具有記憶特性(‘memory’-effect)，即它會(huì)沿著積分的行進(jìn)方向傳播和累積誤差，從而導(dǎo)致其性能劣于平面Poisson法。

de Kat和van Oudheusden[39]在仿真的高斯渦實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，直接空間積分法相比平面Poisson法而言，對(duì)高斯渦軸的方向依賴性更強(qiáng)、對(duì)噪聲的影響更敏感。然而，Charonko等[34]在仿真的渦流以及真實(shí)的擴(kuò)散管內(nèi)振蕩流中對(duì)Liu和Katz[23]提出的全向直接空間積分法和平面Poisson法的對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)：全向直接空間積分法在仿真流動(dòng)和真實(shí)流動(dòng)上的結(jié)果都一致地好于平面Poisson法，因此，他們認(rèn)為對(duì)壓強(qiáng)分布計(jì)算而言，沒有唯一的或最優(yōu)的方法，PIV確定空間壓強(qiáng)分布的有效性依賴于流動(dòng)類型。

3 研究展望

基于PIV速度場(chǎng)測(cè)量重構(gòu)空間壓強(qiáng)場(chǎng)技術(shù)經(jīng)過十幾年特別是近五年來的發(fā)展，已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展并在實(shí)際的工程應(yīng)用中得到了一定的推廣，顯示出較多的優(yōu)越特性，但是該技術(shù)的成熟度并不高，有很多實(shí)際問題需要進(jìn)一步解決，因此離真正的實(shí)用化還任重而道遠(yuǎn)。

(a) 正方形圓柱底部

(b) 正方形圓柱尾部

3.1PIV速度測(cè)量的改進(jìn)

流場(chǎng)中速度場(chǎng)測(cè)量的準(zhǔn)確度直接關(guān)系著基于PIV的壓強(qiáng)計(jì)算技術(shù)的準(zhǔn)確度。但是，當(dāng)采用PIV進(jìn)行速度場(chǎng)測(cè)量時(shí)，在靠近物面位置，物面對(duì)激光的反射以及物面的邊緣效應(yīng)[25]會(huì)導(dǎo)致PIV成像的質(zhì)量變差進(jìn)而給速度測(cè)量帶來很大的誤差，對(duì)該問題的解

決依賴于極低反射率表面涂層材料的研發(fā)。另外，在靠近物面位置，由于速度較低(理想情況下物面上速度為零)，測(cè)量的相對(duì)誤差會(huì)較大，如何得到該區(qū)域準(zhǔn)確的速度分布甚至得到壁面的壓強(qiáng)波動(dòng)還需要對(duì)PIV算法本身進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[42]中正式提出了三脈沖PIV(Triple-Pulse PIV)技術(shù)，它在現(xiàn)有的雙脈沖PIV(Double-Pulse PIV)的基礎(chǔ)上額外引入了一組激光脈沖(第二組激光脈沖位于第一組和第三組激光脈沖之間的1/3處)，通過與三階相關(guān)分析(third-order correlation analysis)相結(jié)合，可以得到粒子位置和速度的更準(zhǔn)確的測(cè)量，同時(shí)可以直接測(cè)量加速度，是提高PIV速度場(chǎng)測(cè)量準(zhǔn)確度、通過加速度重構(gòu)壓強(qiáng)場(chǎng)的潛在發(fā)展方向。

3.2參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置

現(xiàn)有的研究主要集中在考察基于PIV速度測(cè)量計(jì)算壓強(qiáng)分布的可行性上，還較少涉及對(duì)該技術(shù)關(guān)鍵參數(shù)的設(shè)置與選取的系統(tǒng)分析和研究。如第二節(jié)所述，PIV采集頻率、圖像處理時(shí)查詢窗大小和重疊因子、測(cè)量噪聲點(diǎn)等都會(huì)對(duì)速度場(chǎng)測(cè)量帶來很大的影響，進(jìn)而會(huì)降低最終壓強(qiáng)分布計(jì)算的精準(zhǔn)度。另一方面，采用離散化方法計(jì)算壓強(qiáng)梯度并計(jì)算壓強(qiáng)分布時(shí)，其中的參數(shù)設(shè)置(如時(shí)間間隔、網(wǎng)格大小等)也會(huì)影響最后的計(jì)算結(jié)果。因此，研究在一定的準(zhǔn)則下對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選取是一個(gè)有意義的方向，例如在控制住截?cái)嗾`差的情況下研究參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置。

3.3算法的改進(jìn)與創(chuàng)新

現(xiàn)有的速度場(chǎng)、壓強(qiáng)梯度、壓強(qiáng)分布的計(jì)算方法雖然在原理上是可行的并在實(shí)際使用中也能得到合理的結(jié)果，但還有很多細(xì)節(jié)值得進(jìn)一步挖掘。例如，de Kat和van Oudheusden[32]對(duì)正方形圓柱附近湍流場(chǎng)的研究表明，采用現(xiàn)有的PIV壓強(qiáng)重構(gòu)技術(shù)，獲取的壓強(qiáng)場(chǎng)精度約為5%(以壓強(qiáng)傳感器的測(cè)量結(jié)果作為真值)、準(zhǔn)度約為20%(均方根誤差)。如何進(jìn)一步提高現(xiàn)有技術(shù)的精準(zhǔn)度，是一個(gè)很有意義的研究方向，迫切需要研究其它的新穎算法來更好地計(jì)算空間壓強(qiáng)分布。例如，PIV后期數(shù)據(jù)優(yōu)化處理技術(shù)、拉格朗日方法計(jì)算復(fù)雜流動(dòng)區(qū)域壓強(qiáng)梯度的技術(shù)、離散方法中差分格式的選取、不依賴于積分路徑的直接空間積分方法等。

3.4探索并完善3D壓強(qiáng)分布計(jì)算

受技術(shù)條件和算法自身的限制，現(xiàn)有的壓強(qiáng)分布計(jì)算方法還局限于對(duì)2D流動(dòng)結(jié)構(gòu)的研究或者必須采用2D流動(dòng)假設(shè)，但并未考慮2D假設(shè)的合理性以及2D近似對(duì)結(jié)果的影響，更少觸及3D流動(dòng)對(duì)基于PIV的壓強(qiáng)計(jì)算技術(shù)新要求、新特性的探索。PIV測(cè)量技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，如全息PIV(Holographic PIV)和層析PIV(Tomographic PIV)等[43-45]，使得三維體測(cè)量在精度和空間分辨率上都有了較為理想的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，為考察3D流動(dòng)條件下的壓強(qiáng)分布技術(shù)提供了可能，因此未來還需要在3D壓強(qiáng)分布計(jì)算技術(shù)方面進(jìn)行不斷地探索與完善。

3.5可壓縮流動(dòng)條件下的壓強(qiáng)重構(gòu)技術(shù)

由于難以從流動(dòng)中估計(jì)流體密度的變化，現(xiàn)有的基于PIV的壓強(qiáng)重構(gòu)技術(shù)大多局限于不可壓縮流動(dòng)條件下的壓強(qiáng)重構(gòu)問題?？蓧嚎s流動(dòng)條件下，流體密度和粘性項(xiàng)均未知，并且平面流場(chǎng)不滿足無散條件(即divxy=0)，因此平面Poisson簡(jiǎn)化公式(7)不再有效，同時(shí)也不能再利用公式(4)和公式(5)計(jì)算壓強(qiáng)梯度。此外，可壓縮流動(dòng)情況下，由于激波和稀薄剪切層的存在，使得準(zhǔn)確的速度測(cè)量變得異常困難[25]。van Oudheusden和Scarano等[21,22]初步探討了定?？蓧嚎s流動(dòng)條件下的PIV壓強(qiáng)重構(gòu)技術(shù)，在絕熱流動(dòng)并忽略粘性項(xiàng)的假設(shè)下，結(jié)合氣體法則得到了一個(gè)類似于公式(1)的動(dòng)量方程，并將該技術(shù)應(yīng)用于超聲速流動(dòng)下翼型的氣動(dòng)載荷計(jì)算。然而，如何開展一般條件下的可壓縮流動(dòng)的PIV壓強(qiáng)重構(gòu)仍是一個(gè)開放性問題。

4 結(jié) 論

基于PIV速度場(chǎng)測(cè)量重構(gòu)空間壓強(qiáng)場(chǎng)分布是一種新穎的非接觸式、大范圍、高時(shí)間分辨率的壓強(qiáng)計(jì)算技術(shù)，在原理上是可行的，在初步的理論與實(shí)驗(yàn)研究中也顯示出優(yōu)良的效果。但是，在實(shí)際操作和技術(shù)實(shí)現(xiàn)上還有很多細(xì)節(jié)需要完善和發(fā)展，離真正的實(shí)用化還有較大差距。相信隨著技術(shù)的進(jìn)步和研究的深入，該技術(shù)將逐步實(shí)現(xiàn)工程化應(yīng)用。

參考文獻(xiàn):

[1]Larsson J, Davidson L, Olsson M, et al. Aeroacoustic investigation of an open cavity at low Mach number[C]. 9th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference and Exhibit, Hilton Head, South Carolina, 12-14 May, 2003.

[2]Henning A, Kaepernick K, Ehrenfried K, et al. Investigation of aeroacoustic noise generation by simultaneous particle image velocimetry and microphone measurements[J]. Exp Fluids, 2008, 45: 1073-1085.

[3]Raffel M, Willert C, Wereley S, et al. Particle image velocimetry: a practical guide[M]. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2007.

[4]Adrian R J. Twenty years of particle image velocimetry[J]. Exp Fluids, 2005, 39(2): 159-169.

[5]Gurka R, Liberzon A, Hefetz D, et al. Computation of pressure distribution using PIV velocity data[C]. 3rd International Workshop on Particle Image Velocimetry, Santa Barbara, 16-18 September, 1999.

[6]Baur T, K?ngeter J. PIV with high temporal resolution for the determination of local pressure reductions from coherent turbulence phenomena[C]. 3rd International Workshop on Particle Image Velocimetry, Santa Barbara, 16-18 September, 1999.

[7]Hosokawa S, Moriyama S, Tomiyama A, et al. PIV measurement of pressure distributions about single bubbles[J]. J Nucl Sci Technol, 2003, 40(10): 754-762.

[8]Fujisawa N, Satoh A. Evaluation of three-dimensional flow and pressure fields in a cold model of combustion chamber by plane PIV measurements[C]. 4th International Workshop on Particle Image Velocimetry, Gottingen, Germany, 17 September, 2001.

[9]Fujisawa N, Nakamura Y, Matsuura F, et al. Pressure field evaluation in microchannel junction flows through μPIV measurement[J]. Microfluid. Nanofluid, 2006, 2(5): 447- 453.

[10] Haigermoser C, Vesely L, Novara M, et al. Time-resolved PIV applied to cavity unsteady flows[C]. 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, 2007.

[11] Haigermoser C. Application of an acoustic analogy to PIV data from rectangular cavity flow[J]. Exp Fluids, 2009, 47: 145-157.

[12] Koschatzky V, Moore P D, Westerweel J, et al. High speed PIV applied to aerodynamic noise investigation[J]. Exp Fluids, 2011, 50: 863-876.

[13] Fujisawa N, Tanahashi S, Srinivas K. Evaluation of pressure field and fluid forces[J]. Meas Sci Technol, 2005, 16: 989-996.

[14] de Kat R, van Oudheusden B W, Scarano F. Instantaneous pressure field around a square-section cylinder using time-resolved stereo-PIV[C]. 39th AIAA Fluid Dynamics Conference, San Antonio, 22-25 June, 2009.

[15] de Kat R, van Oudheusden B W, Scarano F. Instantaneous pressure field determination in a 3D flow using time-resolved thin volume tomograhpic-PIV[C]. 8th International Symposium on Particle Image Velocimetry, Melbourne, 25-28 August, 2009.

[16] de Kat R, Humble R A, van Oudheusden B W. Time-resolved PIV study of a transitional shear layer around a square cylinder[C]//Proceedings of the IUTAM symposium on bluff-body wakes and vortex induced vibrations, 2010.

[17] Lorenzoni V, Tuinstra M, Moore P, et al. Aeroacoustic analysis of a rod-airfoil flow by means of time-resolved PIV[C]. 15th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Miami, Florida, 2009.

[18] Henning A, Koop L, Ehrenfried K, et al. Simultaneous multiple PIV and microphone array measurements on a rod-airfoil configuration[C]. 15th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Miami, 2009.

[19] Violato D, Moore P, Scarano F. Three-dimensional time resolved analysis of rod-airfoil flow for aeroacoustics[J]. Exp Fluids, 2011, 52: 763-773.

[20] Moore P, Lorenzoni V, Scarano F. Two techniques for PIV-based aeroacoustic prediction and their application to a rod-airfoil experiment[J]. Exp Fluids, 2011, 50: 877-885.

[21] van Oudheusden B W, Scarano F, Roosenboom E W M, et al. Evaluation of integral forces and pressure fields from planar velocimetry data for incompressible and compressible flows[J]. Exp Fluids, 2007, 43: 153-162.

[22] van Oudheusden B W. Principles and application of velocimetry-based planar pressure imaging in compressible flows with shocks[J]. Exp Fluids, 2008, 45(4): 657-674.

[23] Liu X, Katz J. Instantaneous pressure and material acceleration using a four-exposure PIV system[J]. Exp Fluids, 2006, 41(2): 227-240.

[24] Violato D, Moore P, Scarano F. Lagrangian and Eulerian pressure field evaluation of rod-airfoil flow from time-resolved tomographic PIV[J]. Exp Fluids, 2011, 50: 1057-1070.

[25] van Oudheusden B W. PIV-based pressure measurement[J]. Meas Sci Technol, 2013, 24(3): 032001

[26] de Kat R, van Oudheusden B W, Scarano F. Instantaneous planar pressure field determination around a square-section cylinder based on time-resolved stereo-PIV[C]. 14th International Symposium on Applications of Laser Techniques to Fluid Mechanics, Lisbon, 7-10, July, 2008, pp. 1-11.

[27] Liu X. A study of wake development and structure in constant pressure gradient[D]. University of Notre Dame, 2001.

[28] Thomas F O, Liu X. An experimental investigation of symmetric and asymmetric turbulent wake development in pressure gradient[J]. Submitted to Physics of Fluids, 2003.

[29] Southwell W H. Wave-front estimation from wave-front slope measurements[J]. J Opt Soc Am, 1980, 70: 998-1006.

[30] Herrmann J. Least-squares wave front error of minimumnorm[J]. J Opt Soc Am,1980, 70: 28-35.

[31] Press W H, Teukolsky S A, Vetterling W T, et al. Numerical recipes in C/C++[M]. The Press Syndicate of the University of Cambridge, Cambridge, 2002.

[32] de Kat R, van Oudheusden B W. Instantaneous planar pressure determination from PIV in turbulent flow[J]. Exp Fluids, 2012, 52: 1089-1106.

[33] van Oudheusden B W, Souverein L J. Evaluation of the pressure field from PIV in a shock wave boundary layer interaction[C]. 7th International Symposium on Particle Image Velocimetry, Rome, Italy, September 11-14, 2007.

[34] Charonko J J, King C V, Smith B L, et al. Assessment of pressure field calculations from particle image velocimetry measurements[J]. Meas Sci Technol, 2010, 21: 105401.

[35] Berkooz G, Holmes P, Lumley J L. The proper orthogonal decomposition in the analysis of turbulent flows[J]. Annu Rev Fluid Mech, 1993, 25: 539-75.

[36] Smith T R, Moehlis J, Holmes P. Low-dimensional modelling of turbulence using the proper orthogonal decomposition: a tutorial[J]. Nonlinear Dyn, 2005, 41: 275-307.

[37] Jakobsen M, Dewhirst T, Geated C. Particle image velocimetry for predictions of acceleration fields within fluid flows[J]. Meas Sci Technol, 1997, 8: 1502-1516.

[38] Christensen K, Adrian R. Measurement of instantaneous Eulerian acceleration fields by particle image velocimetry: methods and accuracy[J]. Exp Fluids, 2002, 33(6): 759-769.

[39] de Kat R, van Oudheusden B W. Instantaneous planar pressure from PIV: analytic and experimental test-cases[C]. 15th International Symposium on Applications of Laser Techniques to Fluid Mechanics, Lisbon, Portugal, 2010.

[40] Tennekes H. Eulerian and Lagrangian time microscales in isotropic turbulence[J]. J Fluid Mech, 1975, 67(3): 561-567.

[41] Koeltzsch K. On the relationship between the Lagrangian and Eulerian time scale[J]. Atmos Environ, 1999, 33(1): 117-128.

[42] Westerweel J, Elsinga G E, Adrian R J. Partical image velocimetry for complex and turbulent flows[J]. Annu Rev Fluid Mech, 2013, 45: 409-436.

[43] Elsinga G E, Scarano F, Wieneke B, et al. Tomographic particle image velocimetry[J]. Exp Fluids, 2006, 41(6): 933-947.

[44] Schr?der A, Geisler R, Elsinga G E, et al. Investigation of a turbulent spot and a tripped turbulent boundary layer flow using time-resolved tomographic PIV[J]. Exp Fluids, 2008, 44(2): 305-316.

[45] Scarano F. Tomographic PIV: principles and practice[J]. Meas Sci Technol, 2013, 24(1): 012001.

作者簡(jiǎn)介:

王勇(1982-)，男，四川成都人，博士，助理研究員。研究方向：氣動(dòng)聲學(xué)。通信地址：四川省綿陽市中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心(621000)。E-mail: yongwang82@gmail.com