Schr?dinger代數(shù)S(2)的Whittaker模

賀艷，朱林生

（1.蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

Schr?dinger代數(shù)S(2)的Whittaker模

賀艷1，朱林生2

（1.蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

主要研究了Schr?dinger代數(shù)S(2)的Whittaker模.首先給出S(2)上Whittaker模的定義，構(gòu)造了Whittaker模Mψ和Lψ,ξ.確定了Mψ和Lψ,ξ中的Whittaker向量.最后證明了當(dāng)ψ是非奇異時(shí)，Lψ,ξ是單的.

Schr?dinger代數(shù)；Whittaker模；Whittaker向量；可約性

1 引言

Schr?dinger群是自由Schr?dinger方程的對(duì)稱群，Schr?dinger群的李代數(shù)稱為Schr?dinger代數(shù)，它是一個(gè)非半單的李代數(shù)，在物理應(yīng)用中有很重要的地位［1-2］.人們通常研究的是低維中心擴(kuò)張的Schr?dinger代數(shù).近年來(lái)，Schr?dinger代數(shù)S(1)的權(quán)模已經(jīng)得到了很好的研究，并且得到了S(1)單權(quán)模的分類［3］.

本文主要研究（2+1）維中心擴(kuò)張的Schr?dinger代數(shù)S(2)的Whittaker模.

復(fù)半單李代數(shù)的非權(quán)模最早是由B.Kostantin構(gòu)造的［4］.由于在數(shù)論中它們與Whittaker方程有著緊密的聯(lián)系，因此被稱為Whittaker模.在文獻(xiàn)［5］中，D.Arnal和G.Pinczon研究了一般定義下的Whittaker模.之后各種代數(shù)的Whittaker模的性質(zhì)得到了廣泛研究，在文獻(xiàn)［6］中，得到了S(2)的單模的分類：最高權(quán)模、Whittaker模和由局部化得到的模.研究Whittaker?？梢钥闯銎錁?gòu)造依賴于復(fù)半單李代數(shù)的三角分解，Whittaker模在無(wú)限維李代數(shù)的領(lǐng)域得到發(fā)展.M.Ondrus和E.Wiesner在文獻(xiàn)［7］中首次研究了無(wú)限維的李代數(shù)Virasoro代數(shù)的Whittaker模.隨后，人們研究了Heisenberg代數(shù)，Schr?dinger-Virasoro代數(shù)，廣義Weyl代數(shù)，扭Heisenberg-Virasoro代數(shù)，Schr?dinger代數(shù)S(1)等代數(shù)的Whittaker模的性質(zhì)得到研究［8-12］.

我們首先給出S(2)的代數(shù)刻畫，定義了S(2)的Whittaker模，然后構(gòu)造出兩類特殊的Whittaker模Mψ和Lψ,ξ，確定了Mψ和Lψ,ξ中的Whittaker向量.最后證明了當(dāng)ψ是非奇異時(shí)，Lψ,ξ是單的.

文中出現(xiàn)的?代表復(fù)數(shù)域，?代表非負(fù)整數(shù)集，?代表整數(shù)集，?+代表正整數(shù)集，代表有限項(xiàng)和.

2 定義和基本概念

定義2.1 S(2)是一個(gè)非半單的李代數(shù)（下文S(2)記為S），它的一組基{p1,p2,e,q1,q2,f,h,r,z}，并且有以下李運(yùn)算關(guān)系：

3 Mψ和Lψ,ξ的Whittaker向量

4 Whittaker模Lψ,ζ的單性

[1]Ballesteros A,Herranz F J,Parashar P.(1+1)Schr?dinger Lie bialgebras and their Poisson-Lie groups[J].JPhys A,2000,33(2)∶3445-3465.

[2]Niederer U.Themaximal kinematical invariance group of the free Schr?dingerequation[J].Helv Phys Acta,1972,45(5)∶802-810.

[3]L üR,Mazorchuk V,Zhao K.Classification of simpleweightmodulesover the Schr?dinger algebra[J].preprint,2013.http∶//www2. math.uu.se/～mazor/PREPRINTS/KAIMING/ageing.pd f.

[4]KostantB.OnWhittakervectorsand representation theory[J].InventMath,1978,48(2)∶101-184.

[5]Arnal D,Pinczon G.On algebraically irreducible representations of the Lie algebra sl(2)[J].JMath Phys,1974,15(3)∶350.

[6]Block R.The irreducible representationsof the Lie algebra sl(2)and of theWeylalgebra[J].Adv Math,1981,39(1)∶69-110.

[7]Ondrus M, Wiesner E.Whittakermodules for the Virasoro algebra[J].JA lgebra App l,2009,8(3)∶363-377.

[8]Christodoulopou lou K. Whittakermodu les for Heisenberg algebras and imaginary Whittakermodules for affine Lie algebras[J].JA lgebra,2008,320(7)∶2871-2890.

[9]BenkartG,OndrusM.Whittakermodules for generalized Weylalgebras[J].Represent Theory,2009,13∶141-164.

[10]Zhang X,Tan S,Lian H.Whittakermodules for the Schr?dinger-Wittalgebra[J].JMath Phsy,2010,51(8)∶083524.

[11]Liu D,Wu Y,Zhu L.Whittakermodules for the twisted Heisenberg-Virasoro algebra[J].JMath Phys,2010,51(2)∶023524.

[12]唐明慧，朱林生.（1+1）維中心擴(kuò)張的Schr?dinger代數(shù)的Whittaker模[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，26（2）：5-11.The Whittaker Modules for Schr?dinger A lgebra S(2)

HE Yan1,ZHU Lin-sheng2
(1.School of Mathematics and Physics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009,China;
2.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

In this paper,the Whittaker modules for the Schr?dinger algebra S(2)are aimed to study.First,the authors of the paper give the definition of the Whittaker modules for S(2),and construct the Whittakermodules Mψand Lψ,ξ.Then the authors determine the Whittaker vectors of Mψand Lψ,ξrespectively.Finally,the paper shows that Lψ,ξis irreducible ifψis non-singular.

Schr?dinger algebra;Whittakermodules;Whittaker vector;irreducibility

O152

A

1008-2794（2014）04-0038-06

2014-03-30

朱林生，教授，博士，研究方向：無(wú)限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示，E-mail∶lszhu@cslg.edu.cn.